第六节含参变量的积分 巴一、含参变量的积分的连续性 巴二、含参变量的积分的微分 巴三、莱布尼茨公式 四四、小结
生一、含參变量积分的连续性 设函数∫(x,y)是在矩形R(a≤x≤b,a≤bsB) 上的连续函数在,b上任意确冠的一个值,于是 ∫(x,y)是变量y在a,B上的一个一元连续函数, 牛从而积分f(x,y)存在,这个积分的值依赖于取 定的x值.当C的值改变时,一般来说这个积分的值也 跟着改变.这个积分确定一个定义在a,bl上的x的函 上数,我们把它记作q(x),即 9()(至x 上页
( ) = ( , ) ( ). () x f x y dy a x b 一、含参变量积分的连续性 是变量 在 上的一个一元连续函数, 设函数 f (x, y) 是在矩形 R(a x b, b ) f (x, y)dy [, ] 上的连续函数. 在 上任意确定 的一个值, 于是 (x), x [a,b] x f (x, y) y 从而积分 x [a,b] x 存在, 这个积分的值依赖于取 定的 值. 当 的值改变时,一般来说这个积分的值也 跟着改变. 这个积分确定一个定义在 上的 的函 数, 我们把它记作 即
这里变量x在积分过程中是一个常量,通常称它为 参变量 定理1如果函数f(x,y在矩形 R(asx≤b, assp) 上连续,那么由积分 q(x)=f(x,y)(a≤x≤b) 确定的函数q(x)在[a,b上也连续 工工工 证设x和x+△x是[a,b上的两点,则 q(x+△x)-g(x) If(+4x, D)-f(x,y)ldy.(1) 圆[t 上页
定理1 如果函数 f (x, y) 在矩形 R(a x b, b ) = (x) f (x, y)dy (a x b) [a,b] 上连续，那么由积分 确定的函数 (x) 在 上也连续. 证 设 x 和 x + x 是 [a,b] 上的两点，则 [ ( , ) ( , )] . (1) ( ) ( ) = + − + − f x x y f x y dy x x x 这里变量 在积分过程中是一个常量，通常称它为 参变量. x
由于∫(x,y在闭区域R上连续,从而一致连续 因此对于任意取定的E>0,存在δ>0,使得对于R内 的任意两点(x1,1)及(x2,y2),只要它们之间的距离 小于δ,即 √(x2-x1)2+(y2-y)2<δ, 就有 f(x2,y2)-f(x,y1)<E 生因为点:+)与(,)的离等于△所以当 ∫(x+△x,y)-f(x,y)<E 于是由(1)式有 上页
由于 f (x, y) 在闭区域 R 上连续，从而一致连续. 因此对于任意取定的 ,存在 ,使得对于 内 的任意两点 及 ,只要它们之间的距离 小于 ,即 0 0 R ( , ) 1 1 x y ( , ) 2 2 x y ( ) ( ) , 2 2 1 2 x2 − x1 + y − y 就有 ( , ) ( , ) . 2 2 1 1 f x y − f x y 因为点 (x + x, y) 与 (x, y) 的距离等于 x ,所以当 x 时,就有 f (x + x, y) − f (x, y) . 于是由（1）式有
p(x+△x)-g(x) ≤f(x+△x,y)-f(x,y)<a(a-) 所以φ(x)在[a,b上连续 定理得证 注既然函数q(x)在,b上连续,那么它在【a,b上 的积分存在这个积分可以写为 ∫g(x)dx=1(x,y)d =4f(,p 右端积分式函数f(x,y)先对y后对x的二次积分 王页下
( , ) ( , ) ( ). ( ) ( ) + − − + − f x x y f x y dy x x x 所以 (x) 在 [a,b] 上连续. 定理得证 注 既然函数 在 上连续,那么它在 上 的积分存在,这个积分可以写为 (x) [a,b] [a,b] ( , ) . ( ) [ ( , ) ] = = b a b a b a dx f x y dy x dx f x y dy dx 右端积分式函数 f (x, y) 先对 y 后对 x 的二次积分
定理2如果函数∫(x,y)在矩形 R(a≤x≤b,a≤y≤B) 上连续,则 ∫mf(x,y)=m∫(x,yh.(2) 公式(2)也可写成 ∫df(x,p)= B 小y"f(x,ylx.(2) a 上页
定理2 如果函数 f (x, y) 在矩形 R(a x b, y ) 上连续,则 [ f (x, y)dy]dx [ f (x, y)dx]dy. (2) b a b a = 公式（2）也可写成 ( , ) = ( , ) . (2) b a b a dx f x y dy dy f x y dx
我们在实际中还会遇到对于参变量x的不同的值, 积分限也不同的情形,这时积分限也是参变量x的函 数这样积分 0(x)=m(xy)y() 也是参变量x的函数.下面我们考虑这种更为广泛地 工工工 依赖于参变量的积分的某些性质 上页
我们在实际中还会遇到对于参变量 的不同的值， 积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量 的函 数.这样,积分 x x ( ) ( ) ( ) ( ) x f x, y dy (3) x x = 也是参变量 的函数.下面我们考虑这种更为广泛地 依赖于参变量的积分的某些性质. x
定理3如果函数∫(x,y在矩形 R(a≤x≤b,csy≤B) 上连续,又函数a(x)与B(x)在区间a,b止连续 并且a≤a(x)≤B,a≤B(x)≤B(a≤x≤b) 午则由积分(3)确定的函数(x在ab上也连续 工工工 证设x和x+△x是[a,b上的两点,则 Φ(x+△x)-(x) SPrAn f(x+Ax,y)dy- f(,yyy 上页
定理3 如果函数 f (x, y) 在矩形 R(a x b, y ) (x) (x) [a,b] [a,b] (x) , (x) (a x b), (x) 上连续，又函数 与 在区间 上连续， 并且 则由积分（3）确定的函数 在 上也连续. 证 设 x 和 x + x 是 [a,b] 上的两点，则 ( , ) ( , ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x x y dy f x y dy x x x x x x x x x = + − + − + +
(x+△x) ,f(x+△x,y)y (x) B(x) f(x+Ax,y)+f(x+△x,y) a(x+△x) la(x) B(x+△x) f(x+△x,y)d小y, B(x) (x) ∴Φ(x+△x)-(x)= ∫(x+Ax,y)y a(x+△x) B(x+Ar) f(x+△x,y)dy B(x) +∫m1(x+△x,y-f(xm( 当AC→>0时,上式右端最后一个积分的积分限不变
( ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + = + + + + x x x x x x x x x x x x f x x y dy f x x y dy f x x y dy f x x y dy [ ( , ) ( , )] . (4) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + − + + + − = + + + x x x x x x x x f x x y f x y dy f x x y dy x x x f x x y dy 当 x → 0 时，上式右端最后一个积分的积分限不变
根据证明定理时同样的理由,这个积分趋于零又 a(x a(x+△x) f(x+Ax,y)dsmA(x+Ax)-a(x), SpuNta, /(x+4x, y)dy SMB(x+Ax)-B(xl 其中M是∫(x,y)在矩形R上的最大值根据a(x) 与B(x)在[,b上连续的假定,由以上两式可见, 当△x→0时,(4)式右端的前两个积分都趋于 零.于是,当△→0时, Φ(x+△x)-Φ(x)→>0(a≤x≤b), 所以函数Φ(x)在[a,b上连续 定理得证 上页
根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零.又 ( , ) ( ) ( ). ( , ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) f x x y dy M x x x f x x y dy M x x x x x x x x x + + − + + − + + 其中 是 在矩形 上的最大值. 根据 与 在 上连续的假定，由以上两式可见， 当 时，（4）式右端的前两个积分都趋于 零. 于是，当 时， M f (x, y) R (x) (x) [a,b] x → 0 x → 0 (x + x) − (x) → 0 (a x b), 所以函数 (x) 在 [a,b] 上连续. 定理得证