第七章欧氏空间 §7.1向量的内积 1.证明在一个欧氏空间里对于任意向量ξ,n,以下等式成立: (1)+n1+|5-n2=2|5P2+2|n2; (2)(5,n)=|5+m12-|5-7|2 在解析几何里等式(1)的几何意义是什么? 2.在区氏空间R里,求向量a=(1,1…1)与每一向量 的夹角 3.在欧氏空间R4里找出两个单位向量,使它们同时与向量 a=(2,1,-4,0) B=(-1,-1,2,2) y=(3,2,54) 中每一个正交 4.利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径那么这 个三角形一定是直角三角形 5.设5,是一个欧氏空间里彼此正交的向量证明 5+n|2=5P2+|nP2(勾股定理) 6.设a1a2…an,B都是一个欧氏空间的向量且B是a1a2,…an的线性组 合证明如果B与a1正交,=12,…,n,那么B=0 7.设a1a2…an是欧氏空间的n个向量行列式
第七章 欧氏空间 §7.1 向量的内积 1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量 , ,以下等式成立: (1) 2 2 2 2 | + | + | − | = 2 | | +2 | | ； (2) | | . 4 1 | | 4 1 , 2 2 = + − − 在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2．在区氏空间 n R 里,求向量 = (1,1, ,1) 与每一向量 (0, ,0, 1,0, ,0) ( ) i i = ,i = 1,2, , n 的夹角. 3．在欧氏空间 4 R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量 (3,2,5,4) ( 1, 1,2,2) (2,1, 4,0) = = − − = − 中每一个正交. 4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这 个三角形一定是直角三角形． 5．设 , 是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明: 2 2 2 | + | =| | + | | (勾股定理) 6．设 1 , 2 , , n , 都是一个欧氏空间的向量,且 是 n , , , 1 2 的线性组 合.证明,如果 与 i 正交,i = 1,2, , n ,那么 = 0 . 7．设 n , , , 1 2 是欧氏空间的 n 个向量.行列式
G(a,a,…“an)=a2,a1> 叫做a1,a2…,an的格拉姆(Gram)行列式证明G(a1,a2…an)=0.,必要且只要 a1,a2…an线性相关 8.设α,β是欧氏空间两个线性无关的向量满足以下条件 2和2 都是≤0的整数 证明:a,B的夹角只可能是x,,近或 9证明对于任意实数a1,a2,…,an, ∑|a,|≤√ma2+a2 §72正交基 a1=(0,210),a2=(1-10.0) a3=(1,2,0.-1),a4=(100,1) 是R的一个基对这个基施行正交化方法求出R的一个规范正交基 2.在欧氏空间C[-1里,对于线性无关的向量级{1,x,x2,x3}施行正交化方 法求出一个规范正交组. 3.令{a1a2…;an}是欧氏空间Ⅴ的一组线性无关的向量,月,B2,…,Bn}是 由这组向量通过正交化方法所得的正交组证明,这两个向量组的格拉姆行列式相 等,即 G(a1,a2,…,an)=G(B1,B2,…,Bn)=B1,B×B2,B2>… 4.令%1,y2,…yn是n维欧氏空间V的一个规范正交基,又令
= n n n n n n G n , , , , , , , , , ( , , , ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 叫做 n , , , 1 2 的格拉姆(Gram)行列式.证明 ( , , , ) G 1 2 n =0,必要且只要 n , , , 1 2 线性相关. 8．设 , 是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件: , 2 , 和 , 2 , 都是 0 的整数. 证明: , 的夹角只可能是 6 5 4 3 , 3 2 , 2 或 . 9.证明:对于任意实数 a a an , , , 1 2 , 3 2 3 2 2 2 1 1 | | ( n n i ai n a + a + a + + a = ). §7.2 正交基 1．已知 (0,2,1,0) 1 = , (1, 1,0,0) 2 = − (1,2,0, 1) 3 = − , (1,0,0,1) 4 = 是 4 R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出 4 R 的一个规范正交基． 2．在欧氏空间 C[−1,1] 里,对于线性无关的向量级{1, x , 2 x , 3 x }施行正交化方 法,求出一个规范正交组． 3．令 { , , , } 1 2 n 是欧氏空间 V 的一组线性无关的向量,{ , , , } 1 2 n 是 由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相 等,即 G(1 , 2 , , n ) = G(1 , 2 , , n ) = 1 ,1 2 , 2 n , n 4．令 n , , , 1 2 是 n 维欧氏空间 V 的一个规范正交基,又令
K={5∈|5=∑x,0≤xs1=12…n} K叫做一个n-方体如果每一x都等于0或1,5就叫做K的一个项点K的顶点间 一切可能的距离是多少? 5.设{a1,a2,…,an}是欧氏空间V的一个规范正交组证明对于任意5∈V, 以下等式成立 ∑(5a)245 6.设V是一个n维欧氏空间证明 ()如果W是V的一个子空间,那么(W)2=W (n)如果W1W2都是V的子空间,且WcW2,那么W2cW (i)如果W,W2都是V的子空间,那么(W1+W2)=W1+W2 7.证明,R中向量(x0,y0,=0)到平面 W=(x,y,seRax+by +cz=0f 的最短距离等于 l axo +byo +co l 8.证明,实系数线性方程组 ∑anx,=b,=12…n 有解的充分且必要条件是向量β=(b,b2,…,bn)∈R"与齐次线性方程组 ∑anx,=01=1.2,…n 的解空间正交 9.令a是n维欧氏空间V的一个非零向量.令 P={∈k5,a>=0}
{ | ,0 1, 1,2, } 1 K V x x i n n i = = i i i = = K 叫做一个 n -方体.如果每一 i x 都等于 0 或 1, 就叫做 K 的一个项点.K 的顶点间 一切可能的距离是多少? 5．设 { , , , } 1 2 m 是欧氏空间 V 的一个规范正交组.证明,对于任意 V , 以下等式成立: = m i i 1 2 2 , | | . 6．设 V 是一个 n 维欧氏空间.证明 (i) 如果 W 是 V 的一个子空间,那么 W = W ⊥ ⊥ ( ) . (ii) 如果 1 2 W ,W 都是 V 的子空间,且 W1 W2 ,那么 ⊥ ⊥ W2 W1 (iii) 如果 1 2 W ,W 都是 V 的子空间,那么 ⊥ ⊥ ⊥ 1 + 2 = 1 + 2 (W W ) W W 7．证明, 3 R 中向量 ( , , ) 0 0 0 x y z 到平面 {( , , ) | 0} 3 W = x y z R ax + by + cz = 的最短距离等于 2 2 2 0 0 0 | | a b c ax by cz + + + + ． 8．证明,实系数线性方程组 = = = n j aij x j bi i n 1 , 1,2,, 有解的充分且必要条件是向量 n = (b1 ,b2 , ,bn ) R 与齐次线性方程组 = = = n j a ji x j i n 1 0, 1,2,, 的解空间正交. 9．令 是 n 维欧氏空间 V 的一个非零向量．令 = { | , = 0} P V ．
P称为垂直于a的超平面它是的一个n-1维子空间V中有两个向量5,n说是 位于P的同侧如果与同时为正或同时为负证明V中一组位于 超平面P同侧且两两夹都≥z的非零向量一定线性无关 [提示设{1,B2…B}是满足题设条件的一组向量则0(i≠,并且不 妨设01≤i≤)如果∑cB=0,那么适当编号可设 c;c2…;c,20cm…c.≤0,(1≤s≤1)令y=∑cB=-∑cB,证明y=0由 此推出c1=0(1≤i≤r) 10.设U是一个正交矩阵证明 (1)U的行列式等于1或-1 (i)U的特征根的模等于 (ⅲ)如果λ是U的一个特征根,那么也是U的一个特征根; (m)U的伴随矩阵U’也是正交矩阵 11设cosx≠0,且 0 U=0 cos0 -sin 8 0 sin e cos e 证明,I+U可逆,并且 000 (Ⅰ-U)I+U)=tan500 12证明:如果一个上三角形矩阵 a, A=00a
P 称为垂直于 的超平面,它是V的一个 n −1 维子空间.V中有两个向量 , 说是 位于 P 的同侧,如果 , 与, 同时为正或同时为负.证明,V 中一组位于 超平面 P 同侧,且两两夹角都 2 的非零向量一定线性无关． [提示:设 { , , , } 1 2 r 是满足题设条件的一组向量.则 , 0(i j) i j ,并且不 妨设 , 0(1 i r) i .如果 = = r i i i c 1 0 ,那么适当编号,可设 c1 ,c2 , ,cs 0,cs+1 , ,cr 0 ,(1 s r) ,令 = = + = = − r j s j j s i i i c c 1 1 ,证明 = 0 .由 此推出 ci = 0 (1 i r).] 10．设 U 是一个正交矩阵.证明: (i) U 的行列式等于 1 或-1; (ii) U 的特征根的模等于 1; (iii) 如果 是 U 的一个特征根,那么 1 也是 U 的一个特征根; (iv) U 的伴随矩阵 * U 也是正交矩阵. 11.设 0 2 cos ,且 = − 0 sin cos 0 cos sin 1 0 0 U . 证明, I +U 可逆,并且 − − + = − 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 ( )( ) tan 1 I U I U 12.证明:如果一个上三角形矩阵 = nn n n n a a a a a a a a a a A 0 0 0 0 0 0 33 3 22 23 2 11 12 13 1
是正交矩阵,那么A一定是对角形矩阵且主对角线上元素a是1或1 §73正交变换 证明:n维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换 的逆变换还是一个正交变换 2.设σ是n维欧氏空间Ⅴ的一个正交变换证明:如果V的一个子空间W在 σ之下不变那么W的正交补W也在下不变 3.设Ⅴ是一个欧氏空间,a∈V是一个非零向量对于ξ∈V,规定 r(5)=5 2 证明,是V的一个正交变换,且r2=1,l是单位变换 线性变换τ叫做由向量a所决定的一个镜面反射当V是一个n维欧氏空间时,证 明存在V的一个标准正交基使得r关于这个基的矩阵有形状 010 在三维欧氏空间里说明线性变换τ的几何意义 4.设a是欧氏空间V到自身的一个映射,对5,n有(((m)=(5,m)证明 a是V的一个线性变换因而是一个正交变换 5.设U是一个三阶正交矩阵,且detU=1证明 (1)U有一个特征根等于1; (i)U的特征多项式有形状 f(x)=x'-tx+tx-1 这里-1≤t≤3 6.设{a1,ax2…an}和{,B2…,Bn}是n维欧氏空间V的两个规范正交基
是正交矩阵,那么 A 一定是对角形矩阵,且主对角线上元素 ij a 是 1 或-1. §7.3 正交变换 1．证明: n 维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换 的逆变换还是一个正交变换. 2．设 是 n 维欧氏空间 V 的一个正交变换.证明:如果 V 的一个子空间 W 在 之下不变,那么 W 的正交补 ⊥ W 也在 下不变. 3．设 V 是一个欧氏空间, V 是一个非零向量.对于 V ,规定 = − , 2 , ( ) . 证明, 是 V 的一个正交变换,且 = 2 , 是单位变换. 线性变换 叫做由向量 所决定的一个镜面反射.当 V 是一个 n 维欧氏空间时,证 明,存在 V 的一个标准正交基,使得 关于这个基的矩阵有形状: − 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 在三维欧氏空间里说明线性变换 的几何意义. 4．设 是欧氏空间 V 到自身的一个映射,对 , 有 (),() = , . 证明 是 V 的一个线性变换,因而是一个正交变换. 5．设 U 是一个三阶正交矩阵,且 detU =1.证明: (i) U 有一个特征根等于 1; (ii) U 的特征多项式有形状 ( ) 1 3 2 f x = x − tx + tx − 这里 −1 t 3. 6．设 { , , , } 1 2 n 和 { , , , } 1 2 n 是 n 维欧氏空间 V 的两个规范正交基
(1)证明存在V的一个正交变换a,使a(a1)=月,i=12…,n ()如果V的一个正交变换r使得r(a1)=B1,那么r(a2)…,r(an)所生成的子空 间与由B2…B所生成的子空间重合 7.令V是一个n维欧氏空间证明 (1)对V中任意两不同单位向量a,B,存在一个镜面反射r,使得r(a)=B (i)V中每一正交变换a都可以表成若干个镜面反射的乘积 [提示为了证明(i),利用()和习题6] 8.证明每一个n阶非奇异实矩阵A都可以唯一地表示成 A=UT 的形式这里U是一个正交矩阵,T是一个上三角形实矩阵,且主对角线上元素都 是正数 [提示非奇异矩阵A的列向量a1a2,…an作成n维列空间R的一个基对这个基 施行正交化得出R的一个规范正交基{1,y2,…,yn},以这个规范正交基为列的 矩阵U是一个正交矩阵写出{1,y2,…,n}由{a1a2…,an}的表示式就可以得 出矩阵T证明唯一性时,注意82习题12 §74对称变换和对称矩阵 1.设σ是n维欧氏空间的一个线性变换证明,如果σ满足下列三个条件的 任意两个,那么它必然满足第三个:()σ是正交变换;(i)σ是对称变 换Gi)2=1是单位变换 2设a是n维欧氏空间的一个对称变换,且σ2=σ.证明存在V的一个规 范正交基,使得σ关于这个基的矩阵有形状
(i) 证明:存在 V 的一个正交变换 ,使 (i ) = i ,i =1,2, ,n . (ii) 如果 V 的一个正交变换 使得 1 1 ( ) = ,那么 ( ), , ( ) 2 n 所生成的子空 间与由 n , , 2 所生成的子空间重合. 7．令 V 是一个 n 维欧氏空间.证明: (i) 对 V 中任意两不同单位向量 , ,存在一个镜面反射 ,使得 () = . (ii) V 中每一正交变换 都可以表成若干个镜面反射的乘积. [提示:为了证明 (ii) ,利用 (i) 和习题 6.] 8．证明:每一个 n 阶非奇异实矩阵 A 都可以唯一地表示成 A =UT 的形式,这里 U 是一个正交矩阵,T 是一个上三角形实矩阵,且主对角线上元素都 是正数. [提示:非奇异矩阵 A 的列向量 n , , , 1 2 作成 n 维列空间 n R 的一个基.对这个基 施行正交化,得出 n R 的一个规范正交基 { , , , } 1 2 n ,以这个规范正交基为列的 矩阵 U 是一个正交矩阵,写出 { , , , } 1 2 n 由 { , , , } 1 2 n 的表示式,就可以得 出矩阵 T.证明唯一性时,注意 8.2 习题 12.] §7.4 对称变换和对称矩阵 1．设 是 n 维欧氏空间 V 的一个线性变换.证明,如果 满足下列三个条件的 任 意 两个 ,那 么 它必 然满 足第 三 个 : (i) 是 正 交变 换 ; (ii) 是 对称 变 换; (iii) = 2 是单位变换. 2．设 是 n 维欧氏空间 V 的一个对称变换,且 = 2 .证明,存在 V 的一个规 范正交基,使得 关于这个基的矩阵有形状
3.证明两个对称变换的和还是一个对称变换两个对称变换的乘积是不是对 称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件 4.n维欧氏空间V的一个线性变换σ说是斜对称的如果对于任意向量 B∈, (o(a)B)=-(a,o(B) 证明 (i)斜对称变换关于Ⅴ的任意规范正交基的矩阵都是斜对称的实矩阵(满足条 件A'=-A的矩阵叫做斜对称矩阵) (i)反之如果线性变换关于V的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,那么 定是斜对称线性变换 (ⅲ)斜对称实矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数. 5.令A是一个斜对称实矩阵证明,+A可逆,并且U=(1-A+A)-是 个正交矩阵 6.对于下列对称矩阵A各求出一个正交矩阵U使得UAU是对角形式 l12-8 17-84 ()A=2210 817-4 8105
0 0 0 1 1 0 3．证明:两个对称变换的和还是一个对称变换.两个对称变换的乘积是不是对 称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件. 4．n 维欧氏空间 V 的一个线性变换 说是斜对称的,如果对于任意向量 , V , (), = − ,() . 证明: (i) 斜对称变换关于V的任意规范正交基的矩阵都是斜对称的实矩阵(满足条 件 A = −A 的矩阵叫做斜对称矩阵) (ii) 反之,如果线性变换 关于 V 的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,那么 一定是斜对称线性变换. (iii) 斜对称实矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数. 5．令 A 是一个斜对称实矩阵.证明, I + A 可逆,并且 1 ( )( ) − U = I − A I + A 是一 个正交矩阵. 6．对于下列对称矩阵 A,各求出一个正交矩阵 U,使得 U AU ' 是对角形式: (i) − − = 8 10 5 2 2 10 11 2 8 A ; (ii) − − − − = 4 4 11 8 17 4 17 8 4 A