第九节二元函数的泰勒公式 问题的提出 二元函数的泰勒公式 极值充分条件的证明 巴四、小结
庄-、问题的提出 一元函数的泰勒公式 f(x)=∫(x)+∫(x0)(x-x 2(x-)+…f(x) x- n (+(xn+6(x-x (x-xn)(0<6<1) (n+1) 意义:可用n次多项式来近似表达函数(x),且 误差是当x→x时比(x-x0)"高阶的无穷小 上页 圆
一、问题的提出 ( ) ( ) (0 1). ( 1)! ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 0 0 0 ( 1) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 − + + − + − + + − + = + − + + n n n n x x n f x x x x x n f x x x f x f x f x f x x x 一元函数的泰勒公式： 意义：可用n次多项式来近似表达函数 f (x)， 且 误差是当x → x0时比 n (x x ) − 0 高阶的无穷小．
问题:能否用多个变量的多项式来近似表达一个 给定的多元函数,并能具体地估算出误差的大小 即设乙=f(x,y)在点(x,y)的某一邻域内连续 c且有直到n+1阶的连续偏导数,(x+b,ynp+h) 为此邻域内任一点,能否把函数∫(x+l,yn+k) 工工工 近似地表达为h=x-x0,k=y-y的n次多项 午式,且误差是当P=b+k2→0时比p高阶的 无穷小 上页
问题： 能否用多个变量的多项式来近似表达一个 给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小. 即 设z = f (x, y)在 点( , ) 0 0 x y 的某一邻域内连续 且有直到n + 1阶的连续偏导数, ( , ) x0 + h y0 + h 为此邻域内任一点,能否把函数 ( , ) 0 0 f x + h y + k 近似地表达为 0 0 h = x − x ,k = y − y 的 n 次多 项 式，且误差是当 0 = h 2 + k 2 → 时 比 n 高阶的 无穷小．
生二、二元函数的泰勒公式 定理设z=f(x,y)在点(x,y)的某一邻域内连 续且有直到n+1阶的连续偏导数,(x+h,y+h) 为此邻域内任一点,则有 f(xo+h, yo+h)=f(o, yo)+ h+ka f(xo, yo) 工工工 1,0 000 +1h+k f(x,y)+…+h。+k。f(x,y) 2!(Ox ni ax n+1 h-+k n+1)! f(x+h,yn+6),(0<6<1) 王页下
定 理 设z = f (x, y)在 点( , ) 0 0 x y 的某一邻域内连 续且有直到n + 1阶的连续偏导数, ( , ) x0 + h y0 + h 为此邻域内任一点,则有 二、二元函数的泰勒公式 ( , ), (0 1) ( 1)! 1 ( , ) ! 1 ( , ) 2! 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 + + + + + + + + + + + + + = + + f x h y k y k x h n f x y y k x h n f x y y k x h f x y y k x f x h y h f x y h n n
A甲记号 h。+k。f(x,y) 表示f(x0,y)+f,(x0,y), 工工工 h。+k。f(x,y) x ay 表示h2f(x2y)+M(x,y)+k2f(x1,y 上页
其中记号 ( , ) 0 0 f x y y k x h + ( , ) ( , ), 0 0 0 0 hf x y kf x y 表示 x + y ( , ) 0 0 2 f x y y k x h + 表示 ( , ) 2 ( , ) ( , ), 0 0 2 0 0 0 0 2 h f x y hkf x y k f x y x x + x y + yy
6.0 般地记号h +k ax ay f(x0,y)麦表示 ∑Cm"k"o"p p=0 OxPavm-p (x0,yo 证引入函数 Φ(t)=f(x0+ht,y0+),(0≤t≤1) 显然Φ(0)=f(x0,y), Φ(1)=f(x0+h,y+k) 上页
一般地,记号 f (x0 , y0 )表示 y k x h m + . ( , ) 0 0 0 p m p x y m p m p m p p m x y p C h k − − = 证 引入函数 ( ) ( , ), (0 1). t = f x0 + ht y0 + kt t 显然 (0) ( , ), 0 0 = f x y (1) ( , ). = f x0 + h y0 + k
庄由的定义及多元复合函数的求导法则可得 dp(t)=hf(xo+ ht, yo+kt)+kf (o +ht, yo kt ax +ka f(ro+ht, o+kt), ap"(t=hf(xo+ht, yo kt) +2hkf(xo+ ht, yo +kt)+k f(o+ht, y+kt) 上页
由 (t) 的定义及多元复合函数的求导法则,可得 ( , ), ( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 f x ht y kt y k x h t hf x ht y kt kf x ht y kt x y + + + = = + + + + + 2 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) 0 0 2 0 0 0 0 2 hkf x ht y kt k f x ht y kt t h f x ht y kt xy yy xx + + + + + + = + +
()=∑Cn,khn ox a n+1-P(xo+ht, yo+kt) n+1 00 h。+k。f(x+Mt,y+kt) 利用一元函数的麦克劳林公式,得 ()=(0+c0)+x29"()+ 2! +Φ(0)+ Φ(,(0<6<1) n (n+1)! 上页
( , ). ( ) 0 0 1 1 ( , ) 1 1 0 1 1 ( 1) 0 0 f x ht y kt y k x h x y p t h k n p n p x ht y k t n n p p n p p n n C + + + = = + + − + + + + = + − + + 利用一元函数的麦克劳林公式，得 ( ), (0 1). ( 1)! 1 (0) ! 1 (0) 2! 1 (1) (0) (0) ( ) ( 1) + + + = + + + + n n n n
将Φ(0)=f(x0,y),Φ(1)=f(x+h,y+k)及 上面求得的Φ()直到n阶导数在t=0的值,以及 生"=O的值代入上式即得 f(ro+h, yo+k)=f(xo, yo)+h +ka.If(o,yo) I ay 2(a↓x如 1(, +h ∫(x0,y)+ 2 ay +h2+k|f(x,y)+R,(1) n! ax 上页
将 (0) ( , ) 0 0 = f x y , (1) ( , ) = f x0 + h y0 + k 及 上面求得的(t)直 到n阶导数在t = 0的 值,以 及 ( ) ( 1) t n+ 在t = 的值代入上式.即得 ( , ) , (1) ! 1 ( , ) 2! 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 n n f x y R y k x h n f x y y k x h f x y y k x f x h y k f x y h + + + + + + + + + = +
其中 n+1 R= h+k f(x+硎h,J+姚), (n+1)!"ax'"ay (0<6<1 (2) 证毕 公式(1称为二元函数f(x,y)在点(x0,y)的 王m价泰勒公式而R的表达式2)称为拉格朗日型 余项 上页
其中 (0 1). (2) ( , ), ( 1)! 1 0 0 1 + + + + = + f x h y k y k x h n R n n 证毕 公式(1)称为二元函数 f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 的 n阶泰勒公式,而Rn的表达式(2)称 为拉格朗日型 余项