概率统计——习题四解答 1、(1)P(B|A∪B) P(BA) P(A)-P(AB P(A∪B)P(A)+P(B)-P( (1-0.3)-0.5 0.25; 1-03)+(1-04)-05=0 P(AB) (2)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(A B) P(AB) =P(A+P(4B~1P(4)P(B4)=1+11-1×2=3 设A1、A2分别表示取出的零件来自第一、二箱,B1、B2分别表示第 、二次取出的零件是一等品,则 1)P(B1)=P(41)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)= 1 Ci0*n Co 2 (2)P(B2|B1)= P(B1B2)2 (C/C3+C3/C3) 230×3 0.4856 P(B1) 2/5 49×29 3、设H—飞机被击中次,i=0,1,2,3,B——飞机被击落,则 P(B)=∑P(H1)P(B|H,) 其中 P(B|H0)=0,P(B|H1)=0.2,P(B|H2),P(B|H3)=1 P(H1)=0.4(1-0.51-0.7)+(1-04)0.51-0.7)+(1-0.41-0.50.7)=0.36, P(H2)=0.4(0.51-0.7)+(0.4)1-0.50.7)+(1-0.4X(0.50.7)=041 P(H3)=04(0.507)=0.14;故 P(B)=∑P(HP(B|H1)=0.36(02)+041(06)+0.14=0458 4、设A1、A2、A3、A4分别表示朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来,B——朋友迟到 则由于P(B)=∑P(A)P(B|A)=03x2)+02)+01(1)+0=015 故 P(4|B)=031/4 0.5 0.15 5、(1)02144(2)互不相容;(3)相互独立:(4)相互对立
概率统计——习题四解答 1、（1） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) P A P B P AB P A P AB P A B P BA P B A B + − − = = 0.25 (1 0.3) (1 0.4) 0.5 (1 0.3) 0.5 = − + − − − − = ； （2） ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P AB P A B P AB P A B = P A + P B − P AB = P A + − . 3 1 ) 3 1 )( 4 1 1]( 1/ 2 1 [ 4 1 1] ( ) ( | ) ( | ) 1 = ( ) + [ − P A P B A = + − = P A B P A 2、设 A1、A2——分别表示取出的零件来自第一、二箱，B1、B2——分别表示第 一、二次取出的零件是一等品，则 （1） 5 2 2 1 2 1 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 1 30 1 18 1 50 1 10 1 = 1 1 1 + 2 1 2 = + = C C C C P B P A P B A P A P B A ； （2） 0.4856. 49 29 230 3 2 / 5 ( / / ) 2 1 ( ) ( ) ( | ) 2 30 2 18 2 50 2 10 1 1 2 2 1 = + = = C C C C P B P B B P B B 3、设 H i ——飞机被击中 i 次， i =0，1，2，3， B——飞机被击落，则 ( ) ( ) ( | ). 3 0 = = i P B P Hi P B Hi 其中 ( | ) 0, ( | ) 0.2, ( | ), ( | ) 1; P B H0 = P B H1 = P B H2 P B H3 = P(H1 ) = 0.4(1− 0.5)(1− 0.7) + (1− 0.4)(0.5)(1− 0.7) + (1− 0.4)(1− 0.5)(0.7) = 0.36， P(H2 ) = 0.4(0.5)(1− 0.7) + (0.4)(1− 0.5)(0.7) + (1− 0.4)(0.5)(0.7) = 0.41， P(H3 ) = 0.4(0.5)(0.7) = 0.14 ；故 ( ) ( ) ( | ) 0.36(0.2) 0.41(0.6) 0.14 0.458. 3 0 = = + + = i= P B P Hi P B Hi 4、设 A1、A2、A3、A4——分别表示朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来，B——朋友迟到。 则由于 ) 0 0.15, 12 1 ) 0.1( 3 1 ) 0.2( 4 1 ( ) ( ) ( | ) 0.3( 4 1 = = + + + = i= P B P Ai P B Ai 故 0.5. 0.15 0.3(1/ 4) P(A| B) = = 5、（1）0.2144;（2）互不相容；（3）相互独立；（4）相互对立；
(5)*当P(A)>0,P(B)>0时,A、B相互独立必有A、B相容,反之不然 事实上,若A、B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)>0,故A、B必相容。反之,不妨设={1, 2,3,4},A={1,2},B={1},则A、B相容,但P(AB)=1≠1=P(A)P(B) (6)*:0=P(AB)=P(A)P(B),∴P(A,P(B)至少有一个为0,故 min P(A), P(B)=0 6、设事件A表示“任意取出的100个灯泡都是好的”,B1表示“1000个灯泡中有i个坏灯 泡”,=0,1,2,34.5,则P(B)=2,P(A|B)=(wo.9,i=01,234.5 于是,有全概率公式得P(4)=∑P(B)P(A\B)6×4686 再由贝叶斯公式得:P(B0|A)=P(B)P(A|B0)=0213 P(A) 课余习题(四)解答 、设事件A表示“从甲、乙两盒中各任取1球,颜色相同”,B表示“甲盒中有k只白球”, k=0,1,2,34显然,B1,B2,B3互不相容且AcB1∪B2∪B3。由已知,有 P(B)=CAC4-8 P(A|B1)=x+ C P(B2) P(A|B2)= 44448 CiCI 31 P(B3)= P(AlB,) 由全概率公式P(4)=∑P(B)P(A|B) 所以P(B14sP(B1)P(AB)=1 P(A) P(B2)P(A|B2)3 P(B,A) P(A
(5)* 当 P(A) 0, P(B) 0 时，A、B 相互独立必有 A、B 相容，反之不然； 事实上，若 A、B 相互独立，则 P(AB) = P(A)P(B) 0 ，故 A、B 必相容。反之，不妨设={1， 2，3，4}，A={1，2}，B={1}，则 A、B 相容，但 ( ) ( ) 8 1 4 1 P(AB) = = P A P B ； (6)* 0 = P(AB) = P(A)P(B)，P(A), P(B) 至少有一个为 0，故 min{ P(A), P(B)} = 0. 6、设事件 A 表示“任意取出的 100 个灯泡都是好的”， Bi 表示“1000 个灯泡中有 i 个坏灯 泡”，i=0,1,2,3,4,5,则 , ( | ) 0.9 , 0,1,2,3,4,5 6 1 ( ) 100 1000 100 1000 = = = − i C C P B P A B i i i i 于是，有全概率公式得 4.686 6 1 ( ) ( ) ( | ) 5 0 = = i= P A P Bi P A Bi 再由贝叶斯公式得： 0.213 ( ) ( ) ( | ) ( | ) 0 0 0 = = P A P B P A B P B A 课余习题（四）解答 1、设事件 A 表示“从甲、乙两盒中各任取 1 球，颜色相同”， Bk 表示“甲盒中有 k 只白球”， k=0,1,2,3,4.显然， 1 2 3 B ,B ,B 互不相容且 A B1 B2 B3 。由已知，有 8 3 4 1 4 3 4 3 4 1 , ( | ) 35 8 ( ) 4 1 8 3 4 1 4 1 = = P A B = + = C C C P B 8 4 4 2 4 2 4 2 4 2 , ( | ) 35 18 ( ) 4 2 8 2 4 2 4 2 = = P A B = + = C C C P B 8 3 4 3 4 1 4 1 4 3 , ( | ) 35 8 ( ) 4 3 8 1 4 3 4 3 = = P A B = + = C C C P B 由全概率公式 7 3 ( ) ( ) ( | ) 3 1 = = = k k k P A P B P A B 所以 5 1 ( ) ( ) ( | ) ( | ) 1 1 1 = = P A P B P A B P B A 5 3 ( ) ( ) ( | ) ( | ) 2 2 2 = = P A P B P A B P B A
P(B3|A)= P(BP(AIB3 P(A) 因此,放入甲盒中的4只球中有2只白球的概率最大,值为3/5 2、设A表示“这批产品是合格的”,B表示“取出的3件产品中恰有i件次品”,i=0,1,2,3。 由题设,有 P(B)=,P(B1)= P(B2) C4C96 P(B, 另外,易知 P(A|B0)=0.953,P(A|B)=0.01×0952 P(A|B2)=0012×095P(A|B3)=0.013 因此,由全概率公式可得: P(A)=∑PB,)P(A|B1)=07586 3、设A表示事件“第i次取得红球”,i=12,3,B,表示“第i次掷硬币出现正面”i1,2,3 易见,B即为“第i次从甲盒中取球”。 如果将“掷一次硬币,再由硬币出现的结果从相应的盒中取出”看作一次实验,那么每 次实验是重复的,而且是相互独立的,所以,他们的结果A2,i=1,2,3.是相互独立的, 且P(A1)=P(A)=1,2,3, 故P(A3|41A2)=P(A3)=P(A1) (1)由概率公式可得 P(A)=P(B1)P(A1|B1)+P(B1)P(A1|B1) 141 -+-x==0.5 2626 因此P(A3|A42)=0.5 (2)由于两次实验是独立重复的,所以A1B1与A2B2是相互独立的两个事件,且 P(A2B2)=P(A1B1)=P(B1)P(A1|B)=×= 所以,有条件概率的定义知 P(B1B2|A44)=P(4A2BB2)P(AB)P(A1B2)_(1/32 0.449 P(AA) P(A,)P(A,)
5 1 ( ) ( ) ( | ) ( | ) 3 3 3 = = P A P B P A B P B A 因此，放入甲盒中的 4 只球中有 2 只白球的概率最大，值为 3/5 2、设 A 表示“这批产品是合格的”， Bi 表示“取出的 3 件产品中恰有 i 件次品”，i=0,1,2,3。 由题设，有 3 100 0 9 6 3 4 3 3 100 1 9 6 2 4 3 2 100 2 9 6 1 4 3 1 100 3 9 6 0 4 0 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) C C C P B C C C P B C C C P B C C C P B = = = = 另外，易知 2 1 3 P(A | B0 ) = 0.95 , P(A | B ) = 0.01 0.95 3 3 2 P(A | B2 ) = 0.01 0.95,P(A | B ) = 0.01 因此，由全概率公式可得： ( ) ( ) ( | ) 0.7586 3 0 = = i= P A P Bi P A Bi 3、设 Ai 表示事件“第 i 次取得红球”，i=1,2,3. Bi 表示“第 i 次掷硬币出现正面” i=1,2,3. 易见， Bi 即为“第 i 次从甲盒中取球”。 如果将“掷一次硬币，再由硬币出现的结果从相应的盒中取出”看作一次实验，那么每 次实验是重复的，而且是相互独立的，所以，他们的结果 Ai ，i=1,2,3.是相互独立的， 且 P(Ai ) = P(A),i =1,2,3， 故 ( | ) ( ) ( ) P A3 A1A2 = P A3 = P A1 （1）由概率公式可得 0.5 6 2 2 1 6 4 2 1 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P A1 = P B1 P A1 B1 + P B1 P A1 B1 = + = 因此 P(A3 | A1A2 ) = 0.5 （2）由于两次实验是独立重复的，所以 A1B1与A2B2 是相互独立的两个事件，且 3 1 6 4 2 1 | P（A2B2）= P（A1B1）= P（B1）P（A1 B1）= = 所以，有条件概率的定义知 0.449 0.5 1/ 3 | 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = = = = （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） P A P A P A B P A B P A A P A A B B P B B A A