黄冈师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义）第一章 事件与概率

第一章事件与概率 一芹与 §11随机事件与样本空间 教学目的要求: 掌握几个基本概念,为后面的学习打下基础,并对本书内容体系有一个大致的了解. 教材分析: 1。概括分析:概率论是数理统计的理论基础,本节是概率论中的最基本的与最基础 的内容之一.学习本节,要求学生掌握随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念, 了解事件之间的关系和事件之间的一些运算 2.教学重点:随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念,事件之间的关 系和事件之间的一些运算 3.教学难点:事件之间的关系和事件之间的一些运算的证明 教学过程: 我们在引言中已经介绍了随机试验现在进一步明确它的含意 几个基本概念: 1.随机试验 一个试验如果满足下述条件: (1)试验可以在相同的情形下重复进行 (2)试验的所有可能结果是明确可知道的,并且不止一个 (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这 次试验会出现那一个结果 就称这样的试验是一个随机试验为方便起见,也简称为试验 2.基本事件:随机试验的每一个可能的结果称为基本事件 3.样本空间:所有基本事件的全体称为样本空间通常用字母9表 4.样本点:9中的点即基本事件,有时也称作样本点通常用字母表示 [例]1.1在前述试验中,令 ω1={取得白球},ω2={取得黑球} 9={u1.2} [例]12一个盒子中有十个完全相同球,分别标以号码1,2…,10,从中任取一球,令 ={取得球的号码为i} 则 ={1,2,…,10}

第一章 事件与概率 ·３· 第一章 事件与概率 §1.1 随机事件与样本空间 教学目的要求： 掌握几个基本概念,为后面的学习打下基础,并对本书内容体系有一个大致的了解. 教 材 分 析 ： 1．概括分析：概率论是数理统计的理论基础,本节是概率论中的最基本的与最基础 的内容之一.学习本节,要求学生掌握随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念, 了解事件之间的关系和事件之间的一些运算. 2．教学重点：随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念,事件之间的关 系和事件之间的一些运算. 3．教学难点：事件之间的关系和事件之间的一些运算的证明. 教 学 过 程 ： 我们在引言中已经介绍了随机试验,现在进一步明确它的含意. 一、几个基本概念： 1．随机试验： 一个试验如果满足下述条件： ⑴ 试验可以在相同的情形下重复进行； ⑵ 试验的所有可能结果是明确可知道的,并且不止一个； ⑶ 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这 次试验会出现那一个结果. 就称这样的试验是一个随机试验,为方便起见,也简称为试验. 2．基本事件：随机试验的每一个可能的结果,称为基本事件. 3．样本空间：所有基本事件的全体称为样本空间,通常用字母Ω表示. 4．样本点：Ω中的点,即基本事件,有时也称作样本点,通常用字母ω表示. [例]1.1 在前述试验中,令 ω1={取得白球}, ω2={取得黑球} 则 Ω={ω1,ω2} [例]1.2 一个盒子中有十个完全相同球,分别标以号码 1,2,…,10,从中任取一球,令 i ={取得球的号码为 i} 则 Ω={1,2,…,10}

第一章事件与概率 [例]13讨论某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数,令 i={收到的呼唤次数为i 则 Q={1,2,… [例]14测量某地水温,令t={测得的水温为t℃ 则 Q=[0,100 5.随机事件:无论是基本事件还是复杂事件它们在试验中发生与否都带有随机性, 所以都叫随机事件或简称为事件习惯上用大写字母A,BC等表示事件. 在试验中如果出现A中所包含的某一个基本事件心,则称作A发生,并记作∈A. 我们已经知道样本空间Ω包含了全体基本事件,而随机事件不过是有某些特征的基本 事件所组成,所以从集合论的观点来看,一个随机事件不过是样本空间9的一个子集而已 又因为9是所有基本事件所组成因而在任一次试验中,必然要出现9中的某一基本事件 ,即ω∈9.也就是在试验中,Ω必然会发生,所以今后又用9来代表一个必然事件.相应 地,空集Φ可以看作是Ω的子集,在任一次实验中不可能有ω∈Φ,也就是说Φ永远不可能 发生,所以Φ是不可能事件.为了方便起见,我们把必然事件和不可能事件看作随机事件的 两个极端情形 一个样本空间Ω中,可以有很多的随机事件.概率论的任务之一,是研究随机事件的规 律,通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律.为此,需要研究事件之间的关 系和事件之间的一些运算 事件之间的关系和运算 1.如果事件A发生必然导致事件B发生,则称B包含了A,或称A是B的特款并记作 AcB或B=A如图1.1 因为不可能事件Φ不含有任何ω,所以对任一事件A,我们约定ΦcA 2.如果有AcB,BCA同时成立,则称事件A与B相等,记作A=B.如图1.2 3.“事件A与B中至少有一个发生”,这样的一个事件称作事件A与B的并(或和)并 记作AUB.如图1.3 4“事件A与B同时发生”,这样的一个事件称作事件A与B的交(或积),记作A∩B(或 AB).如图1.4 5.“事件A发生而B不发生”,这样的一个事件称作事件A与B的差记作A一B如图 5. 6.若事件A与B不能同时发生也就是说AB是一个不可能事件即AB=中,则称事件 A与B互不相容.如图1.6 7.若A是一个事件令A=Ω-A,称A是A的对立事件或逆事件如图1.7 显然有: AA=Φ,AUA=9,A=A 8.若有n个事件:A,A2,…,An,则“A,A2,…,An中至少发生其中的一个”这样的事件 称作A,A2…,A的并并记作AUAU…UA或A1:若“A,A2…,An同时发生”,这样的

第一章 事件与概率 ·４ · [例]1.3 讨论某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数,令 i={收到的呼唤次数为 i} 则 Ω={1,2,…} [例]1.4 测量某地水温,令 t={测得的水温为 t℃} 则 Ω=[0,100] 5．随机事件：无论是基本事件还是复杂事件,它们在试验中发生与否,都带有随机性, 所以都叫随机事件或简称为事件.习惯上用大写字母 A,B,C 等表示事件. 在试验中,如果出现 A 中所包含的某一个基本事件ω,则称作 A 发生,并记作ω∈A. 我们已经知道样本空间Ω包含了全体基本事件,而随机事件不过是有某些特征的基本 事件所组成,所以从集合论的观点来看,一个随机事件不过是样本空间Ω的一个子集而已. 又因为Ω是所有基本事件所组成,因而在任一次试验中,必然要出现Ω中的某一基本事件 ω,即ω∈Ω.也就是在试验中,Ω必然会发生,所以今后又用Ω来代表一个必然事件.相应 地,空集Φ可以看作是Ω的子集,在任一次实验中不可能有ω∈Φ,也就是说Φ永远不可能 发生,所以Φ是不可能事件.为了方便起见,我们把必然事件和不可能事件看作随机事件的 两个极端情形. 一个样本空间Ω中,可以有很多的随机事件.概率论的任务之一,是研究随机事件的规 律,通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律.为此,需要研究事件之间的关 系和事件之间的一些运算. 二、事件之间的关系和运算： 1．如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则称 B 包含了 A,或称 A 是 B 的特款,并记作 A⊂B 或 B⊃A.如图 1.1. 因为不可能事件Φ不含有任何ω,所以对任一事件 A,我们约定 Φ⊂A. 2．如果有 A⊂B,B⊂A 同时成立,则称事件 A 与 B 相等,记作 A=B.如图 1.2. 3．“事件 A 与 B 中至少有一个发生”,这样的一个事件称作事件 A 与 B 的并(或和)并 记作 A∪B.如图 1.3. 4．“事件 A 与 B 同时发生”,这样的一个事件称作事件 A 与 B 的交(或积),记作 A∩B(或 AB).如图 1.4. 5．“事件 A 发生而 B 不发生”,这样的一个事件称作事件 A 与 B 的差,记作 A－B.如图 1.5. 6．若事件 A 与 B 不能同时发生,也就是说 AB 是一个不可能事件,即 AB=Φ,则称事件 A 与 B 互不相容.如图 1.6. 7．若 A 是一个事件,令 A =Ω－A,称 A 是 A 的对立事件或逆事件.如图 1.7. 显然有： A A =Φ, A∪ A =Ω, A =A 8．若有 n 个事件：A1,A2,…,An,则“A1,A2,…,An 中至少发生其中的一个”这样的事件 称作 A1,A2,…,An 的并,并记作 A1∪A2∪…∪An 或  n i Ai =1 ；若“A1,A2,…,An 同时发生”,这样的

第一章事件与概率 事件称作A,A2…A1的交记作AA…A或∩4 图1.1 图1.2 图1.3 图1.4 图1.5(1 1.52) 图1.6 图1.7 大家已经有了一定的集合论知识,一定会发现事件间的关系及运算与布尔( Boole)代数 中集合间的关系和运算之间是完全可以互类比的下面给出这种类比的对应关系 概率论 集合论 样本空间 9={o 事件 事件A发生 事件A不发生 必然事件 不可能事件 事件A发生导致B发生 “事件A与B至少有一个发生” “事件A与B同时发生” A∩B “事件A发生而B不发生” 事件A与B互不相容 AB=op 在很多场合,用集合论的表达方式显得简练些,也更容易理解些.但对初学概率论的大 家来说,重要的是要学会用概率论的语言来解释集合间的关系及运算,并能运用它们 [例]1.5设A、B、C是Ω中的随机事件,则 1)事件“A与B发生,C不发生”可以表示成:ABC或AB-C或AB-ABC 2)事件“A、B、C中至少有二个发生”可以表示成: ABUACU BC或 ABCU∪ ABCUABCUABC. 3)事件“A、B、C中恰好发生三个”可以表示成:ABC∪ ABCUABC

第一章 事件与概率 ·５· 事件称作 A1,A2,…,An 的交,记作 A1A2…An 或  n i Ai =1 . 大家已经有了一定的集合论知识,一定会发现事件间的关系及运算与布尔(Boole)代数 中集合间的关系和运算之间是完全可以互类比的.下面给出这种类比的对应关系： 在很多场合,用集合论的表达方式显得简练些,也更容易理解些.但对初学概率论的大 家来说,重要的是要学会用概率论的语言来解释集合间的关系及运算,并能运用它们. [例] 1.5 设 A、B、C 是Ω中的随机事件,则 1) 事件“A 与 B 发生,C 不发生”可以表示成： ABC 或 AB－C 或 AB－ABC. 2) 事件“A、B、C 中至少有二个发生”可以表示成：AB∪AC∪BC 或 ABCABCABCABC . 3) 事件“A、B、C 中恰好发生二个”可以表示成： ABCABCABC . 概率论 集合论 样本空间 Ω={ω} 事件 子集 事件 A 发生 ω∈A 事件 A 不发生 ωA 必然事件 Ω 不可能事件 Φ 事件 A 发生导致 B 发生 AB “事件 A 与 B 至少有一个发生” A∪B “事件 A 与 B 同时发生” A∩B “事件 A 发生而 B 不发生” A－B 事件 A 与 B 互不相容 AB=Φ

第一章事件与概率 4)事件“A、B、C中有不多于一个事件发生”可以表示成: ABC JABC|ABC」ABC 5)事件“A发生而B与C都不发生”可以表示成:ABC或A_B-C或A-(BUC) 6)事件“A、B、C恰好发生一个”可以表示成: ABC UABC 7)事件“A、B、C中至少发生一个”可以表示成:A∪B∪C或 ABC U ABCABC U ABC ABC UABC 三、事件的运算规则: 1.交换律:AUB=BUA AB=BA 2.结合律:(AUB)UC=AU(BUC) 3.分配律:(AUB)C= ACU BC (AB)UC=(AUC)(BUC 4.德摩根(0 e Morgan)定理(对偶原则;∪4=∩∩4=U耳 四、寡件域: 我们已经知道事件是Ω的某些子集,如果把“是事件”的这些子集归在一起,则得到 个类,记作字,称作事件域,即 午={A:AcΩ,Ω是事件} 在前面已经提到,9、Φ是事件,所以Q∈F,中∈F.又讨论了事件间的运算“U” “∩”和“一”,如果A与B都是事件,即A∈F,B∈F,非常自然地要求AUB、AB、A-B 也是事件.因此,如果有A∈F、B∈F,就要求 AUB∈T、AB∈F、A一B∈F 用集合论的语言来说,就是事件域T关于运算“U”、“∩”和“一”是封闭的经过 归纳与整理,事件域F应该满足下述要求: (1)9∈F; (2)若A∈T,则A∈F 3)若A∈r,i=1,2,…,则∪A∈F 在集合论中,满足上述三个条件的集合类,称作布尔代数所以事件域应该是一个布尔 代数.对于样本空间Ω,如果是Ω的一切子集的全体,那么显然字是一个布尔代数

第一章 事件与概率 ·６ · 4) 事件“A、B、C 中有不多于一个事件发生”可以表示成： ABCABCABCABC . 5) 事件“A 发生而 B 与 C 都不发生”可以表示成： ABC 或 A－B－C 或 A－(B∪C). 6) 事件“A、B、C 恰好发生一个”可以表示成： ABC  ABC  ABC . 7) 事件“A、B、C 中至少发生一个”可以表示成： A B C 或 ABC  ABC  ABC  ABC  ABC  ABC  ABC . 三、事件的运算规则： 1. 交换律：A∪B=B∪A AB=BA 2. 结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (AB)C=A(BC) 3. 分配律：(A∪B)C=AC∪BC (AB)∪C=(A∪C)(B∪C) 4. 德摩根(De Morgan)定理(对偶原则)：  n i i n i Ai A =1 =1 =   n i i n i Ai A =1 =1 = 四、事件域： 我们已经知道事件是Ω的某些子集,如果把“是事件”的这些子集归在一起,则得到一 个类,记作ℱ ,称作事件域,即 ℱ ={A：A,是事件} 在前面已经提到,Ω、Φ是事件,所以Ω∈ℱ,Φ∈ℱ.又讨论了事件间的运算“∪” 、 “∩”和“－”,如果 A 与 B 都是事件,即 A∈ℱ,B∈ℱ,非常自然地要求 A∪B、AB、A－B 也是事件.因此,如果有 A∈ℱ、B∈ℱ,就要求 A∪B∈ℱ、AB∈ℱ、A－B∈ℱ 用集合论的语言来说,就是事件域 ℱ 关于运算“∪” 、“∩”和“－”是封闭的.经过 归纳与整理,事件域 ℱ 应该满足下述要求： ⑴ Ω∈ℱ； ⑵ 若 A∈ℱ,则 A ∈ℱ； ⑶ 若 Ai ∈ℱ,i=1,2, …,n,则  n i Ai =1 ∈ℱ. 在集合论中,满足上述三个条件的集合类,称作布尔代数.所以事件域应该是一个布尔 代数.对于样本空间Ω,如果ℱ 是Ω的一切子集的全体,那么显然ℱ 是一个布尔代数

第一章事件与概率 §1.2概率和频率 教学目的要求: 通过本节的学习,使学生掌握频率与概率的概念及其性质,为后面的学习打下基础 教材分析: 1.概括分析:本节是概率论这一部分的最基本和最基础的重要内容之一通过对引 言中随机试验的分析给出了概率的定义并通过频率与概率的内在关系的分析得到频率与 概率的性质在此基础上给出了概率的公理化定义 2.教学重点:概率的性质及公理化定义 3.教学难点:概率的公理化定义 教学过程: 回忆引言中的试验二,我们已经知道它是一个随机试验,并且样本空间9={u1,o2},其 中 ω1={取得白球},ω2={取得黑球}是其本事件.在一次试验中,虽然不能肯定是ω1还是ω2发 生,但是我们可以问在一次试验中发生ω1(或ω2)的可能性有多大?由对称性,很自然地可 以断定在一次试验中,出现1(或ω2)的可能性是%,因为我们知道盒子中白球数和黑球数 都是5个.现在引入一个定义如下 频率和概率的定义: 定义1.1随机事件A发生可能性大小的度量(数值),称为A发生的概率,记作P(A) 正如恩格斯所指出的:“在表面上是偶然性在起作用的地方,这种偶然性始终是受内 部的隐蔽着的规律支配的,而问题只是在于发现这些规律.”(恩格斯:《路德维希·费尔巴 哈和德国古典哲 学的终结》,人民出版社,1972年,第38页) 人们经过长期的实践发现,虽然个别随机事件在某次试验或观察中可以出现也可以不 出现;但在大量试验中它却呈现出明显的规律性一—频率稳定性 在掷一次硬币时,既可能出现正面,也可能出现反面,预先作出确定的判断是不可能的, 但是假如硬币均匀,直观上出现正面与出现反面的机会应该相等,即在大量试验中出现正 面的频率,应接近于50%,为了验证这点,历史上曾有不少人做过这个试验,其结果如下 实验者掷硬币次数出现正面次数频 2048 0.5069 皮尔逊12000 6019 0.5016 皮尔 24000 12012 0.5005 又如,在英语中某些字母出现的频率远远高于另外一些字母.在进行了更深入的研究 之后,人们还发现各个字母被使用的频率相当稳定.例如,下面就是英文字母使用频率的一 份统计表.其他各种文字也都有着类似的规律

第一章 事件与概率 ·７· §1.2 概率和频率 教学目的要求： 通过本节的学习,使学生掌握频率与概率的概念及其性质,为后面的学习打下基础. 教 材 分 析 ： 1．概括分析：本节是概率论这一部分的最基本和最基础的重要内容之一.通过对引 言中随机试验的分析给出了概率的定义,并通过频率与概率的内在关系的分析得到频率与 概率的性质,在此基础上给出了概率的公理化定义. 2．教学重点：概率的性质及公理化定义. 3．教学难点：概率的公理化定义. 教 学 过 程 ： 回忆引言中的试验二,我们已经知道它是一个随机试验,并且样本空间Ω={ω1,ω2},其 中 ω1={取得白球},ω2={取得黑球}是其本事件.在一次试验中,虽然不能肯定是ω1 还是ω2 发 生,但是我们可以问在一次试验中发生ω1(或ω2)的可能性有多大?由对称性,很自然地可 以断定在一次试验中,出现ω1 (或ω2)的可能性是½,因为我们知道盒子中白球数和黑球数 都是 5 个.现在引入一个定义如下： 一、频率和概率的定义： 定义 1.1 随机事件 A 发生可能性大小的度量(数值),称为 A 发生的概率,记作 P(A). 正如恩格斯所指出的：“在表面上是偶然性在起作用的地方,这种偶然性始终是受内 部的隐蔽着的规律支配的,而问题只是在于发现这些规律．”(恩格斯：《路德维希·费尔巴 哈和德国古典哲 学的终结》,人民出版社,1972 年,第 38 页)． 人们经过长期的实践发现,虽然个别随机事件在某次试验或观察中可以出现也可以不 出现；但在大量试验中它却呈现出明显的规律性——频率稳定性． 在掷一次硬币时,既可能出现正面,也可能出现反面,预先作出确定的判断是不可能的, 但是假如硬币均匀,直观上出现正面与出现反面的机会应该相等,即在大量试验中出现正 面的频率,应接近于 50％,为了验证这点,历史上曾有不少人做过这个试验,其结果如下: 实验者 掷硬币次数 出现正面次数 频 率 蒲 丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 又如,在英语中某些字母出现的频率远远高于另外一些字母. 在进行了更深入的研究 之后,人们还发现各个字母被使用的频率相当稳定．例如,下面就是英文字母使用频率的一 份统计表．其他各种文字也都有着类似的规律．

第一章事件与概率 字母空格E 0.20.100.0720.0650.0630.0590.050.0540.05 0.040.030.0290.023L0.02410.02240.02 频率0.0140.010.0100.0080.0030.0020 字母使用频率的研究,对于打字机键盘的设计(在方便的地方安排使用频率较高的字 母键)、印刷铅字的铸造(使用频率高的应铸得多些)、信息的编码(常用字母用较短的码) 密码的破译等等方面都是十分有用的 对于一个随机事件来说,它发生可能性大小的度量是由它自身决定的,并且是客观存 在的.就好比一根木棒有长度,一块土地有面积一样,概率是随机事件发生可能性大小的度 量,是随机事件自身的一个属性.一个根本的问题是,对一个给定的随机事件,它发生可能 性大小的度量一一概率,究竟是多大呢?在前面的例子中,因为已经知道了盒子中的白球 和黑球都是5个,才得以断定p(O1)=1/2.如果不知道盒子中的白球数和黑球数呢?在引言 中已经提到,实践告诉我们,如果反复多次地从盒子中取球(取后放回搅匀),随着试验次数 n的增大,比值会逐渐稳定到1/2(n表示出现白球的次数),记 出现的次数 W试验总次数m(o) 称fn(O1)为事件ω1在n次试验中出现的频率.频率当然也在一定程度上反映了发生可能 性的大小.尽管每作一串(n次)试验,所得到的频率∫n(O1)可以各不相同,但是只要n相当 大,fn(1)与P(O1)是会非常“靠近”的.因此概率是可以通过频率来“测量”的,或者 说频率是概率的一个近似.在前述摸球的例子中,即使事先并不知道盒子中黑球和白球的 比例数(这时概率虽然不知道,但它是客观存在的),经过反复多次的试验后,如果频率 f∫n(o1)逐渐稳定到1/2,那么我们就可以判断盒子中的白球数和黑球数是相等的,进一步 即可得到p(1)=1/2这个结论这件事情其实质与测量长度和面积一样的平常,给定一根 木棒,谁都不怀疑它有自身的“客观”的长度,长度是多少?我们可以用尺或仪器去测量 不论尺或仪器多么精确,测得的数值总是稳定在木棒真实的“长度”值的附近.事实上,人 们也是把测量所得的值当作真实的“长度”.这个类比不仅帮助我们去理解概率和频率之 间的内在关系,而且还启示了更深刻的事实:概率与长度、面积等变量一样,应该具有“测 度”的性质.这个问题请读者先思考一下,然后让我们慢慢地来解释 、频率和概率的性质

第一章 事件与概率 ·８ · 字母 空格 E T O A N I R S 频率 0.2 0.105 0.072 0.0654 0.063 0.059 0.055 0.054 0.052 字母 H D L C F U M P Y 频率 0.047 0.035 0.029 0.023 0.0225 0.0225 0.021 0.0175 0.012 字母 W G B V K X J Q Z 频率 0.012 0.011 0.0105 0.008 0.003 0.002 0.001 0.001 0.001 字母使用频率的研究,对于打字机键盘的设计(在方便的地方安排使用频率较高的字 母键)、印刷铅字的铸造(使用频率高的应铸得多些)、信息的编码(常用字母用较短的码)、 密码的破译等等方面都是十分有用的． 对于一个随机事件来说,它发生可能性大小的度量是由它自身决定的,并且是客观存 在的．就好比一根木棒有长度,一块土地有面积一样,概率是随机事件发生可能性大小的度 量,是随机事件自身的一个属性．一个根本的问题是,对一个给定的随机事件,它发生可能 性大小的度量—一概率,究竟是多大呢？在前面的例子中,因为已经知道了盒子中的白球 和黑球都是5个,才得以断定 ( ) p 1 =1/2.如果不知道盒子中的白球数和黑球数呢？在引言 中已经提到,实践告诉我们,如果反复多次地从盒子中取球(取后放回搅匀),随着试验次数 n 的增大,比值 n n白 会逐渐稳定到 1/2(n 白表示出现白球的次数),记 n n白 = 试验总次数 出现1的次数 = ( ) n 1 f 称 ( ) n 1 f 为事件ω1 在 n 次试验中出现的频率．频率当然也在一定程度上反映了发生可能 性的大小．尽管每作—串(n 次)试验,所得到的频率 ( ) n 1 f 可以各不相同,但是只要 n 相当 大, ( ) n 1 f 与 ( ) p 1 是会非常“靠近”的．因此概率是可以通过频率来“测量”的,或者 说频率是概率的一个近似．在前述摸球的例子中,即使事先并不知道盒子中黑球和白球的 比例数(这时概率虽然不知道,但它是客观存在的),经过反复多次的试验后,如果频率 ( ) n 1 f 逐渐稳定到 1/2,那么我们就可以判断盒子中的白球数和黑球数是相等的,进一步 即可得到 ( ) p 1 =1／2 这个结论.这件事情其实质与测量长度和面积—样的平常,给定一根 木棒,谁都不怀疑它有自身的“客观”的长度,长度是多少？我们可以用尺或仪器去测量, 不论尺或仪器多么精确,测得的数值总是稳定在木棒真实的“长度”值的附近.事实上,人 们也是把测量所得的值当作真实的“长度”．这个类比不仅帮助我们去理解概率和频率之 间的内在关系,而且还启示了更深刻的事实：概率与长度、面积等变量一样,应该具有“测 度”的性质.这个问题请读者先思考一下,然后让我们慢慢地来解释． 二、频率和概率的性质：

第一章事件与概率 1.频率的性质 现在让我们比较仔细地考察一下频率.如果随机事件A在n次反复试验中发生了n自 次,称 f (A)= 为A的频率.易知频率具有下述性质 (1).非负性:即fn(A)≥0 (2).规范性,即若9是必然事件,则∫n(2)=1 (3).有限可加性:即若A、B互不相容(即AB=Φ),则 f(AUB)=(A)+, (B) 这三条性质的论证是很直观的,因为 (1).n4≥0,所以_≥0 (2).是必然事件,所以n=n,从而=1: (3).若AUB发生,意味着A、B中至少发生其中之一,又因为A与B互不相容(即不能 同时发生),所以AUB发生的次数一定是A发生次数与B发生次数之和,即nB=n4+nB 从而有 f(AUB)=f(A)+f(B) 成立 频率还具有一些别的性质,但是这三条性质是最基本的,其它的性质可以由它们推 出.作为练习,读者不妨自己验证下述几个性质: (1)不可能事件的频率为零,即fn(Φ)=0; (2)若ACB,则fn(A)≤fn(B),由此还可推得对任一事件A,有fn(4)≤1 (3)对有限个两两不相容事件(即任意两个事件互不相容),频率具有可加性.即若AA Φ(1≤i,j≤m,i≠j),则 U4=∑()

第一章 事件与概率 ·９· 1.频率的性质: 现在让我们比较仔细地考察一下频率．如果随机事件 A 在 n 次反复试验中发生了 n 白 次,称 f (A) n = n n白 为 A 的频率．易知频率具有下述性质． (1)．非负性：即 f (A) n ≥0； (2)．规范性,即若Ω是必然事件,则 () n f ＝1； (3)．有限可加性：即若 A、B 互不相容(即 AB=Φ),则 f (A B) n  ＝ f (A) n 十 f (B) n 这三条性质的论证是很直观的,因为 (1). A n ≥0,所以 n nA ≥0； (2). Ω是必然事件,所以 n = n ,从而 n n =1； (3). 若 A∪B 发生,意味着 A、B 中至少发生其中之一,又因为 A 与 B 互不相容(即不能 同时发生),所以A∪B发生的次数一定是A发生次数与B发生次数之和,即 nAB = nA + nB , 从而有 f (A B) n  ＝ f (A) n 十 f (B) n 成立． 频率还具有一些别的性质,但是这三条性质是最基本的,其它的性质可以由它们推 出．作为练习,读者不妨自己验证下述几个性质： (1) 不可能事件的频率为零,即 () n f =0； (2) 若 A⊂B,则 f (A) n ≤ f (B) n ,由此还可推得对任一事件 A,有 f (A) n ≤1； (3) 对有限个两两不相容事件(即任意两个事件互不相容),频率具有可加性.即若AiAj= Φ(1≤i,j≤m,i≠j),则  ( ) = = =        n i n i n i f n Ai f A 1 1 

第一章事件与概率 2.概率的性质 因为频率的本质就是概率,因而我们有理由要求频率的这些性质也是概率所应该具有 的.因为对每一个随机事件A,都有一个概率P(A)与之对应,而在§1中我们已经知道事件 是一个布尔代数,所以概P实质上是在布尔代数上有定义的一个(集合)函数因为中 元素是集合),它应该具有下述性质 (1).非负性:P(A)≥0,对A∈字 (2).规范性:P(Ω)=1:; (3).有限可加性:若A1∈字,i=1,2,…,n,且AA=中(i≠j),则 14=∑(4) 由此可知,给定一个随机试验,也就确定了一个样本空间Ω,事件域F和概率P,其中F是 个布尔代数,P是定义在F上的一个非负的、规范的有限可加集函数,这样一来,对随机 试验这样的一个直观对象,我们就可以用“数学化”的语言来描述它们了 §13古典概型 教学目的要求: 通过本节的学习使学生在复习巩固排列组合的基础上掌握古典概型的定义和计算公 式并能灵活运用它们解决实际问题 教材分析: 1.概括分析:古典概型在概率论中占有相当重要的地位,早在古代就引起了人们的 注意.它的内容比较简单,应用却很广泛,深入考察古典概率问题,有助于我们直观地理解 概率论的一些基本概念,合理地解决产品质量控制等实际问题.因此,掌握古典概率问题的 解法,对于学好概率论具有十分重要的意义.本节首先给出古典概型的定义,然后在复习排 列组合的基础上通过实例讲述古典概型问题的解法,达到灵活运用定义与公式的目的 教学重点:古典概型的定义与公式及古典概型问题的解法 3.教学难点:古典概型问题的解法及古典概型定义与公式的灵活运用 教学过程: 在§2中已经提到,一个随机试验,数学上是用样本空间Ω,事件域F和概率P来描述 的.对一个随机事件A,如何寻求它的概率P(A)是概率论的一个基本的课题.我们先讨论 类最简单的随机试验 古典概型的定义与计算公式: 1.古典概型的定义 有一类最简单的随机试验,它具有下述特征: (1)样本空间的元素(即基本事件)只有有限个.不妨设为n个,并记它们为o1、o2

第一章 事件与概率 ·１０ · 2. 概率的性质: 因为频率的本质就是概率,因而我们有理由要求频率的这些性质也是概率所应该具有 的．因为对每一个随机事件 A,都有一个概率 P(A)与之对应,而在§1 中我们已经知道事件 域ℱ 是一个布尔代数,所以概 P 实质上是在布尔代数上有定义的一个(集合)函数(因为ℱ 中 的元素是集合),它应该具有下述性质： (1)．非负性：P(A)≥0,对 A∈ℱ ； (2)．规范性：P(Ω)＝1； (3)．有限可加性：若 Ai∈ℱ ,i＝1,2,…,n,且 AiAj＝Φ(i≠j),则  ( ) = = =        n i n i n i P Ai f A 1 1  由此可知,给定一个随机试验,也就确定了一个样本空间Ω,事件域 ℱ 和概率 P,其中 ℱ 是 一个布尔代数,P 是定义在 ℱ 上的一个非负的、规范的有限可加集函数,这样一来,对随机 试验这样的一个直观对象,我们就可以用“数学化”的语言来描述它们了． §1.3 古典概型 教学目的要求： 通过本节的学习,使学生在复习巩固排列组合的基础上掌握古典概型的定义和计算公 式,并能灵活运用它们解决实际问题. 教 材 分 析 ： 1．概括分析：古典概型在概率论中占有相当重要的地位,早在古代就引起了人们的 注意.它的内容比较简单,应用却很广泛,深入考察古典概率问题,有助于我们直观地理解 概率论的一些基本概念,合理地解决产品质量控制等实际问题.因此,掌握古典概率问题的 解法,对于学好概率论具有十分重要的意义.本节首先给出古典概型的定义,然后在复习排 列组合的基础上通过实例讲述古典概型问题的解法,达到灵活运用定义与公式的目的. 2．教学重点：古典概型的定义与公式及古典概型问题的解法. 3．教学难点：古典概型问题的解法及古典概型定义与公式的灵活运用. 教 学 过 程 ： 在§2 中已经提到,一个随机试验,数学上是用样本空间Ω,事件域 ℱ 和概率 P 来描述 的．对一个随机事件 A,如何寻求它的概率 P(A)是概率论的一个基本的课题. 我们先讨论 一类最简单的随机试验. 一、古典概型的定义与计算公式: 1.古典概型的定义: 有一类最简单的随机试验,它具有下述特征： (1) 样本空间的元素(即基本事件)只有有限个.不妨设为 n 个,并记它们为ω1、ω2、…

第一章事件与概率 (2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有P(u)=P(u2)=…P(u) 这种等可能的数学模型曾经是概率论发展初期的主要研究对象,通常就称这种数学模 型为古典概型.它在概率论中有很重要的地位,一方面,因为它比较简单,许多概念既直观 而又容易理解,另一方面,它又概括了许多实际问题,有很广泛的应用. 2.古典概型的计算公式 对上述的古典概型,它的样本空间Ω={ω1、ω2、…、ωn},事件域字为9的所有子集的 全体.这时,连同Φ、9在内,中含有2个事件,并且从概率的有限可加性知 1=P(9)=P(u1)+P(u2)+…+P(u) 于是 P(o1)=P(o2)=…=P(on)=1/n 对任意一个随机事件A∈T,如果A是k个基本事件的和,即 A=o,Uo,U…Uo,, kA中所含的基本事件数A的有利事件数 P(A)= 基本事件总数 基本事件总数 (A中所含的基本事件数,习惯上常常称为是A的有利事件数),不难验证,上述的概率P( 的确具有非负性、规范性和有限可加性 事实上,古典概型的大部分问题都能形象化地用摸球模型来描述.以后我们经常研究 摸球模型,意义即在于此 前节例1.1及其有关概率的计算是古典概型的一个例子,但并不是所有古典概型的事 件的概率计算都这么容易.事实上,古典概型中许多概率的计算相当困难而富有技巧,计算 的要点是给定样本点,并计算它的总数,而后再计算有利场合的数目.在这些计算中,经常 要用到一些排列与组合公式 、基本的组合分析公式 1.全部组合分析公式的推导基于下列两条原理:乘法原理与加法原理.为说明这两条 原理,请读者和我们一起参加一个智力游戏 王经理从上海去北京参加一个商品展销会,但途中还要到 天津去处理一件业务.从上海到天津可以坐飞机,也可以坐火 车,还可以坐船;从天津到北京则只有火车与汽车两种交通工 具可用.请问王经理从上海到北京一共有几种走法? 图2.1的图(a)是上述问题的忠实描绘.把它重新表示为(b),使我们一目了然地知道, 口王经理共有6种走法.这样一种表示方法是具有启发性的,它 告诉我们,对于同类问题可有一个通用的计算方法 把上海一天津,再从天津一北京看作相继进行的两个过程, 分别记为A与A.一般地,假设完成过程A共有n1种方法(在 我们的游戏中m=3),完成A2共有n种方法(本例中n2=2),那

第一章 事件与概率 ·１１· ωn. (2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有 P(ω1)=P(ω2)=…P(ωn) 这种等可能的数学模型曾经是概率论发展初期的主要研究对象,通常就称这种数学模 型为古典概型.它在概率论中有很重要的地位,一方面,因为它比较简单,许多概念既直观 而又容易理解,另一方面,它又概括了许多实际问题,有很广泛的应用. 2.古典概型的计算公式: 对上述的古典概型,它的样本空间Ω={ω1、ω2、…、ωn},事件域ℱ 为Ω的所有子集的 全体．这时,连同Φ、Ω在内, ℱ 中含有 2 n 个事件,并且从概率的有限可加性知: 1＝P(Ω)＝P(ω1)+P(ω2)+…+P(ωn) 于是 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)=1/n 对任意一个随机事件 A∈ℱ,如果 A 是 k 个基本事件的和,即 A＝ k i i i 1 2 , 则 基本事件总数 的有利事件数 基本事件总数 A中所含的基本事件数 A n k P(A) = = = (A 中所含的基本事件数,习惯上常常称为是 A 的有利事件数),不难验证,上述的概率 P(·) 的确具有非负性、规范性和有限可加性. 事实上,古典概型的大部分问题都能形象化地用摸球模型来描述.以后我们经常研究 摸球模型,意义即在于此. 前节例 1.1 及其有关概率的计算是古典概型的一个例子,但并不是所有古典概型的事 件的概率计算都这么容易．事实上,古典概型中许多概率的计算相当困难而富有技巧,计算 的要点是给定样本点,并计算它的总数,而后再计算有利场合的数目．在这些计算中,经常 要用到一些排列与组合公式． 二、基本的组合分析公式 1.全部组合分析公式的推导基于下列两条原理：乘法原理与加法原理．为说明这两条 原理,请读者和我们一起参加一个智力游戏. 王经理从上海去北京参加一个商品展销会,但途中还要到 天津去处理一件业务.从上海到天津可以坐飞机,也可以坐火 车,还可以坐船；从天津到北京则只有火车与汽车两种交通工 具可用.请问王经理从上海到北京一共有几种走法？ 图 2.1 的图(a)是上述问题的忠实描绘.把它重新表示为(b),使我们一目了然地知道, 王经理共有 6 种走法.这样一种表示方法是具有启发性的,它 告诉我们,对于同类问题可有一个通用的计算方法． 把上海—天津,再从天津—北京看作相继进行的两个过程, 分别记为 A1 与 A2．一般地,假设完成过程 A1 共有 n1 种方法(在 我们的游戏中 n1＝3),完成 A2 共有 n2 种方法(本例中 n2＝2),那

第一章事件与概率 末,完成整个过程一共有n×n2种方法(这里3×2=6).这就是所谓的乘法原理 现在把游戏的条件稍微改变一下.假定因时间关系,王经理只能去北京和天津中的 地,而从上海直接去北京可以有铁路与民航两种走法,此时王经理的走法一共有多少种 直接采用类似图2.1(b)的表示方法,便知此时共有5种走 法,如图2.2所示.现在不同的是,两个过程不是相继的而是并 行的.因此在计算中不能用乘法,只能用加法.这样,进行过程 图2.3加族原理图示 A1或A2的方法一共有n1+n2种.这就是加法原理 容易知道,这两条原理可以推广到多个过程的情况.利用上述原理,可以导出排列与组 合的公式 所谓排列,是从共有n个元素的总体中取出r个来进行有顺序的放置(或者说有顺序地 取出r个元素) 这时既要虑到取出的元素也要顾及其取出顺序.这种排列可分为两类:第一种是有放 回的选取,这时每次选取都是在全体元素中进行,同一元素可被重复选中;另一种是不放回 选取,这时一个元素一旦被取出便立刻从总体中除去,因此每个元素至多被选中一次,在后 种情况,必有r≤n (1)在有放回选取中,从n个元素中取出r个元素进行排列,这种排列称为有重复的排 列,其总数共有n种 (2)在不放回选取中,从n个元素中取出r个元素进行排列,其总数为 An=n(n-1)(n-2)…(n-r+1) 这种排列称为选排列.特别当r=n时,称为全排列 (3)n个元素的全排列数为Pn=n(n-1)…3·2·1=n! 3.组合 (1)从n个元素中取出r个元素而不考虑其顺序,称为组合,其总数为 n A 1) 这里是二项展开式的系数,(a+b)= a'b (2)若r1+r2+…+n=n,把n个不同的元素分成k个部分,第一部分r1个,第二部分r2 个,……,第k部分r个,则不同的分法有 r1!r2

第一章 事件与概率 ·１２ · 末,完成整个过程一共有 n1×n2 种方法(这里 3×2＝6)．这就是所谓的乘法原理． 现在把游戏的条件稍微改变一下．假定因时间关系,王经理只能去北京和天津中的一 地,而从上海直接去北京可以有铁路与民航两种走法,此时王经理的走法一共有多少种 呢？ 直接采用类似图 2.1(b)的表示方法,便知此时共有 5 种走 法,如图 2.2 所示.现在不同的是,两个过程不是相继的而是并 行的.因此在计算中不能用乘法,只能用加法．这样,进行过程 A1 或 A2 的方法一共有 n1+n2 种.这就是加法原理． 容易知道,这两条原理可以推广到多个过程的情况．利用上述原理,可以导出排列与组 合的公式. 2．排列： 所谓排列,是从共有 n 个元素的总体中取出 r 个来进行有顺序的放置(或者说有顺序地 取出 r 个元素). 这时既要虑到取出的元素也要顾及其取出顺序.这种排列可分为两类：第一种是有放 回的选取,这时每次选取都是在全体元素中进行,同一元素可被重复选中；另一种是不放回 选取,这时一个元素一旦被取出便立刻从总体中除去,因此每个元素至多被选中一次,在后 一种情况,必有 r≤n． (1)在有放回选取中,从 n 个元素中取出 r 个元素进行排列,这种排列称为有重复的排 列,其总数共有 n r 种． (2)在不放回选取中,从 n 个元素中取出 r 个元素进行排列,其总数为 r An ＝n(n－1)(n－2)…(n－r＋1) 这种排列称为选排列.特别当 r＝n 时,称为全排列． (3)n 个元素的全排列数为 Pn＝n(n－1)…3·2·1＝n！ 3．组合: (1)从 n 个元素中取出 r 个元素而不考虑其顺序,称为组合,其总数为: !( )! ! ! ( 1) ( 1) ! r n r n r n n n r r A r n C r r n n − = − − + = =         =  这里         r n 是二项展开式的系数,(a+b)n == −         n r r n r a b r n 0 (2)若 r1＋r2＋…＋rk＝n,把 n 个不同的元素分成 k 个部分,第一部分 r1 个,第二部分 r2 个,……,第 k 部分 rk 个,则不同的分法有: ! ! ! ! 1 2 k r r r n 