绵阳师范学院：《高等数学》课程PPT教学课件（高等代数）第6章 线性变换

第6章线性变换 6.1线性映射 6.2线性变换的运算 6.3线性变换和矩阵 6.4不变子空间 6.5特征值和特征向量 6.6可以对角化矩阵 首页 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 第6章 线性变换 6.1 线性映射 6.2线性变换的运算 6.3 线性变换和矩阵 6.4 不变子空间 6.5 特征值和特征向量 6.6 可以对角化矩阵

当代数和几何结合成伴侣时,他们就相互吸取 对方的新鲜活力,并迅速地趋于完美。 拉格朗日( Lagrange,1736-1813) 数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。 数缺形时少知觉,形少数时难入微。 华罗庚(1910-1985) 首页 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取 对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美。 ---拉格朗日（Lagrange,1736-1813） 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。 数缺形时少知觉，形少数时难入微。 ---华罗庚（1910－1985）

6.1线性映射 、内容分布 6.1.1线性映射的定义、例 6.1.2线性变换的象与核 二、教学目的: 1.准确线性变换(线性映射)的定义,判断给定 的法则是否是一个线性变换(线性映射) 2.正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的 联系,并能求给定线性变换的象与核 重点难点:判断给定的法则是否是一个线性变 换(线性映射),求给定线性变换的象与核 首页【上页【返回【下页【结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 6.1 线性映射 一、内容分布 6.1.1 线性映射的定义、例. 6.1.2 线性变换的象与核. 二、 教学目的: 1．准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定 的法则是否是一个线性变换（线性映射）． 2．正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的 联系，并能求给定线性变换的象与核． 三、 重点难点: 判断给定的法则是否是一个线性变 换（线性映射），求给定线性变换的象与核．

6.1.1线性映射的定义、例 设F是一个数域,V和M是F上向量空间 定义1设是v到W的一个映射如果下列条 件被满足,就称σ是v到W的一个线性映射: ①对于任意与,∈V,o(2+m)=o()+(m7) ②2对于任意a∈F,∈V,o(a2)=a0( 容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件 ③对于任意ab∈F和任意,n o(as +bn=ao(s)+bo(n 首页 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 6.1.1 线性映射的定义、例 设F是一个数域，V和W是F上向量空间. 定义1 设σ是V 到W 的一个映射. 如果下列条 件被满足，就称σ是V 到W 的一个线性映射： ①对于任意 ②对于任意 容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件： ③对于任意 和任意 , V, ( +) =() +(). a  F, V,(a) = a() a,b F , V, (a +b) = a() +b()

在②中取a=0,对③进行数学归纳,可以得到: (1)(0)=0 (2)o(a151+…+ann)=a1o(51)+…+anO(n) 例1对于R2的每一向量2=(x,x2)定义 )=( +x2)∈R o是R到R的一个映射,我们证明,o是一个线 性映射 例2令H是V2中经过原点的一个平面对于的每 向量,令σ《疲示向量在平面H上的正射影 根据射影的性质,a:5O()是v3到V的一个线 性映射 首页 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 在②中取 ，对③进行数学归纳，可以得到： （1） （2） a = 0  (0) = 0 ( ) ( ) ( )  a1 1 ++ an  n = a1  1 ++ an   n 例1 对于 的每一向量 定义 σ是 到 的一个映射，我们证明，σ是一个线 性映射. 2 R ( ) 1 2  = x , x ( ) ( ) 3 1 1 2 1 2   = x , x − x , x + x  R 3 R 2 R 例2 令H是 中经过原点的一个平面.对于 的每 一向量ξ，令 表示向量ξ在平面H上的正射影. 根据射影的性质， 是 到 的一个线 性映射. V3 V3 ( )  : ( ) V3 V3

例3令A是数域F上一个m×n矩阵,对于m元列空 间的F每一向量 规定:o()=A5 o()是一个m×1矩阵即是空间F的一个向量 o是到F的尸价个线性映射 首页 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例3 令A是数域F上一个m × n矩阵，对于n元列空 间的 F m 每一向量               = n x x x  2 1  规定： ( ) =  是一个m×1矩阵，即是空间 的一个向量， σ是 到 的一个线性映射. ( ) m F m F n F

例4令v和W是数域F上向量空间对于V的每一向 量ξ令W的零向量0与它对应,容易看出这是v到 W的一个线性映射,叫做零映射. 例5令V是数域F上一个向量空间,取定F的一个数 k,对于任意∈V,定义o()=k 容易验证,o是V到自身的一个线性映射,这样 个线性映射叫做v的一个位似 特别,取k=1,那么对于每一∈V,都有o()=5 这时σ就是V到V的恒等映射,或者叫做V的单位映 射,如果取k=0,那么o就是V到v的零映射 首页【上页【返回【下页【结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例4 令V 和W是数域F 上向量空间.对于V 的每一向 量ξ令W 的零向量0与它对应，容易看出这是V 到 W的一个线性映射，叫做零映射. 例5 令V是数域F上一个向量空间，取定F的一个数 k，对于任意 定义 容易验证，σ是V 到自身的一个线性映射，这样一 个线性映射叫做V 的一个位似. 特别，取k = 1，那么对于每一 都有 这时σ就是V到V的恒等映射，或者叫做V的单位映 射，如果取k = 0，那么σ就是V 到V的零映射.  V, ( ) = k  V, ( ) = 

例6取定F的一个n元数列(a1a2…,an)对于Fn 的每一向量5=(x1x2….xn)规定 o()=a1x1+a2x2+…+anxn∈F 容易验证,σ是F到F的一个线性映射,这个线性 映射也叫做F上一个n元线性函数或一个线性 型 例7对于F×的每一多项式f(x),令它的导数 f(x)与它对应,根据导数的基本性质,这样定义 的映射是Fx]到自身的一个线性映射 首页 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例6 取定F的一个n元数列 对于 的每一向量 规定 容易验证，σ是 到F的一个线性映射，这个线性 映射也叫做F上一个n元线性函数或 上一个线性 型. ( ). 1 2 n a a  a n F ( ). 1 2 n  = x x  x ( ) = a1 x1 + a2 x2 ++ an xn  F n F n F 例7 对于F[x] 的每一多项式 f（x），令它的导数 与它对应，根据导数的基本性质，这样定义 的映射是F[x]到自身的一个线性映射. f (x)

例8令C[a,的是定义在[a,的上一切连续实函数所 成的R上向量空间,对于每一f(x)∈Cab规定 o((x))=f(dt o((x)仍是[a,6上一个连续实函数,根据积分的 基本性质,σ是Ca,6到自身的一个线性映射 首页 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例8 令C[a, b]是定义在[a, b]上一切连续实函数所 成的R上向量空间，对于每一 规定 仍是[a, b]上一个连续实函数，根据积分的 基本性质，σ是C[a, b]到自身的一个线性映射. f (x)Ca,b, (f (x)) f (t)dt x a  = (f (x))

6.1.2线性变换的象与核 定义2设是向量空间V到W的一个线性映射, (1)如果gV,那么a(")={G()|∈Ⅳ}叫做 在σ之下的象 2)设WcW,那么{∈V|()∈W}叫做W在σ 之下的原象 定理611设v和W是数域F上向量空间,而 σ:→W是一个线性映射,那么V的任意子空间 在σ之下的象是W的一个子空间,而W的任意子空 间在σ之下的原象是v的一个子空间 首页【上页【返回【下页【结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 6.1.2 线性变换的象与核 定义2 设σ是向量空间V到W的一个线性映射, (1) 如果 那么 叫做 在σ之下的象. (2) 设 那么 叫做 在σ 之下的原象. V V, (V) = {() |  V} V  W W, { V |()W} W  定理6.1.1 设V 和W 是数域F 上向量空间，而 是一个线性映射，那么V 的任意子空间 在σ之下的象是W 的一个子空间，而W 的任意子空 间在σ之下的原象是V 的一个子空间.  :V →W