章欧氏空间 1=向量的内积 7.2正交基 7.3正交变换 7.4对称变换和对称矩阵 上页 返回 下页 结束
1 首页 上页 返回 下页 结束 铃 第7章 欧氏空间 7.1 向量的内积 7.2 正交基 7.3 正交变换 7.4 对称变换和对称矩阵
在几何学中(编者按:在数学中),没有专门为国 王设置的捷径。 欧几里德( Euclid,约前325-约前265) 上页 返回 下页 结束
2 首页 上页 返回 下页 结束 铃 在几何学中（编者按:在数学中），没有专门为国 王设置的捷径。 ---欧几里德(Euclid ,约前325 - 约前265)
了」向量的内积幅 内容分布 向量的内积、欧氏空间的定义 的长度、两非零向量的夹角 7两向量正交、正交向量组的定义、性质 教学目的 准确理解并掌握以下概念及其基本性质:向量的内积、欧氏空间、向量的 长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离 2,掌握常见的几种欧氏空间;会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量ξ n的内积2≤及其它不等式,并会用它来证明另 些不等式 、重点难点 1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念 5,5×的灵活运用 2不等式 上页 返回 下页 结束
3 首页 上页 返回 下页 结束 铃 7.1 向量的内积 一、内容分布 7.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 7.1.2向量的长度、两非零向量的夹角 7.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质 二、教学目的： 1．准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的 长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离． 2．掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量ξ 与η的内积，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间． 3．掌握 , , , 2 及其它不等式，并会用它来证明另 三、重点难点： 1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念; 2.不等式 , , , 2 的灵活运用. 一些不等式
7.1.向量的内积、欧空间的定义 定义1设V是实数域R上一个向量空间.如果对于 v中任意一对向量,有一个确定的记作=+ 3)=a 4)当5≠0时,0 这里,25是的任意向量,a是任意实数,那么 5>叫做向量ξ与n的内积,而叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间(简称欧氏空间) 上页 返回 下页 结束
4 首页 上页 返回 下页 结束 铃 7.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 1) = , , 2) +, =, + , 3) a, = a , 4) 当 0 时, , 0 定义1 设V是实数域R上一个向量空间. 如果对于 V中任意一对向量 有一个确定的记作 , 的实数与它们对应，并且下列条件被满足： , 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数， , 那么 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）. 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于
例1在Rn里,对于任意两个向量 M1.x 规定=x1y1+x2y2+…+xnyn 容易验证,关于内积的公理被满足,因而Rn 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间 例2在R里,对于任意向量 =(x12x2,xn)2=(y1,y2x…,yn 规定 1>=x1y1+x2y2+…+xnyn 不难验证,R"也作成一个欧氏空间 上页 返回 下页 结束
5 首页 上页 返回 下页 结束 铃 n R ( , ,..., ), 1 2 n = x x x ( , ,..., ) 1 2 n = y y y n n , = x y + x y +...+ x y 1 1 2 2 例1 在 规定 里,对于任意两个向量 容易验证,关于内积的公理被满足,因而 n R 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间. n R ( , ,..., ), 1 2 n = x x x ( , ,..., ) 1 2 n = y y y n n , = x y + x y +...+ x y 1 1 2 2 例2 在 规定 里,对于任意向量 不难验证, 也作成一个欧氏空间. n R
例3令C[a,是定义在[a,b上一切连续实函数 所成的向量空间,f(x)28(x)∈CIa,b 我们规定≤f,g>=J(x)g(x) 根据定积分的基本性质可知,内积的公理 1)-4)都被满足,因而Ca,b作成一个欧氏空间 例4令H是一切平方和收敛的实数列 x<+ 所成的集合在H中用自然的方式定义加法和标 量与向量的乘法: 上页 返回 下页 结束
6 首页 上页 返回 下页 结束 铃 例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数 f (x), g(x)C[a,b] 我们规定 所成的向量空间, f , g f (x)g(x)dx. b a = 根据定积分的基本性质可知,内积的公理 1)---4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间. 例4 令H是一切平方和收敛的实数列 ( , ,..., ), 1 2 n = x x x + =1 2 n xn 所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标 量与向量的乘法:
设5=(x12x2)7=(12y2…)2a∈R 规定5+7=(x1+n12x2+y2),a5=(ax12x2 向量5=(x,x2)7=(12y2,…)的内积由公式 5,n>=∑xny 给出,那么H是一个欧氏空间 练习1a=(a1,a2),B=(b1,b2)为向量空间 中任意两向量证明:R2对 a, B)=ma,b,+na, b 作成欧氏空间的充分必要条件是m>0,n>0 返回 下页 结束
7 首页 上页 返回 下页 结束 铃 设 ( , ,...), ( , , ), . = x1 x2 = y1 y2 aR ( , ,...); 1 1 2 2 + = x + y x + y ( , ,...) 规定 a = ax1 ax2 = = 1 , n n n x y 向量 的内积由公式 给出，那么H是一个欧氏空间. ( , ,...), ( , , ) = x1 x2 = y1 y2 ( , ), ( , ) = a1 a2 = b1 b2 2 R 1 1 2 2 , = ma b + na b 练习1 为向量空间 中任意两向量,证明: 对 作成欧氏空间的充分必要条件是m > 0, n > 0
7.1.2向量的长度、两非零向量的 定义2设ξ是欧氏空间的一个向量,非负实数 叫做ξ的长度,向量ξ的长度用符号 表示:图=√ 定理711在一个欧氏空间里,对于任意向量 5,.有不等式 <27 (6) 一当且仅当ξ与n线性相关时,上式才取等号 上页 返回 下页 结束
8 首页 上页 返回 下页 结束 铃 7.1.2 向量的长度、两非零向量的 夹角 , , = , 定义2 设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数 的算术根 叫做ξ的长度，向量ξ的长度用符号 表示： 定理7.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量 ,. 有不等式 , , , 2 (6) 当且仅当ξ与η线性相关时，上式才取等号
定义3设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量 ξ与n的夹角0由以下公式定义: cos e 例5令R"是例1中的欧氏空间.R中向量 (x1,x2…,xn)的长度是 =√5>=√x2+x2+…+ 由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ和 任意实数a,有 上页 返回 下页 结束
9 首页 上页 返回 下页 结束 铃 定义3 设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量， ξ与η的夹角θ由以下公式定义： = , cos 例5 令 n R 是例1 中的欧氏空间. 中向量 ( , ,..., ) 1 2 n = x x x 的长度是 2 2 2 2 1 , ... n = = x + x + + x 由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ 和 任意实数a,有 n R
=、=1-=c 注:一个实数a与一个向量的乘积的长度等于a的 绝对值与的长度的乘积 有不等式 (a1b1+…+anbn)2≤(a1+…+an)2(bh1+…+bn)2(7) (7)式称为柯西( Cauchy)不等式 上页 返回 下页 结束
10 首页 上页 返回 下页 结束 铃 有不等式 2 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) a b ++ an bn a ++ an b ++ bn (7) (7)式称为柯西(Cauchy)不等式. a = a,a = a , = a 2 注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度 等于a的 绝对值与ξ的长度的乘积