第三章线性方程组 §3.1消元法 解以下线性方程组: (1)x1-2x2+x3+x4=1 x1-2x2+x3-x4=-1, x1-2x2+x3+x4=5 (i)2x1-x2+3x3=3, 3x,+ x1-x2+x3=3 4 x1+3x2-13x3=-6 2.证明:对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和 第三种行初等变换。 3.设n阶行列式D a22 证明:用行初等变换能把n行n列矩阵 化为 a 0 n行n列矩阵 00 4.证明:在前一题的假设下,可以通过若干次第三种初等变换把n行n列矩阵 00 化为n行n列矩阵 ani a, 00 0 D §3,2矩阵的秩线性方程组可解的判别法
第三章 线性方程组 §3.1 消元法 1．解以下线性方程组： 3 13 6. 4 3, 3 5 0, ( )2 3 3, 2 5; 2 1, ( ) 2 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 + − = − − + = + − = − + = − + + = − + − = − − + + = x x x x x x x x x ii x x x x x x x x x x x i x x x x 2．证明：对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和 第三种行初等变换。 3．设 n 阶行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = 0. 证明：用行初等变换能把 n 行 n 列矩阵 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 化为 0 0 1 0 1 0 1 0 0 n行n列矩阵 。 4．证明：在前一题的假设下，可以通过若干次第三种初等变换把 n行n列矩阵 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 化为 D n n 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 行 列矩阵 ． §3.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法
1.对第一和第二种行初等变换证明定理42 2.利用初等变换求下列矩阵的秩 21112)(11257 04-1 114565134913 3.证明:一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1. 证明:含有n个未知量n+1个方程的线性方程组 b1, anx1+…+anxn=b ,,+.+anLon,= bmI 有解的必要条件是行列式 a1 a b 这个条件不是充分的,试举一反例 5.取怎样的数值时,线性方程组 x3-5x 2x1-3x2+2x3+x4=-1, x1-x+ 有解? 6.4取怎样的数值时,线性方程组 x1+x2+x3=1, A, +Ax3=2 有唯一解,没有解,有无穷多解? §3.3线性方程组的公式解 1.考虑线性方程组:
1．对第一和第二种行初等变换证明定理 4.2.1． 2．利用初等变换求下列矩阵的秩： ;. 2 1 5 6 11 4 56 5 1 0 4 1 2 1 11 2 − − − 1 4 5 11 16 1 3 4 9 13 1 2 3 7 10 1 1 2 5 7 3．证明：一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大 1． 4．证明：含有 n 个未知量 n +1 个方程的线性方程组 1,1 1 1, 1 1 1 11 1 1 1 , , + + + + = + + + = + + = n n n n n n nn n n n n a x a x b a x a x b a x a x b 有解的必要条件是行列式 0. 1,1 1, 1 1 11 1 1 = n+ n+ n n+ n nn n n a a b a a b a a b 这个条件不是充分的，试举一反例． 5．取怎样的数值时，线性方程组 2 1, 3 2 1, 2 3 2, 1 2 3 4 3 1 2 3 4 2 1 2 3 4 − + − = − − + + = − + + − = x x x x x x x x x x x x 有解？ 6． 取怎样的数值时，线性方程组 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , 1, + + = + + = + + = x x x x x x x x x 有唯一解，没有解，有无穷多解？ §3.3 线性方程组的公式解 1．考虑线性方程组：
x1+x2=a1 +x x1+x3 x2+x4=b2 这里a1+a2=b1+b2证明:这个方程组有解,并且它的系数矩阵的秩是3 2.用公式解法解线性方程组: 1, x2 3.设线性方程组: a2x,+a22x2+.+a2,xn=b ax +ax + a 有解,并且添加一个方程 x +a x= b 于方程组(9)所得的方程组与(9)同解.证明:添加的方程是(9)中m个方 程的结果 设齐次线性方程组 0, a,X+…+anx 0 的系数行列式D=0,而D中某一元素an的代数余子式A≠0·证明:这个方程 组的解都可以写成 的形式,此处k是任意数 5.设行列式
, , , 2 4 2 1 3 1 3 4 2, 1 2 1 x x b x x b x x a x x a + = + = + = + = 这里 a1 + a2 = b1 +b2 .证明：这个方程组有解，并且它的系数矩阵的秩是3． 2．用公式解法解线性方程组： 2 5 5. 2 1, 2 1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 − + + = − + − = − − + + = x x x x x x x x x x x x 3．设线性方程组： （9） , , , 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 有解，并且添加一个方程： , a1 x1 + a2 x2 ++ an xn = b 于方程组（9）所得的方程组与（9）同解．证明：添加的方程是（9）中 m 个方 程的结果． 4．设齐次线性方程组 0 0, 0, 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 的系数行列式 D = 0 ，而 D 中某一元素 ij a 的代数余子式 Aij 0 ．证明：这个方程 组的解都可以写成 il i in kA , kA2 , , kA 的形式,此处 k 是任意数. 5．设行列式
0 令A是元素an的代数余子式证明矩阵 AA.A 的秩≤1
0 1 2 21 22 2 11 12 1 = n n nn n n a a a a a a a a a 令 Aij 是元素 ij a 的代数余子式.证明:矩阵 n n nn n n A A A A A A A A A 1 2 12 22 2 11 21 1 的秩 1