第五节隐函数的求导公式 巴一、一个方程的情形 巴二、方程组的情形 四三、小结思考题
生一、一个方程的情形 1.F(x,y)=0 隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的 某一邻域内具有连续的偏导数,且F(x0,y)=0 F,(x0,y0)≠0,则方程F(x,y)=0在点P(x0,y0)的 工工工 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数y=f(x),它满足条件y=∫(x),并 有 隐函数的求导公式 王页下
1. F(x, y) = 0 一、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 设函数F( x, y)在点 ( , ) 0 0 P x y 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0 , y0 ) = 0， Fy (x0 , y0 ) 0，则方程F( x, y) = 0在点 ( , ) 0 0 P x y 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y = f ( x)，它满足条件 ( ) 0 x0 y = f ，并 有 y x F F dx dy = − . 隐函数的求导公式
例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1 的隐函数y=∫(x),并求这函数的一阶和二阶导 数在x=0的值 解令F(x,y)=x2+y2-1 则F=2x,F,=2y, F(0,1)=0,F,(0,1)=2≠0, 依定理知方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1的 函数y=∫(x) 上页
例１ 验证方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x = 0时y = 1 的隐函数y = f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x = 0的值. 解 令 ( , ) 1 2 2 F x y = x + y − 则 F 2 x , x = F 2 y , y = F ( 0 , 1 ) = 0 , ( 0,1 ) = 2 0, Fy 依定理知方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x = 0 时y = 1的 函数 y = f (x)．
函数的一阶和二阶导数为 F y 0 dx F d x x=0 d2yy-切,y-1/t = d 2 2 2 3 d -1 X= 上页
函数的一阶和二阶导数为 y x F F dx dy = − , y x = − 0, 0 = dx x= dy 2 2 2 y y xy dx d y − = − 2 y y x y x − − = − , 1 3 y = − 1. 0 2 2 = − x= dx d y
例2已知mx2+y2= arctan y,求 解令F(x,y)=nx2+y2- arctan 则F(x,y) xt y y-x 25 (x,y) 25 r t y r ty 中Fx+y 一 dx F y- 上页
例 2 已知 x y ln x y arctan 2 2 + = ，求 dx dy . 解 令 则 ( , ) ln arctan , 2 2 x y F x y = x + y − ( , ) , 2 2 x y x y F x y x + + = ( , ) , 2 2 x y y x F x y y + − = y x F F dx dy = − . y x x y − + = −
2.F(x,y,z)=0 隐函数存在定理2设函数F(x,y,x)在点P(x0, yno)的某一邻域内有连续的偏导数,且F(x0 1n,zn)=0,F2(x,y,z)≠0,则方程(x,y, z)=0在点P(x0,y0,z)的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 工工工 z=∫(x,y),它满足条件=∫(x0,y), 并有 az 上页
隐函数存在定理 2 设函数F(x, y,z)在点 ( , P x0 , ) 0 0 y z 的某一邻域内有连续的偏导数，且 ( , F x0 y0 ,z0 ) = 0，Fz (x0 , y0 ,z0 ) 0，则方程F(x, y, z) = 0在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x, y)，它满足条件 ( , ) 0 0 0 z = f x y ， 并有 z x F F x z = − ， z y F F y z = − . 2. F(x, y,z) = 0
例3设x2+y2+x2-4z=0,求 02z ax 2 解令F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z, 则F=2x,F2=2z- az Ox F 2-Z z7 (2-z)+x(2-z) ax 2-z ax 2 2 (2-z) (2-z)2 (2-z)2+x (2-z 上页
例 3 设 4 0 2 2 2 x + y + z − z = ，求 2 2 x z . 解 令 则 ( , , ) 4 , 2 2 2 F x y z = x + y + z − z F 2x, x = F = 2z − 4, z , 2 z x F F x z z x − = − = 2 2 x z 2 (2 ) (2 ) z x z z x − − + = 2 (2 ) 2 (2 ) z z x z x − − − + = . (2 ) (2 ) 3 2 2 z z x − − + =
例4设z=f(x+y+,习),求Oxy 思路:把看成x,y的函数欢求偏导数得 ax ax 把x看成乙,y的函数劝求偏导数得 ay 把y看成x,z的函数求偏导数得 A解令Ⅱ=x+y+乙,V=xyz, 则z=f(u,y), 上页
例 4 设z = f ( x + y + z, xyz)，求 x z ， y x ， z y . 思路： 把z看成x, y 的函数对x 求偏导数得 x z ， 把x看成z, y的函数对y 求偏导数得 y x ， 把y看成x,z的函数对z 求偏导数得 z y . 解 令 u = x + y + z, v = xyz, 则 z = f (u,v)
庄把看成x,y的函数求偏导数得 z ax f (1+o)+f. (z+yo) O 整理得 f +yf ax 1-f -xyfr 把x看成,y的函数劝求偏导数得 a ST0= ax A +1)+∫ (cz+ yo ay 上页
把z看成x, y的函数对x 求偏导数得 x z (1 ) x z f u = + ( ), x z f yz xy v + + 整理得 x z , 1 u v u v f xyf f yzf − − + = 把x看成z, y的函数对y 求偏导数得 0 ( + 1) = y x f u ( ), y x f xz yz v + +
整理得a=-J+x f +yf 把y看成x,的函数劝求偏导数得 中1=(+)+1(x+x如 az z 整理得1-fn-xy, az +x, 上页
整理得 , u v u v f yzf f xzf + + = − y x 把y看成x,z的函数对z 求偏导数得 1 ( + 1) = z y fu ( ), z y f xy xz v + + 整理得 z y . 1 u v u v f xzf f xyf + − − =