第4章多项式 4.1一元多项式的定义和运算 4.2多项式的整除性 4.3多项式的最大公因式 4.4多项式的分解 4.5重因式 4.6多项式函数多项式的根 4.7复数和实数域上多项式 4.8有理数域上多项式 4.9多元多项式 4.10对称多项式 1【首页【上页回」【下页匚结铃
1 首页 上页 返回 下页 结束 铃 第4章 多项式 4.1 一元多项式的定义和运算 4.2 多项式的整除性 4.3 多项式的最大公因式 4.4 多项式的分解 4.5 重因式 4.6 多项式函数 多项式的根 4.7 复数和实数域上多项式 4.8 有理数域上多项式 4.9 多元多项式 4.10 对称多项式
代数是搞清楚世界上数量关系的工具。 怀特罴德(1961-1947) 当数学家导出方程式和公式,如同看到雕像、美丽的 风景,听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐 柯普宁(前苏联哲学家) 快乐地学习数学,优雅地欣赏数学。 匿名者 2匚首页[上页返回匚下页匚结束匚铃
2 首页 上页 返回 下页 结束 铃 代数是搞清楚世界上数量关系的工具。 ――怀特黑德（1961－1947） 当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的 风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。 - -柯普宁(前苏联哲学家) 快乐地学习数学，优雅地欣赏数学。 ――匿名者
4.1—元多项式的定义和运算 内容分布 4.1.1认识多项式4.14多项式的运算 4.1.2相等多项式 4.1.5多项式加法和乘法的运算规则 4.1.3多项式的次数4.1.6多项式的运算性质 二、教学目的 掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质 重点、难点 元多项式的定义,多项式的乘法,多项式的运算性质 3【首页[上页【返回【下页匚结束铃
3 首页 上页 返回 下页 结束 铃 4.1 一元多项式的定义和运算 一、内容分布 4.1.4 多项式的运算 二、教学目的 掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质. 三、重点、难点 一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。 4.1.1 认识多项式 4.1.2 相等多项式 4.1.3 多项式的次数 4.1.5 多项式加法和乘法的运算规则 4.1.6 多项式的运算性质
4.1.1认识多项式 多项式 令晨是一个含有数的数环.R上一个文字的多项式或 元多项式指的是形式表达式 ao+a1x+a2x+…+a,X 这里n是非负整数而a、(=0,1…,m)都是种的数 元多项式常用符号f(x)g(x)…来表示 1:在多项式)中,a0叫做零次项或常数项,a1x 叫做i次项,,叫做i次项的系数 注 2:在一个多项式中,可以任意添上或去掉一些系 数为零的项;若是某一个i次项的系数是1,那 么这个系数可以省略不写 4歃·【【铃
4 首页 上页 返回 下页 结束 铃 4.1.1 认识多项式 多项式 令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或 一元多项式指的是形式表达式 n n a + a x + a x ++ a x 2 0 1 2 这里n是非负整数而 a (i n) i = 0,1, , 都是R中的数. 一元多项式常用符号 f (x), g(x), 来表示. 注 1：在多项式(1)中, 0 a 叫做零次项或常数项, i i a x 叫做 i 次项, ai 叫做 i 次项的系数. 2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系 数为零的项；若是某一个i次项的系数是1 ，那 么这个系数可以省略不写
4.1.2相等多项式 定义 若是数环R上两个一元多项式,f(x)和g(x)有完全 相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么∫(x)和 g(x)就说是相等 f(x)=g(x) 5【首页[上页【返回【下页匚结束铃
5 首页 上页 返回 下页 结束 铃 4.1.2 相等多项式 定义 若是数环R上两个一元多项式 , f (x) 和g (x)有完全 相同的项,或者只差一些系数为零的项, 那么 f (x) 和 g (x)就说是相等 . f (x) = g (x)
4.1.3多项式的次数 anx叫做多项式a0+a1x+a2x2+…+anx"(an≠0) 的最高次项,非负整数n叫做多项式 a+a1x+a2x2+…+anx(n≠0)的次数.记作 a°(f(x) 实 系数全为零的多项式没有次数这个多项式叫做 零多项式,记为0 6【首页[上页【返回【下页匚结束铃
6 首页 上页 返回 下页 结束 铃 4.1.3 多项式的次数 叫做多项式 n n a x n n a + a x + a x ++ a x 2 0 1 2 ( 0) an 的最高次项,非负整数n叫做多项式 n n a + a x + a x ++ a x 2 0 1 2 ( 0) an 的次数. 记作 (f (x)) 0 注： 系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做 零多项式，记为 0
4.1.4多项式的运算 多项式的加法 给定数环R上两个多项式 f(x)=ao+a,x+a2x2+.+a,xm g(x=2+b1x+b2x2+…+bm 且m≤n,f(x)和g(x)的加法定义为 f(x)+g()=(a+b)+(n+b)x+(a2+b22+…+(an+b 这里当m<n时,bn1 b.=0 7匚首页【上页匚返回下页结束铃
7 首页 上页 返回 下页 结束 铃 4.1.4 多项式的运算 多项式的加法 给定数环R上两个多项式 ( ) n n f x = a + a x + a x ++ a x 2 0 1 2 ( ) m m g x = b + b x + b x ++ b x 2 0 1 2 且m ≤ n, f (x) 和g (x) 的加法定义为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n f x + g x = a + b + a + b x + a + b x ++ a + b x 2 0 0 1 1 2 2 这里当m < n 时， bm+1 == bn = 0
多项式的乘法 给定数环R上两个多项式 f(x)=ao+a,x+a2x2+.+a,xm 8(x)=bo+b,x+b,x2+.+bmx"m f(x)和g(x)的乘法定义为 f(xg(x)=Co+Cx+C2x2+.+ n+m n+n 这里 k=anb+ab21+…+akb+akb2,k=0,12…,n+m 8【首页上页返回下页结束铃
8 首页 上页 返回 下页 结束 铃 多项式的乘法 给定数环R上两个多项式 ( ) n n f x = a + a x + a x ++ a x 2 0 1 2 ( ) m m g x = b + b x + b x ++ b x 2 0 1 2 f (x) 和g (x) 的乘法定义为 ( ) ( ) n m n n f x g x c c x c x c x + = + + ++ + 2 0 1 2 ck = a0 bk + a1 bk−1 ++ ak−1 b1 + ak b0 , k = 0,1, 2, , n + m 这里
多项式的减法 f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x) 9【首页[上页返回【下页匚结束铃
9 首页 上页 返回 下页 结束 铃 多项式的减法 f (x)− g(x) = f (x)+ (− g(x))
4.1.5多项式加法和乘法的运算规则 (1)加法交换律:f(x)+g(x)=8(x)+f(x) (2)加法结合律:((x)+(x)+hx)=f(x)+(g(x)+h(x) (3)乘法交换律:f(x)(x)=g(x)(x (4)乘法结合律:((x)g(x)x)=f(x)g(x)h(x) (5)乘法对加法的分配律:/(xXg(x)+(x)=(x(x)+(x(x) 注意:要把一个多项式按“降幂”书写 ax+ax+ t ao 当an≠0时,anx叫做多项式的首项 10歃·【结【铃
10 首页 上页 返回 下页 结束 铃 4.1.5 多项式加法和乘法的运算规则 （1）加法交换律: f (x)+ g(x) = g(x)+ f (x) （2）加法结合律: (f (x)+ g(x))+ h(x) = f (x)+ (g(x)+ h(x)) （3）乘法交换律: f (x)g(x) = g(x)f (x) （4）乘法结合律: (f (x)g(x))h(x) = f (x)(g(x)h(x)) （5）乘法对加法的分配律: f (x)(g(x)+ h(x)) = f (x)g(x)+ f (x)h(x) 注意：要把一个多项式按“降幂”书写 1 0 1 a x a 1 x a x a n n n n + + + + − − 当 an 0 时， n n a x 叫做多项式的首项