绵阳师范学院：《高等数学》课程PPT教学课件（高等代数）第8章 二次型

第8章二次型 8.1二次型和对称矩阵 8.2复数域和实数域上的二次型 8.3正定二次型 8.4主轴问题 1首页上页返回下页结束 铃

1 首页 上页 返回 下页 结束 铃 第8章 二次型 8.1 二次型和对称矩阵 8.2 复数域和实数域上的二次型 8.3 正定二次型 8.4 主轴问题

我思故我在。 笛卡儿 (Rene Descartes,1596-1650) 如果我能够看的更远,那是因为我站在巨人 的肩上。 牛顿( Newton,1642-1727) 2首页上页返回下页结束 铃

2 首页 上页 返回 下页 结束 铃 我思故我在。 -----笛卡儿(Rene Descartes， 1596-1650) 如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人 的肩上。 --- 牛顿（Newton,1642－1727）

81二次型和对称矩阵 内容分布 8.1.1二次型及矩阵 8.12线性变换 8.1.3矩阵的合同 8.14二次型的标准形 二教学目的 1掌握二次型及其矩阵的定义 以及矩阵的合同 2理解关于二次型的线性变换 3.了解二次型的标准形 三重点难点: 合同、线性变换、二次型的标准形 3首页上页返回下页结束 铃

3 首页 上页 返回 下页 结束 铃 8.1 二次型和对称矩阵 一.内容分布 8.1.1 二次型及矩阵 8.1.2 线性变换 8.1.3 矩阵的合同 8.1.4 二次型的标准形 二.教学目的 1.掌握二次型及其矩阵的定义 以及矩阵的合同 2.理解关于二次型的线性变换 3.了解二次型的标准形 三.重点难点: 合同、线性变换、二次型的标准形

8.1.1二次型及矩阵 定义1设F是一个数域,F上m元二次齐次多项式 (1)q(x1,x2,…,xn)=a1x12+a2x2+…+anmx +2a12x1x2+2a1x1x3+…+2a n-1,n4n-1n 叫做F上的一个n元二次型。 F上n元多项式总可以看成F上的n个变量的函 数,二次型(1)定义了一个函数g:F"→F.所 以n元二次型也叫n个变量的二次型 在(1)中令"n=an(1≤j≤m).因为xx=xx, 所以(1)式可以写成以下形式: 4首页上页返回下页结束 铃

4 首页 上页 返回 下页 结束 铃 8.1.1 二次型及矩阵 定义1 设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式 （1） n n n n n nn n a x x a x x a x x q x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 ( , , , ) + + + + − − = + + +    叫做F上的一个n 元二次型。 F 上n 元多项式总可以看成 F 上的n 个变量的函 数，二次型（1）定义了一个函数 所 以n 元二次型也叫n 个变量的二次型. q : F F. n → 在（1）中令 因为 所以（1）式可以写成以下形式： a a (1 i, j n). ij = ji   , i j j i x x = x x

)=∑∑ (2)q(x,x,¨、xn)网乡r 分- 令A=(an)是(2)式右端的系数所构成的矩阵称 为二次型q(x1,x2,…,x)的矩阵。因为=an, 所以A是F上的一个n阶对称矩阵,利用矩阵的乘 法,(2)式可以写成 (3)q(x1,x2,…,xn)=(x1,x2,…,x)+2 二次型(3)的秩指的就是矩阵A的秩。 5首页上页返回下页结束 铃

5 首页 上页 返回 下页 结束 铃 （2）  = = = = n i n j n ij i j ij ji q x x x a x x a a 1 1 1 2 ( , ,, ) , 是（2）式右端的系数所构成的矩阵,称 为二次型 的矩阵。因为 , 所以A是F上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘 法，（2）式可以写成 ( ) 令A = aij ( , , , ) q x1 x2  xn ij ji a = a （3）               = n n n x x x q x x x x x x A    2 1 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) 二次型（3）的秩指的就是矩阵A的秩

812线性变换 如果对二次型(3)的变量施行如下的一个变换: (4)x=∑叫,i=1,2,…,n,P∈F(1≤,j≤m) 那么就得到一个关于y1,2,…,yn的二次型 q(1,y2,…,yn) (4)式称为变量的线性变换,令P=(1)是(4) 的系数据构成的矩阵,则(4)可以写成 6首页上页返回下页结束 铃

6 首页 上页 返回 下页 结束 铃 8.1.2 线性变换 如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换： （4） , 1,2, , , (1 , ) 1 x pi y i n pij F i j n n i i =  j j =    =  那么就得到一个关于 y1 , y2 ,  , yn 的二次型 ( , , , ) 1 2 n q  y y  y （4）式称为变量的线性变换，令 是（4） 的系数据构成的矩阵，则（4）可以写成 ( ) ij P = p

J (5) 将(5)代入(3)就得到 (6)q(n,y2,…,Jn)=(m1,2,…,n)PAP?2 矩阵P称为线性变换(4)的矩阵。如果P是非奇异 的,就称(4)是一个非奇异线性变换。因为A是 对称矩阵,所以(PAP)=PAP=PAP.PAP 也是对称矩阵 首页 上页返回页结束铃

7 首页 上页 返回 下页 结束 铃 （5）               =               n n y y y P x x x   2 1 2 1 将（5）代入（3）就得到 （6）                =  n n n y y y q y y y y y y P AP    2 1 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) 矩阵P称为线性变换（4）的矩阵。如果P是非奇异 的，就称（4）是一个非奇异线性变换。因为A是 对称矩阵，所以 也是对称矩阵。 (PAP) = PAP = PAP. PAP

定理811设∑∑nxx;是数域F上的一个以A为 1j=1 矩阵的n元二次型。对它的变量施行一次以P为矩 阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是PAP。 推论812一个二次型的秩在变量的非奇异线性变 换之下保持不变。 注意:如果不取二次型的矩阵是对称矩阵,则推论 812不成立 8首页上页返回下页结束 铃

8 首页 上页 返回 下页 结束 铃 推论8.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变 换之下保持不变。 注意: 如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论 8.1.2不成立 定理8.1.1 设 是数域F上的一个以A为 矩阵的n元二次型。对它的变量施行一次以P为矩  = = n i n j ij i j a x x 1 1 阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是 PAP

813矩阵的合同 定义2设A,B是数域F上的两个n阶矩阵。如果存 在F上的一个非异矩阵尸,使得PAP=B 那么称B与A合同。 矩阵的合同关系的性质: ①自反性:任意矩阵A都与自身合同,因为MAI=A ②对称性:如果冾合同,那么他与哈同,因为 由PAP=B可以得出 (P-BP=(P)1BP=A ③传递性:如果B与A合同,G与B合同,那 么C与A合同。 首页 上页返回页结束铃

9 首页 上页 返回 下页 结束 铃 8.1.3 矩阵的合同 定义2 设A，B是数域F上的两个n 阶矩阵。如果存 在F上的一个非异矩阵P，使得 那么称B与A合同。 PAP = B 矩阵的合同关系的性质： ③ 传递性：如果 B 与 A 合同，C 与 B 合同，那 么C 与 A 合同。 ① 自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为IAI=A PAP = B P BP = P BP = A −1 −1 − −1 ( ) ( ) 1 ② 对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同，因为 由 可以得出

事实上,由PAP=B和QBQ=C可得 (PQA(PQ)=QPAP0=0B0=C 合同的矩阵显然有相同的秩,并且与一个对 称矩阵合同的矩阵仍是对称的 设q和q是数域F上两个n元二次型,它们的 矩阵分别为A和B.如果可以通过变量的非奇异线 性变换将q变为q,则B与A合同反之,设B与 A合同.于是存在F上非奇异矩阵P使得B=PAP 通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将q变为q F上两个二次型叫等价,如果可以通过变量的 非奇异线性变换将其中一个变成另一个 10首页 上页 返回页结束铃

10 首页 上页 返回 下页 结束 铃 事实上，由 可得 合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对 称矩阵合同的矩阵仍是对称的. PAP = B 和 QBQ = C (PQ)A(PQ) = QPAPQ = QBQ = C 是数域F上两个n 元二次型，它们的 矩阵分别为A 和 B. 如果可以通过变量的非奇异线 性变换将 ，则B与A 合同. 反之，设B与 A 合同. 于是存在F上非奇异矩阵P 使得 . 通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将 . 设q 和 q  q 变为 q  B= PAP q 变为 q  F上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的 非奇异线性变换将其中一个变成另一个