第1章行列式 小线性方程组和行列式 1,2排列 13m阶行列式 14子式和代数余子式行列式依行(列)展开 1.5克拉默法则
1 首页 上页 返回 下页 结束 铃 第1章 行列式 1.1 线性方程组和行列式 1.2 排列 1.3 n阶行列式 1.4 子式和代数余子式 行列式依行(列)展开 1.5 克拉默法则
影够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序 和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人,而且只限于 这种人 庞加莱( Poincare,1854-1921 个数学家,如果他不在某种程度上成为一个诗人, 那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。 外尔斯特拉斯( Weierstrass,1815-1897) 2【首页〖上页【返回【下页〖结束匚铃
2 首页 上页 返回 下页 结束 铃 能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、 和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于 这种人。 ――庞加莱(Poincare，1854－1921) 一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人， 那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。 －－外尔斯特拉斯（Weierstrass，1815－1897）
性方程组和行列 内容分布 111二阶、三阶行列式的计算(对角线法则) 1.1.2行列式在线性方程组中的应用 教学目的 1.了解二阶、三阶行列式的定义。 2会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式 重点难点 利用对角线法则计算二阶、三阶行列式 3首页【上页【返回匚下页【结東铃
3 首页 上页 返回 下页 结束 铃 1.1 线性方程组和行列式 一、内容分布 1.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则) 1.1.2 行列式在线性方程组中的应用 二、教学目的： 1.了解二阶、三阶行列式的定义。 2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。 三、重点难点： 利用对角线法则计算二阶、三阶行列式
.二阶、三阶行列式的 阶有列式 我们用记号a2 表示代数和a1 称为二阶行列式,即 aua 4匚首页上页【返回【下页结束匚铃
4 首页 上页 返回 下页 结束 铃 1.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则) 二阶行列式 我们用记号 21 22 11 12 a a a a 表示代数和 a11a22 − a12a21 称为二阶行列式, 即 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = −
阶行列 我们用记号a21a2a2 一表示代数和 c1a233+a1223431+a13421a32-a1423432-a12a2143-a13a2231 称为三阶行列式,即 主对角线法 D 三元素乘积取“+2号; 元素乘积取 =a1a2a3+a12231+a2232-a1a23432-a12a 5【首页上页返回」【下页【结束铃
5 首页 上页 返回 下页 结束 铃 三阶行列式 我们用记号 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 表示代数和 a1 1a2 2a3 3 + a1 2a2 3a3 1 + a1 3a2 1a3 2 − a1 1a2 3a3 2 − a1 2a2 1a3 3 − a1 3a2 2a3 1 称为三阶行列式, 即 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D = + + − − − = 主对角线法 ‘—’三元素乘积取“+”号； ‘—’三元素乘积取“-”号
112行列式在线性方程组中的应用 (1)如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1) a1x1+a12x2=b1 a21x+a2x2=b, 它的系数作成的二阶行列式41≠0,那么方程组1有解 12 11 11 (2)如果含有三个未知量三个方程的线性方程组(2)2x+22+a33=b b 他的系数作成的三阶行列式D=a1a2a3≠0,那么方程组(2)有解 6■【[曲“【结束【铃
6 首页 上页 返回 下页 结束 铃 1.1.2 行列式在线性方程组中的应用 (1) 如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1) + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 它的系数作成的二阶行列式 0 21 22 11 12 a a a a ,那么方程组(1)有解 , . 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 a a a a a b a b x a a a a b a b a x = = (2) 如果含有三个未知量三个方程的线性方程组(2) + + = + + = + + = 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 他的系数作成的三阶行列式 0 31 32 33 21 22 23 11 12 13 = a a a a a a a a a D ,那么方程组(2)有解
D这里 D D D D,=aa b a2 anal 我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式然后利用这 工具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组 例题选讲 例计算 又如,设D22 试问 (1)当A为何值时D=0;(2)当4为何值时D≠0 解:由阶行列式的定义有: 5)=4×2-(-3)×5=23 而D x2-3 (1)当D=2-3=0时得4=0或A=3 7首「如(23酬≠结束■铃
7 首页 上页 返回 下页 结束 铃 , , , 3 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x = = = 这里 3 1 3 2 3 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 3 3 1 3 3 3 2 1 2 2 3 1 1 1 1 3 2 3 3 2 3 3 2 2 2 2 3 1 1 2 1 3 1 , , a a b a a b a a b D a b a a b a a b a D b a a b a a b a a D = = = 我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式,然后利用这一 工具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组. 例题选讲 . 5 2 4 − 3 例 (1) (2) 2 计算 , 0 3 1 = 又如 设 D = 试问 当 为何值时 当 为何值时 , D ; D 0 . 解:由阶行列式的定义有: (2) 3 0 , 0 3. (1) 3 0 , 0 3. 3 3 1 4 2 ( 3) 5 23 5 2 4 3 2 2 2 2 = − = − = = = = = − = − − = − 当 时 得 或 当 时 得 或 而 D D D
12 作列 肉容分布 1.2.1排列、反序与对换 1.2,2奇、偶排列的定义及性质 教学目的 了解排列、反序、对换的定义 重点难点 求反序数 8首页【上页【返回匚下页【结東铃
8 首页 上页 返回 下页 结束 铃 1.2 排列 一、内容分布 1.2.1 排列、反序与对换 1.2.2 奇、偶排列的定义及性质 二、教学目的 了解排列、反序、对换的定义 三、重点难点 求反序数
2.排列反序与对换 定义n个数码12,m的一个指的是由这n个数码组 成的一个有序组 例如:1234,2314都是四个数码的排列。 n个数码的不同排列共有n!个 例如:1,2,3这三个数码的全体不同的排列一共有3!=6 个,它们是:123,132,231,213,312,321。 定义2在一个排列里,如果某一个较大的数码排在某一个 较小的数码前面,就说这两个数码构成一个反序 谢算反序数的方法:看有多少个数码排在1的前面,设为m 个,那么就有m个数码与1构成反序;然后把1划去,再看 有多少个数码排在2的前面,设为m2个,那么就有m2个数 码与2构成反序;然后把2划去,计算有多少个数码在3前面, 设为m 如此继续下去,最后设在n前面有m 首贞“上页 返回 厂下页 结束 铃
9 首页 上页 返回 下页 结束 铃 1.2.1 排列、反序与对换 例如: 1234，2314都是四个数码的排列。 定义1 n个数码 1,2, n 的一个排列指的是由这n个数码组 成的一个有序组. n个数码的不同排列共有n！个 例如：1，2，3这三个数码的全体不同的排列一共有3！= 6 个，它们是：123，132，231，213，312，321。 定义2 在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个 较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。 计算反序数的方法：看有多少个数码排在1的前面，设为 m1 个，那么就有 m1 个数码与1构成反序；然后把1划去，再看 有多少个数码排在2的前面，设为 m2 个，那么就有 m2 个数 码与2构成反序；然后把2划去，计算有多少个数码在3前面， 设为 m3 个，……，如此继续下去，最后设在n前面有 mn 个
数码(显然m=0),那么这个排列的反序数等于 m1+m2++m.。 例如:在排列451362里,m1=2,m2=4,m2=2,m1=m1=mn=0 所以这个排列有8个序。 个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个 反序的排列叫做一个偶排列;有奇数个反序的排列叫做奇 排列。 10首页【上页【返回匚下页【结東铃
10 首页 上页 返回 下页 结束 铃 数码（显然 mn = 0 ），那么这个排列的反序数等于 m1 + m2 ++ mn 。 例如：在排列451362里， 2, 4, 2, 0. m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = m6 = 所以这个排列有8个序。 一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个 反序的排列叫做一个偶排列；有奇数个反序的排列叫做奇 排列