第一节对弧长的曲线积分 问题的提出 巴二、对弧长的曲线积分的概念 巴三、对弧长的曲线积分的计算 四、几何与物理意义 五、小结思考题 「划回
、问题的提出 B L M 实例:曲线形构件的质量 (5,n)/M 分MM2,…,Mm→△sM 匀质之质量M=p·S 工工工 取(5,m)∈As,△M1≈p(5,m):△, 求和M≈∑p(5,m)△s 」近似值 精确值 取极限M=lim →>0 ∑p(5,mn)△ 上页
一、问题的提出 实例:曲线形构件的质量 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i L 匀质之质量 M = s. 分割 , , , , 1 2 n 1 i M M M → s − ( , ) , i i i 取 s ( , ) . i i i i M s 求和 ( , ) . 1 = n i i i i M s 取极限 lim ( , ) . 1 0= → = n i i i i M s 近似值 精确值
二、对弧长的曲线积分的概念 1定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧函数f(x,y) 在L上有界用L上的点M1,M2,Mn把L分成n 个小段设第个小段的长度为,又(21,m1)为第 f个小段上任意取定的一点,y B 王作乘积(,m)As, L M I-I ,n)M2 n 王并作和∑/(,m),△, 0 上页
二、对弧长的曲线积分的概念 ( , ) , ( , ) , , . , ( , ) . , , , , ( , ) 1 1 2 1 = − n i i i i i i i i i i n f s f s i i s L L M M M L n L xoy f x y 并作和 作乘积 个小段上任意取定的一点 个小段设 第 个小段的长度为 又 为 第 在 上有界用 上的点 把 分 成 设 为 面内一条光滑曲线弧函 数 1.定义 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i L
如果当各小弧段的长度的最大值λ→0时, 这和的极限存在则称此极限为函数f(x,y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分,记作[,∫(x,y)ds,即 dL 被积函数 /(b=m2/()△L(积分相 i=1 积分弧段 曲线形构件的质量M=(xy) 上页
( , ) lim ( , ) . , ( , ) , , ( , ) 0 , 1 0 = → = → n i i i i L L f x y ds f s f x y ds L f x y 线积分 记 作 即 在曲线弧 上对弧长的曲线积分或第一类曲 这和的极限存在 则称此极限为函数 如果当各小弧段的长度的最大值 时 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 ( , ) . = L M x y ds
2存在条件: 当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分∫(x,y)存在 3:推广 函数f(x,y,z)在空间曲线弧r上对弧长的 工工工 曲线积分为 f(x,y)d=im∑(5,,)△ 上页
2.存在条件： ( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存 在 当 在光滑曲线弧 上连续时 L f x y ds f x y L 3.推广 曲线积分为 函 数 f (x, y,z)在空间曲线弧上对弧长的 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds = f s = →
注意 1.若L(或r)是分段光滑的,(L=L1+L2) f(x, y)ds= f(x, y)ds+ f(, y)ds. L1+L2 L 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的 曲线积分记为(x,y 上页
注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2 = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( , ) . 2. ( , ) L f x y ds f x y L 曲线积分记为 函 数 在闭曲线 上对弧长的
4性质 ()J(x,)8(x,y)=Jf(x,y)士9(x (2)6(x,)=(x)(为常数 工工工 (3)|,f(x,y)d=.f(x,y)d L 5+ f(x, y)a (L=L1+L2) 上页
4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . = L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf (x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). L L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2
士 三、对弧长曲线积分的计算 定理 设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为X=q(a≤t≤B)其中 ∪y=v( q(t),v(t)在a,上具有一阶连续导数,且 (a<B) 上页
三、对弧长曲线积分的计算 定理 ( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ), ( ) [ , ] , ( ) ( ), ( ), ( , ) , 2 2 = + = = f x y ds f t t t t dt t t t y t x t L f x y L L 在 上具有一阶连续导数 且 的参数方程为 其中 设 在曲线弧 上有定义且连续
注意: 1.定积分的下限a一定要小于上限B; 2.∫(x,y)中x,y不彼此独立,而是相互有关的 特殊情形 (1)L:y=y(x)a≤x≤b. 「f(x,y)d=n1xv(x)+y2(xt(a≤b) 上页
注意: 1. 定积分的下限 一定要小于上限 ; 2. f (x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的. 特殊情形 (1) L : y =(x) a x b. ( , ) [ , ( )] 1 ( ) . 2 f x y ds f x x x dx b L a = + (a b)
(2)L:x=q(y)c≤y≤d ∫f(x,y)=(my1() (c<d) 推广:r:x=φ(t),y=v(t),z=o(t).(a≤t≤B 「f(x,z =n1a()y(),o(g(o)+v"()+o(oMt (a<B) 上页 圆
推广: : x = (t), y =(t), z =(t). ( t ) ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( , , ) 2 2 2 = + + f t t t t t t dt f x y z ds (2) L : x = ( y) c y d. ( , ) [ ( ), ] 1 ( ) . 2 f x y ds f y y y dy d L c = + (c d )