第一章行列式 §1.1行列式 计算下列排列的反序数 ()523146879 (in)n,n-1,…,2,1; 1,2…,k+1,k. 2.假设n个数码的排列i,l2,…in的反序数是k,那么排列n,n-1…,12,1的反 序数是多少? 3.写出4个数码的一切排列. §1.2n阶行列式 1.确定六阶行列式 中以下各乘积的符合: (aaaa (i a2ananassa64a46 2.写出下列四阶行列式 中一切带有负号且含元素a23的项。 000 3.证明:m阶行列式Pa220 =a1a22‘am 考察下列行列式:
第一章 行列式 §1.1 行列式 1．计算下列排列的反序数： (i) 523146879； (ii) n,n −1, ,2,1; (iii) 2k,1,2k −1,2, , k +1, k. 2．假设 n 个数码的排列 n i ,i , ,i 1 2 的反序数是 k,那么排列 1 2 1 i ,i , ,i ,i n n− 的反 序数是多少？ 3．写出 4 个数码的一切排列． §1.2 n 阶行列式 1．确定六阶行列式 D= 61 62 66 21 22 26 11 12 16 a a a a a a a a a 中以下各乘积的符合： ( ) ; ( ) . 23 31 42 56 14 65 a21a13a32a55a64a46 i a a a a a a ii 2．写出下列四阶行列式 41 44 11 14 a a a a 中一切带有负号且含元素 a23 的项。 3．证明： n 阶行列式 an an an ann a a a a a a 1 2 3 31 32 33 21 22 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = a11a22 ann 4．考察下列行列式：
D D 其中i1l2…n是12…,n这n个数码的一个排列。这两个行列式间有什么关系? 5.计算n阶行列式aax-a (a+1)(a+2)(a+3) 6.计算行列式 (b+1)2(b+2)2(b+3) (c+1)2(c+2)2(c+3) 2(a+1)(a+2)(a+3 7.证明:行列式 b+c a +b b1+c1 b,=2 a, b, c2+a2a2+b2 8.设在n阶行列式 2 中,an=-am1,j=12,…n证明:当n是奇数时,D=0. 1.3子式和代数余式行列式的依行依列展开 0-1-1 1.把行列式 a b 依第三行展开,然后加以计算. 2.计算以下行列式 34 ( 3610 9162536 341 141020
n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = ， n n n ni ni ni i i i i i i a a a a a a a a a D 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 = ， 其中 n i ,i , ,i 1 2 是 1,2, ,n 这 n 个数码的一个排列。这两个行列式间有什么关系？ 5．计算 n 阶行列式 a a a x a a a x a a a x a a a x a a a a − − − − 6．计算行列式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 + + + + + + + + + + + + d d d d c c c c b b b b a a a a 7．证明：行列式 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 a b c a b c a b c b c c a a b b c c a a b b c c a a b = + + + + + + + + + 8．设在 n 阶行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = 中， a = −a ,i, j = 1,2, ,n. n D = 0. i j j i 证明：当 是奇数时， §1.3 子式和代数余式 行列式的依行依列展开 1．把行列式 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 − − − − − − a b c d 依第三行展开，然后加以计算． 2．计算以下行列式: ( ) 4 1 2 3 3 4 1 2 2 3 4 1 1 2 3 4 i ( ) 1 4 10 20 1 3 6 10 1 2 3 4 1 1 1 1 ii ( ) 16 25 36 49 9 16 25 36 4 9 16 25 1 4 9 16 iii
a 0 11 0 0 00 00b 0 0 0b0 1+a3 00b 0b0 0 1+a b00 00 00 01 2 n 1n-2n-3n-4 000 提示:把第一列的元素看成两项的和,然后把行列式拆成两个行列式的和。 3.令 f(x=ax+a,x++aix+a f0(x1)Jf0(x2) fo(,) 计算行列式(x)f(x2) f(,) §1.5克拉默规则 1.解以下线性方程组
提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和。 3．令 ( ) . , 1 1 1 i i ii i i i f i x = aio x + a x + + a − x + a − 计算行列式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 1 0 2 0 n n n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x − − − 。 §1.5 克拉默规则 1．解以下线性方程组： ( ) n n n a a a a a a a a viii − − − − − − − − − 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 3 2 3 1 2 ( ) n n n a a a a a a a a iv − − − − − − − − 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 3 1 2 1 ( ) ;(2 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n阶 b a b a b a a b a b a b v ( ) n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a vi + + + + 1 1 1 1 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) 1 2 3 4 0 2 1 0 1 3 1 0 1 2 2 0 1 2 3 1 − − − − − − − n n n n n n n vii
x+x2+2x3+3x1=1, x1-x2-x3-2x4 2x1+3 x2-x3-x4=-6 x, +x3+x +x3+x4+x5=0, x, +3X x2+ 2.设a1,a2…,an是n+1个不同的数,b,b2,…,bn是任意n+1个数,而多项 式 f(x)=co+c1x+…+cnx 有以下性质:f(a)=b,i=1,2,…,n+1用线性方程组的理论证明,f(x)的系数 co,cC1…,cn是唯一确定的,并且对n=2的情形导出拉格朗日插值公式 3.设∫(x)=co+c1x+…+cnx”用线性方程组的理论证明,若是f(x)有n+1个不 同的根那么f(x)是零多项式
( ) 2 3 2. 2 3 2, 2 3 2, 0, ( ) 0, 2 3 4. 2 3 6, 3 2 4, 2 3 1, 3 4 5 2 3 4 1 2 3 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 + + = + + = − + + = + + + = + + + = + + − = − + − − = − − − − = − + + + = x x x x x x x x x x x x x ii x x x x x x x x x x x x x x x x i x x x x 2．设 1 2 1 , , , a a an+ 是 n +1 个不同的数, 1 2 1 , , , b b bn+ 是任意 n +1 个数,而多项 式 n n f x = c + c x ++ c x 0 1 ( ) 有以下性质: ai bi f ( ) = , i = 1,2, , n +1.用线性方程组的理论证明, f (x) 的系数 n c ,c , ,c 0 1 是唯一确定的,并且对 n = 2 的情形导出拉格朗日插值公式. 3．设 n n f x = c + c x ++ c x 0 1 ( ) .用线性方程组的理论证明,若是 f (x) 有 n +1 个不 同的根,那么 f (x) 是零多项式