绵阳师范学院：《高等数学》课程各章题解（高等代数）第二章 矩阵

第二章矩阵 2.1矩阵的运算 1.计算 246 6|-1-2-4 0hb 032 21231121 012|-110012 2.证明,两个矩阵A与B的乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B 第j列等于B的第j列左乘以A 3.可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律: (设B=(b,)是一个nxp矩阵,令B=(,b2,…,bn)是B的第j 户=12,P.又设5=(x,x,…,x)是任意一个px1矩阵.证明: B5=x1B1+x2B+…+xBp (i)设A是一个mxn矩阵.利用(i)及习题2的结果,证明 A(B5)(AB)5 (i)设C是一个pxq矩阵.利用(i),证明: A(BCFAB)C 设

第二章 矩 阵 §2.1 矩阵的运算 1．计算           − − − − − −           1 2 4 1 2 4 1 2 4 3 6 9 2 4 6 1 2 3 ；               − − −         − − − 2 1 4 3 0 5 0 1 3 1 3 2 2 0 1 4 3 1 0 2 ； ( )               n n b b b a a a   2 1 1 2 , , , ； ( ) n n b b b a a a   , , 1 2 2 1               ；                     − −           3 1 1 0 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 0 2 3 1 3 1 1 0 1 2 1 2 1 ． 2．证明，两个矩阵 A 与 B 的乘积 AB 的第 i 行等于 A 的第 i 行右乘以 B， 第 j 列等于 B 的第 j 列左乘以 A． 3．可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律： (i) 设 B=( ij b )是一个 n  p 矩阵．令  j =( )  j bnj b , b2 j, , 1  是 B 的第 j 列， j=1,2,…,p ． 又 设 ( )  = p x , x , , x  1 2  是 任 意 一 个 p  1 矩 阵 ． 证 明 ： B  = p p x11 + x2 ++ x  ． (ii)设 A 是一个 m  n 矩阵．利用(i)及习题 2 的结果，证明： A(B  )=(AB)  ． (iii)设 C 是一个 pxq 矩阵．利用(ii)，证明： A(BC)=(AB)C． 4．设

0010 0001 0000 证明:当且仅当 a b c d 0 a b B= 00 a b 时,AB=BA。 5.令E是第i行第j列的元素是1而其余元素都是零的n阶矩阵求EE 6.求满足以下条件的所有n阶矩阵A (AE= EA LFl, 2. (AB=BA 这里B是任意n阶矩阵 7.举例证明,当AB=AC时,未必B=C 8.证明,对任意n阶矩阵A和B,都有AB-BA≠I.[提示,考虑ABBA 的主对角线上的元素的和] 9.令A是任意n阶矩阵,而I是n阶单位矩阵,证明: (1-A)I+A+A2+…+Am)=1-Am 10对任意n阶矩阵A,必有n阶矩阵B和C,使A=BC,并且B=B',C=-C §2.2可逆矩阵矩阵乘积的行列式 1.设对5阶矩阵实行以下两个初等变换:把第二行的3倍加到第三行,把 第二列的3倍加到第三列,相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么? 2.证明:一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵 3.求下列矩阵的逆矩阵:

A=               0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 证明：当且仅当 B=               a a b a b c a b c d 0 0 0 0 0 0 时，AB=BA。 5．令 Eij 是第 i 行第 j列的元素是 1 而其余元素都是零的 n 阶矩阵．求 Eij Ekl ． 6．求满足以下条件的所有 n 阶矩阵 A (i) AEij = Eij A i,j=1,2,…,n, (ii)AB=BA 这里 B 是任意 n 阶矩阵。 7．举例证明，当 AB=AC 时，未必 B=C． 8．证明，对任意 n 阶矩阵 A 和 B，都有 AB-BA≠I．[提示，考虑 AB-BA 的主对角线上的元素的和] 9．令 A 是任意 n 阶矩阵，而 I 是 n 阶单位矩阵，证明： ( I − A )( 2 −1 + + + + m I A A  A )= m I − A 10.对任意 n 阶矩阵 A，必有 n 阶矩阵 B 和 C，使 A=B+C，并且 B = B ,C = −C §2.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式 1．设对 5 阶矩阵实行以下两个初等变换：把第二行的 3 倍加到第三行，把 第二列的 3 倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么？ 2．证明：一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵． 3．求下列矩阵的逆矩阵：

cosc -sin a 34 sin a cos a I w w2w=cos-+isin 4.设A是一个n阶矩阵,并且存在一个正整数m使得Am=O (i)证明-A可逆,并且 -A)=I+A+…+A (i)求矩阵 1-12-34 01-12-3 0001 00001 的逆矩阵。 证明,A总可以表成T2(k)和T21(k)型初等矩阵的乘积 6.令A是n阶矩阵A的伴随矩阵,证明 det A"=(det A) (区别detA≠0和detA=0两种情形) 7.设A和B都是n阶矩阵.证明,若AB可逆,则A和B都可逆 8.设A和B都是n阶矩阵.证明,若AB=,则A和B互为逆矩阵 9.证明,一个n阶矩阵A的秩≤1必要且只要A可以表为一个nx1矩阵和 个1×n矩阵的乘积 10.证明:一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和 11.设A是一个nxn矩阵,B=(b,b2,…bn)’,5=(x1,x2,…,x)都是nx1

. 3 2 sin 3 2 , cos 1 1 1 1 1 ; sin cos cos sin ; 5 3 1 3 4 2 1 2 1 2 2       w i w w w w = +                   −           − − − 4．设 A 是一个 n 阶矩阵，并且存在一个正整数 m 使得 A O m = (i) 证明 I − A 可逆，并且 1 1 ( ) − − − = + + + m I A I A  A (ii)求矩阵                 − − − − − − 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 2 0 1 1 2 3 1 1 2 3 4 的逆矩阵。 5．设 , − = 1.         = ad bc c d a b A 证明， A 总可以表成 ( ) 12 T k 和 ( ) 21 T k 型初等矩阵的乘积． 6．令  A 是 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，证明 det (det ) .  −1 = n A A (区别 detA≠0 和 detA=0 两种情形) 7．设 A 和 B 都是 n 阶矩阵．证明，若 AB 可逆,则 A 和 B 都可逆． 8．设 A 和 B 都是 n 阶矩阵．证明，若 AB=I,则 A 和 B 互为逆矩阵． 9．证明，一个 n 阶矩阵 A 的秩≤1 必要且只要 A 可以表为一个 n  1 矩阵和 一个 1  n 矩阵的乘积． 10.证明：一个秩为 r 的矩阵总可以表为 r 个秩为 1 的矩阵的和． 11．设 A 是一个 n  n 矩阵， ( , , , ) , ( , , , ) 1 2 1 2 =  =  n n  b b  b  x x  x 都是 n  1

矩阵.用记号(A←B)表示以B代替A的第i列后所得到的n×n矩阵 (线形方程组A5=B可以改写成A(1←5)=(AB),i=1,2,…,n,I是n 阶单位矩阵 i)当detA≠0时,对(ω)中的矩阵等式两端取行列式,证明克拉默规则. §2.3矩阵的分块 求矩阵 3200 31-193-4 2314 的逆矩阵 2.设A,B都是n阶矩阵,I是n阶单位矩阵,证明 B OO OI人BBA 3.设 T 都是n=r+s阶矩阵,而 A A2 A3A4) 是一个n阶矩阵,并且与S,T有相同的分法.求SA,AS,TA和AT有此能得出什 么规律? 4.证明,2n阶矩阵 总可以写成几个形如 Q

矩阵．用记号 ( ⎯⎯ ) i A 表示以  代替 A 的第 i 列后所得到的 nn 矩阵． (i)线形方程组 A =  可以改写成 A(I ) (A ),i 1,2, ,n, ⎯i⎯ = ⎯i⎯  =  I 是 n 阶单位矩阵． (ii)当 detA≠0 时，对(i)中的矩阵等式两端取行列式，证明克拉默规则． §2.3 矩阵的分块 1．求矩阵               − − − − − − 23 14 2 3 31 19 3 4 3 2 0 0 2 1 0 0 的逆矩阵． 2．设 A，B 都是 n 阶矩阵，I 是 n 阶单位矩阵，证明 .                 =                B BA O O O I I A O I I A B O AB O 3．设         =         = s r s r O I I K T K I I O S , 都是 n=r+s 阶矩阵，而         = 3 4 1 2 A A A A A 是一个 n 阶矩阵，并且与 S,T 有相同的分法．求 SA,AS,TA 和 AT.有此能得出什 么规律？ 4．证明，2n 阶矩阵         −1 O A A O 总可以写成几个形如                 Q I I O O I I P

的矩阵的乘积 5.设 O A A A 是一个对角线分块矩阵.证明 det a=( det A, x(det A2).(det As) 6.证明,n阶矩阵 C B 的行列式等于( detadetB) 7.设A,BC,D都是n阶矩阵,其中detA≠0并且AC=CA,证明 A B det( AD-CB)

的矩阵的乘积． 5．设               = O O As O A O A O O A        2 1 是一个对角线分块矩阵．证明: det (det )(det ) (det ) A = A1 A2  As 6．证明，n 阶矩阵         C B A O 的行列式等于(detA)(detB) 7．设 A,B,C,D 都是 n 阶矩阵，其中 detA≠0 并且 AC=CA，证明 det det(AD CB). C D A B = −        