《高等数学》课程教学资源：二重积分的计算法（2）

第二节二重积分的计算法(2) 巴一、利用极坐标系计算二重积分 四二、小结思考题

压-利用极坐标系计算二重积分 △a1=1(+△)2△-n2·△日 2 r=r+△r 6=0+△0 (2r1+△)△r·△61 △O r+(r+△△r△日 2 6=6 王=,△4△ A 王f( x, )dxdy=f(rcos e, sino)rdrd@ D D 王页下

A o D  i i r = r i i r = r + r  =  i +  i  =  i i i i i i i  = r + r   − r   2 2 2 1 ( ) 2 1 i i i i = (2r + r )r   2 1 i i i i i r r r r    + +  = 2 ( ) , i i i = r  r   ( , ) ( cos , sin ) .   = D D f x y dxdy f r  r  rdrd 一、利用极坐标系计算二重积分

士 二重积分化为二次积分的公式(1) 区域特征如图 r=q1() r=q2() a≤6≤B D q1(6)≤r≤g2(6) ∫( (rcos 6, rsin e)rdrde D B t de f(rcos 8, rsin O)rdr 1(0) 上页

( cos , sin ) . ( ) ( ) 2 1   =       d f r  r  rdr   A D o ( ) r = 1  ( ) r = 2   D f (r cos ,rsin )rdrd 二重积分化为二次积分的公式（１） 区域特征如图      , ( ) ( ). 1   r  2 

上区域特征如图r=9 D r=02() a≤6≤B, q1(6)sr≤q2( yB (rcos b, sino)rdrde =∫ q2(6) de f(rcos o, sino)rdr. 1(0) 上页

区域特征如图      , ( ) ( ). 1   r  2  ( cos , sin ) . ( ) ( ) 2 1   =       d f r  r  rdr  D f (r cos ,rsin )rdrd   o A D ( ) 2 r =   ( ) 1 r =  

二重积分化为二次积分的公式(2) 区域特征如图 =q(6 D a≤6≤B, 0≤r≤q(6) C ∫(cos, rsin O)rdrde D q(6) = de f(rcos 8, rsin O)rdr. 0 上页

o A D r =() ( cos , sin ) . ( )  0 =     d f r  r  rdr 二重积分化为二次积分的公式（２） 区域特征如图      , 0  r  ( ).  D f (r cos ,rsin )rdrd  

二重积分化为二次积分的公式(3) 区域特征如图 r=9() D 0≤θ≤2,0≤r≤q(6) A D 2丌 p(6) de f(rcos 8, rsin e)rdr. 0 牛极坐标系下区域的面积a=rol 上页

 D f (r cos ,rsin )rdrd ( cos , sin ) . ( ) 0 2 0  =    d f r  r  rdr 极坐标系下区域的面积 .  = D  rdrd 二重积分化为二次积分的公式（３） 区域特征如图 0  r  ( ). D o A r =() 0    2

例1写出积分∫(x,yt的极坐标二次积分形 D 式,其中积分区域 D={(x,y)1- rsys1-x2,0≤x≤1}. X=rcos 6 解在极坐标系下 x+y= ∪y= rsing o 0.6 所以圆方程为r=1 直线方程为r= 0.2 ty sing+cos e 0.20.40.60.81 ∫(x,y)ddy=」,l!∫,f(rcse; sinO)rdr D sin 0+cos0 上页

例 1 写出积分 D f (x, y)dxdy的极坐标二次积分形 式，其中积分区域 {( , )| 1 1 , 2 D = x y − x  y  − x 0  x  1}. x + y = 1 1 2 2 解 在极坐标系下 x + y =    = =   sin cos y r x r 所以圆方程为 r = 1, 直线方程为 sin cos 1 + r = ,  D f (x, y)dxdy ( cos , sin ) . 2 0 1 sin cos   1 + =    d f r  r  rdr

例2计算e-dxdy,其中D是由中心在 D 原点,半径为a的圆周所围成的闭区域 解在极坐标系下 D:0<r≤a,0≤0≤2兀 2 ey dxdy= del e rdr 0 0 =T(1-e) 上页

例 2 计算 e dxdy D x y  − − 2 2 ，其中 D 是由中心在 原点，半径为a的圆周所围成的闭区域. 解 在极坐标系下 D：0  r  a，0    2. e dxdy D x y  − − 2 2   −  =  a r d e rdr 0 2 0 2 (1 ). 2 a e − =  −

例3求广义积分ed 解D1={(x,y)x2+y2≤R S D2={(x,)|x2+y2≤2R S={(x,y)|0≤x≤R,0≤y≤R R√2R {x≥0,y≥0}显然有D1cScD2 ey>0, e-xy dxdys y dx≤ etd小 D 上页

例 3 求广义积分  − 0 2 e dx x . 解 {( , )| } 2 2 2 D1 = x y x + y  R {( , )| 2 } 2 2 2 D2 = x y x + y  R {x  0, y  0} S = {(x, y)| 0  x  R,0  y  R} 显然有 D1  S  D2 0, 2 2  − x − y  e   − − 1 2 2 D x y e dxdy  − −  S x y e dxdy 2 2 . 2 2 2  − −  D x y e dxdy D1 SD2 S D1 D2 R 2R

又:rfx-32xd S R R R de”小=(edx 0 0 0 1=le-x-ydxdy DI R dol- rdr=(1-e -R2 0 0 4 同理12= fex-drxdy=4(1-c2) 上页

又  − − = S x y I e dxdy 2 2    − − = R y R x e dx e dy 0 0 2 2 ( ) ; 2 0 2  − = R x e dx I1 =  − − 1 2 2 D x y e dxdy   −  =  R r d e rdr 0 0 2 2 (1 ); 4 2 R e − −  = 同理I2 =  − − 2 2 2 D x y e dxdy (1 ); 4 2 2R e − −  =