河海大学：《概率论》概率论与数理统计综合练习2004

概率论与数理统计综合练习2004.10(仅供内部交流) N(0,1)分布表,t分布表略,请大家练习时参看课本。根据自己的实际情况选择做题。 是非题(对或错) 1、掷两枚匀质硬币,都出现正面的概率是1/2 2、若P(4)>0,则事件A、B相互独立与A、B互不相容不舵同时成立 3、若随机变量X的方差存在,则恒有E(X2)≥IE(X)2 4、设随机变量X、Y的方差存在,则X、Y相互独立的充要条件是 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 填空题 (1)已知P(A=0.3,P(B=04,P(BA)=0.2,则P(A∪B) (2)设有10件产品,其中3件次品,现任取2件,则其中恰有1件次品的概率= 其中至少有1件次品的概率 (3)设有8人,每(等可舱地被分配到N个房间中的任意一间去住(N>=8)则在指 定的8个房间中各有一住的概率=:恰好有8个房闻,其中各住一人的概率 (4)进行重复独立试验,每次试验中P(A)=0.12,Ⅹ表示在10次试验中A发生次数,则 P(X=k)= Y表示直到A首次发生为止的试验次数,则PY=k)= 5)设总体X-N(a),样本x,x2,Xn,设X=∑x ∑(X1-X)2,则x E(S2)= D(S) (6)设总体X在(0,日)内均匀分布,>0为未知参数,已知样本均值x=1.24,则 的矩估计值 1、将n个球随机地放入N(N≥n)个盒子中去,每个盒子至多有一只球的概率是 2、设随机变量X的分布律为 1161515130 则Y=X2的分律为 、若随机变量X、Y相互独立,且D(X=36,D(Y)=25,则D(X-Y)= 4、设两正态总体X~N(1,o2),Y~N(m2,2)的参数都为未知,它们相应的容量分 别为n,n2,的两相互独立样本的样本方差为Ss2,S2,则方差比马的以1-a为置信度 的置信区间为 5、设两正态总体X~N(H1,O1),Y~N(2,O2)的参数都为未知,现分别从两正态总

1 概率论与数理统计综合练习 2004.10（仅供内部交流） N（0，1）分布表，t 分布表略，请大家练习时参看课本。根据自己的实际情况选择做题。 一、是非题（对或错） 1、掷两枚匀质硬币，都出现正面的概率是 1/2 2、 若 P(A)>0，则事件 A、B 相互独立与 A、B 互不相容不能同时成立 3、 若随机变量 X 的方差存在，则恒有 2 2 E(X )  [E(X)] 4、 设随机变量 X、Y 的方差存在，则 X、Y 相互独立的充要条件是 D（X+Y）=D（X）+ D（Y） 二、填空题 （1）已知 P(A)=0.3, P(B)=0.4, P(B|A)=0.2, 则 P(A  B) = （2）设有 10 件产品，其中 3 件次品，现任取 2 件，则其中恰有 1 件次品的概率= ; 其中至少有 1 件次品的概率= . （3） 设有 8 人，每人等可能地被分配到 N 个房间中的任意一间去住（N>=8），则在指 定的 8 个房间中各有一人住的概率= ；恰好有 8 个房间，其中各住一人的概率 = . （4）进行重复独立试验，每次试验中 P(A)=0.12, X 表示在 10 次试验中 A 发生次数，则 P(X=k)= ; Y 表示直到 A 首次发生为止的试验次数，则 P(Y=k)= . （5）设总体 ~ ( , ) 2 X N   ，样本 X X Xn , ,..., 1 2 ， 设 = = n i Xi n X 1 1 ， = − − = n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 ，则 X ~ ； ( ) ~ 1 1 2 2 = − n i Xi   ； ( ) = 2 E S ； ( ) = 2 D S 。 （6）设总体 X 在（0， ）内均匀分布，   0 为未知参数，已知样本均值 x =1.24 ，则  的矩估计值  ˆ = 。 1、将 n 个球随机地放入 N (N  n) 个盒子中去，每个盒子至多有一只球的概率是 2、设随机变量 X 的分布律为 X -2 -1 0 1 3 pk 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 则 2 Y = X 的分律为 3、若随机变量 X、Y 相互独立，且 D(X)=36, D(Y)=25, 则 D(X-Y)= 4、设两正态总体 ~ ( , ) 2 X N  1  1 ， ~ ( , ) 2 Y N  2  2 的参数都为未知，它们相应的容量分 别为 1 2 n ,n 的两相互独立样本的样本方差为 2 2 2 1 S , S ，则方差比 2 2 2 1   的以 1− 为置信度 的置信区间为 5、设两正态总体 ~ ( , ) 2 X N  1  1 ， ~ ( , ) 2 Y N  2  2 的参数都为未知，现分别从两正态总

体中抽得容量分别为n,n2的两相互独立样本,若要检验假设 H0:1={2;H1:≠H2,应先根据自由度为 的分布检 验 :再根据自由度为 的分布检验 三、一大批产品的优质率是30%,每次任取一件,用Ⅹ表示首次取到优质品时已经取得的 非优质品件数,试求出X的分布律和数学期望。 四、(1)已知P(A=1/4,P(B|A)=12,P(AB=1/3,试求P(AUB); (2)试证:若事件A、B相互独立,则事件A与B也相互独立。 五 (1)叙述全概率公式的条件与结论,并证明之 (2)某电子元件损坏概率与电源电压有关。当电源电压低于200V时,元件损坏概率为0.10 当电源电压为200~240时,元件损坏概率为0001:当电源电压高于240V时,元件损 坏概率为020。设电源电压X~N(220,252)。求电子元件损坏的概率a;电子元件 损坏时,电源电压为200-240V的概率B。 六、有三个箱子各装有一些红、白球。第一个箱子装有3只红球7只白球,第二个箱子装有 4只红球6只白球,第三个箱子装有5只红球5只白球,现用掷骰子来决定从哪个箱子里取 出1只球,若出1点,则从第一个箱子里取出1只球,若出6点,则从第三个箱子里取出1 只球,若出的是其他点,则从第二个箱子里取出1只球 1.试求取出的是1只红球的概率 2.已知取出的是1只红球,求这只红球是来自第三个箱子的概率 七、设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种零件,产量各占全部零件的45%,35%20%, 各车间的次品率依次为004,0.02,0.05,现从混合零件中任取一个 1、求该零件为次品的概率 1、若该零件为奖品,求它是由甲车间生产的概率。 、某商店某天开门后共有十箱牛奶供出售,已知其中有三箱牛奶已变酸,若你去购买第六 箱牛奶(已售出五箱牛奶), 1、求你碰巧买到已变酸牛奶的概率; 2、若已知你买到的是一箱已变酸的牛奶,求已售出的五箱牛奶中恰好有两箱是已变酸牛奶 的概率 九、设顾客在银行窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为 ∫(x) 0 x≤0 某顾客在银行窗口等待服务,若超过5分钟他就离开。他一个月要到银行4次,以Y表示 一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试求出Y的均值和P{y≥1} 十、机床加工某种轴的长度服从正态分布N(10,0.01,如果轴的长度在10±0.2范围内为合 格品(单位:厘米),今加工四根轴,求恰有三根是合格品的概率。(精确到小数点后面三位)

2 体 中 抽 得 容 量 分 别 为 1 2 n ,n 的 两 相 互 独 立 样 本 ， 若 要 检 验 假 设 0 1 2 1 1 2 H :  =  ;H :    , 应先根据 自由度 为 的 分布检 验 ；再根据自由度为 的 分布检验 。 三、一大批产品的优质率是 30%，每次任取一件，用 X 表示首次取到优质品时已经取得的 非优质品件数，试求出 X 的分布律和数学期望。 四、（1）已知 P(A)=1/4, P(B|A)=1/2, P(A|B)=1/3, 试求 P（A∪B）； （2）试证：若事件 A、B 相互独立，则事件 A 与 B 也相互独立。 五、 （1）叙述全概率公式的条件与结论，并证明之。 （2）某电子元件损坏概率与电源电压有关。当电源电压低于 200V 时，元件损坏概率为 0.10； 当电源电压为 200~240 时，元件损坏概率为 0.001；当电源电压高于 240V 时，元件损 坏概率为 0.20。设电源电压 ~ (220,25 ) 2 X N 。求电子元件损坏的概率  ；电子元件 损坏时，电源电压为 200~240V 的概率  。 六、有三个箱子各装有一些红、白球。第一个箱子装有 3 只红球 7 只白球，第二个箱子装有 4 只红球 6 只白球，第三个箱子装有 5 只红球 5 只白球，现用掷骰子来决定从哪个箱子里取 出 1 只球，若出 1 点，则从第一个箱子里取出 1 只球，若出 6 点，则从第三个箱子里取出 1 只球，若出的是其他点，则从第二个箱子里取出 1 只球。 1. 试求取出的是 1 只红球的概率； 2. 已知取出的是 1 只红球，求这只红球是来自第三个箱子的概率。 七、设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种零件，产量各占全部零件的 45%,35%,20%， 各车间的次品率依次为 0.04, 0.02, 0.05，现从混合零件中任取一个 1、求该零件为次品的概率 1、若该零件为奖品，求它是由甲车间生产的概率。 八、某商店某天开门后共有十箱牛奶供出售，已知其中有三箱牛奶已变酸，若你去购买第六 箱牛奶（已售出五箱牛奶）， 1、求你碰巧买到已变酸牛奶的概率； 2、若已知你买到的是一箱已变酸的牛奶，求已售出的五箱牛奶中恰好有两箱是已变酸牛奶 的概率。 九、设顾客在银行窗口等待服务的时间 X（以分计）服从指数分布，其概率密度为       = − 0, 0 , 0 5 1 ( ) / 5 x e x f x x 某顾客在银行窗口等待服务，若超过 5 分钟他就离开。他一个月要到银行 4 次，以 Y 表示 一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试求出 Y 的均值和 P{Y  1} 十、机床加工某种轴的长度服从正态分布 N(10, 0.01)，如果轴的长度在 10  0.2 范围内为合 格品（单位：厘米），今加工四根轴，求恰有三根是合格品的概率。（精确到小数点后面三位）

设X的密度函数为 x,0≤x<1; f(x)=2-x,1≤x<2 0,其它 求:(1)X的分布函数F(x) (2)E(X)与D(X) (3)Y=2X+3的密度函数f(y) 十二、设随机变量X的密度为 ax,0≤x<1 f(x)={2-x,1sx≤2 0. 求 1、常数a 概率P{<X 3、E(X),D(X) 4、X2的分布函数F(x) 十三、设随机变量X~N(,a2) 1、证明Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布 2、已知2=2,求使P{X≤-1}=0.05(请查表) 十四 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 0 0 验证X与Y不相关,亦不相互独立 十五、设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为 2 0.15 0.05 0.15 0.05 1、X、Y的边缘分布律 2、max(X,Y)的分布律

3 十一、 设 X 的密度函数为      −     = 0, 其它 2 , 1 2 , 0 1; ( ) x x x x f x ; 求：（1）X 的分布函数 F(x); (2) E(X)与 D(X) (3)Y=2X+3 的密度函数 f (y) Y 十二、设随机变量 X 的密度为      −     = else x x ax x f x 0, 2 , 1 2 , 0 1 ( ) 求 1、常数 a; 2、概率 } 2 3 2 1 P{  X  3、E(X),D(X) 4、 2 X 的分布函数 F(x) 十三、设随机变量 ~ ( , ) 2 X N   1、证明 Y=aX+b ( a  0 )也服从正态分布 2、已知 2 2  = ，求  使 P{X  −1} = 0.05 （请查表） 十 四、 设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 Y X -1 0 1 -1 5 1 0 5 1 1 5 1 5 1 5 1 验证 X 与 Y 不相关，亦不相互独立。 十五、设二维离散型随机变量（X，Y）的分布律为 Y X 0 1 2 -1 0.1 0.15 0.1 0 0.05 0 0.2 1 0.15 0.05 0.05 2 0 0.05 0.1 求： 1、X、Y 的边缘分布律 2、max(X,Y)的分布律

3、X+Y的分布律 4、X与Y是否独立 十六、已知二维随机变量(X,Y)在三角形区域D:0≤x≤y,0≤y≤1上服从均匀分 布 1写出X与Y的联合概率密度 2求出边缘密度fx(x) 3.求出Z=X+Y的概率密度 十七、已知二维随机变量(X,Y)在三角形区域 D:0≤x≤1-y,1≤y≤1 上服从均匀分布 1、写出X与Y的联合概率密度 2、求出边缘密度fx(x) 3、求出z=X+Y的概率痧度。 十八、设(X,Y)的联合密度函数为 A f(,y) 0≤x≤y 其它 求:(1)A值及P(X+Y<1) (2)边际密度函数fx(x)与f(y); (3)Z=X+Y的密度函数f2() 十九、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(xy)=JA0≤x≤105ysx 其它 求 1、常数A 2、关于Ⅹ及Y的边缘概率密度 3、Z=X+Y的概率密度 4、讨论X与Y的独立性并说明理由。 二十、设随机变量(X,Y)的概率密度为 ∫(x,j,kx,0<x<; else 求1、Z=XY的概率度 2、关于Ⅹ和关于Y的边缘概率密度;并指出X和Y是否相互独立,为什么? 二十一、把m个相同的球在意地放入M个相同的盒子中(设盒子足够大可装得下所有的 球),求有球的盒子数的均值

4 3、X+Y 的分布律 4、X 与 Y 是否独立 十六、已知二维随机变量（X，Y）在三角形区域 D：0  x  y; 0  y 1 上服从均匀分 布 1.写出 X 与 Y 的联合概率密度； 2.求出边缘密度 fX(x)； 3. 求出 Z=X+Y 的概率密度。 十七、已知二维随机变量（X，Y）在三角形区域 D: 0  x 1− y; 1 y 1 上服从均匀分布 1、写出 X 与 Y 的联合概率密度； 2、求出边缘密度 f (x) X 3、 求出 Z=X+Y 的概率密度。 十八、设（X，Y）的联合密度函数为      = − + 0, 其它 , 0 ; ( , ) ( ) Ae x y f x y x y 求：（1）A 值及 P（X+ Y<1）; (2) 边际密度函数 f (x) X 与 f (y) Y ； （3）Z=X+Y 的密度函数 f (z) Z 十九、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为        = 0, 其它 , 0 1, 0 ( , ) A x y x f x y 求 1、常数 A 2、关于 X 及 Y 的边缘概率密度 3、Z=X+Y 的概率密度 4、讨论 X 与 Y 的独立性并说明理由。 二十、设随机变量（X，Y）的概率密度为       = else y x x f x y 0, 1, | | ,0 1; ( , ) 求 1、Z=X+Y 的概率密度； 2、关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度；并指出 X 和 Y 是否相互独立，为什么？ 二十一、把 m 个相同的球任意地放入 M 个相同的盒子中（设盒子足够大，可装得下所有的 球），求有球的盒子数的均值

二十二、某郊外工厂用交通车在市内接送职工上、下班。某天下班后有20名职工上车返城 回家,交通车可在沿途9个车站停靠下人。若某站无人下车,则车不停。设途中没有人再上 车,且各人是否下车相互独立,求该天返城 1、交通车在某站不停的概率 2、交通车的平均停靠次数。 二十三、设有N件产品,其中有D件次品,从中不放回地任取n件,求 2、n件中所含次品数X的分布律 3、E(X) 二十四、设X、Y独立同正态分布N(,2),Z1=X+√2Y,Z2=X-√2Y,试求Z1和 Z2的相关系数 二十五、设样本X1,x2…,Xn来自泊松( Poisson)总体X~P()2>0为未知参数 (1)试用极大似然估计法求λ (2)讨论的极大似然估计量的无偏性 二十六、设X1,X2,Xn为来自某总体X的一个样本,其概率密度函数为 f(x,b)={0 0 其中a已知,0>0为未知参数 1、试求未知参数θ的矩估计量和极大似然估计量 2、讨论未知参数θ的极大似然估计量的无偏性,并说明理由 二+七设x1,2…,Xn为来自某总体X的一个样本,其概率密度函数为 f(r; u)= 其中为未知参数。 3、试求未知参数的矩估计量和极大似然估计量; 4、讨论矩估计量的无偏性,并说明理由。 二十八、设X~N(,a2),A,a2为未知参数,X1,X2,Xn是来自X的一个样本,分别 用矩估计法和极大似然估计法求H及2的估计量,并讨论a2的极大似然估计量的无偏性 二十九、设随机变量X在区间(0,)上服从均匀分布,其密度函数为 (x;0)={6 00) 0, else

5 二十二、某郊外工厂用交通车在市内接送职工上、下班。某天下班后有 20 名职工上车返城 回家，交通车可在沿途 9 个车站停靠下人。若某站无人下车，则车不停。设途中没有人再上 车，且各人是否下车相互独立，求该天返城 1、交通车在某站不停的概率； 2、交通车的平均停靠次数。 二十三、设有 N 件产品，其中有 D 件次品，从中不放回地任取 n 件，求 2、n 件中所含次品数 X 的分布律 3、E（X） 二十四、设 X、Y 独立同正态分布 N( , ), Z1 X 2Y,Z2 X 2Y 2   = + = − ，试求 Z1 和 Z2 的相关系数。 二十五、设样本 X X Xn , ,..., 1 2 来自泊松（Poisson）总体 X~ P(),  0 为未知参数。 （1）试用极大似然估计法求  （2）讨论的极大似然估计量的无偏性。 二十六、设 X X Xn , ,..., 1 2 为来自某总体 X 的一个样本，其概率密度函数为       = − − x a e x a f x x a 0, , 1 ( ; )    其中 a 已知，θ>0 为未知参数。 1、试求未知参数θ的矩估计量和极大似然估计量； 2、讨论未知参数θ的极大似然估计量的无偏性，并说明理由。 二十七、设 X X Xn , ,..., 1 2 为来自某总体 X 的一个样本，其概率密度函数为      = − −     x e x f x x 0, , ( ; ) ( ) 其中  为未知参数。 3、试求未知参数  的矩估计量和极大似然估计量； 4、讨论矩估计量的无偏性，并说明理由。 二十八、设 2 2 X ~ N(, ),, 为未知参数， X X Xn , ,..., 1 2 是来自 X 的一个样本，分别 用矩估计法和极大似然估计法求  及 2  的估计量，并讨论 2  的极大似然估计量的无偏性。 二十九、设随机变量 X 在区间 (0, ) 上服从均匀分布，其密度函数为 ( 0) 0, , 0 1 ( ; )        =      else x x

由此总体中抽出一容量为n的样本X1,X,Xn,求 1、6的极大似然估计 2、若61和62是参数6的两个独立无偏估计量,而且61的方差是62的方差的两倍,试找 出常数k1和k2使得k161+k22是6的无偏估计量,并且在所有这样的线性估计中方 差为最小。 三十、某水泥厂用自动包装机包装水泥。已知包装重量X~N(,a2),每包的额定重量为 50千克。某日开工后抽取9包,测得其重量分别是(单位:千克): 49.6549.3550.2550.5049.15498549.75510550.25 (1)试问该包装机工作是否正常?即提出假设,并在显著性水平a=0.05下按解题步骤作出 判断 (2)求的置信度为0.95的置信区间 注:以上计算精确到有效数字四位。 三十一、某车间用包装机包装糖果每包糖果的额定重量是0kg,包装重量X~N(A,a2), 某日开工后抽取9包,测得其重量分别是(单位:千克) 0.5060.5180.4970.5110.4980.5240.5200.515512 (1)提出假设,推断这天包装机工作是否正常?(2=0.0152,显著性水平a=005) (2)若σ2未知,求出的置信度为095的置信区间。 三十二、一水果店为了要提前贮备某种秋季出售的应时商品,已知该商品每出售一千克获利 润a元,如到秋季末尚有剩余商品未能售完,则每千克将亏损b元。设在任一秋季内,该商 品的总销售量为X千克,它的分布密度为 x>0 f(x)= x≤0 1、如贮备t千克,该商品的利润为T(X,t),试建立T(X,t)的表达式 2、为使该商品利润最大(即利润的期望值最大),应贮备多少千克? 三十四、设X=m1(-1)5,其中随机变量服从参数为>0的油料分布,在(,3)内 嚴从均匀分布。已知5与1相互抛立,試求X的期望和方差

6 由此总体中抽出一容量为 n 的样本 X X Xn , ,..., 1 2 ，求： １、  的极大似然估计 ２、若 1 ˆ  和 2 ˆ  是参数  的两个独立无偏估计量，而且 1 ˆ  的方差是 2 ˆ  的方差的两倍，试找 出常数 k1 和 k2 使得 1 1 2 2 ˆ ˆ k  + k  是  的无偏估计量，并且在所有这样的线性估计中方 差为最小。 三十、某水泥厂用自动包装机包装水泥。已知包装重量 ~ ( , ) 2 X N   ，每包的额定重量为 50 千克。某日开工后抽取 9 包，测得其重量分别是（单位：千克）： 49.65 49.35 50.25 50.50 49.15 49.85 49.75 51.05 50.25 (1)试问该包装机工作是否正常？即提出假设，并在显著性水平  = 0.05 下按解题步骤作出 判断； (2)求  的置信度为 0.95 的置信区间。 注：以上计算精确到有效数字四位。 三十一、某车间用包装机包装糖果，每包糖果的额定重量是 0.5kg, 包装重量 ~ ( , ) 2 X N   ， 某日开工后抽取 9 包，测得其重量分别是（单位：千克）： 0.506 0.518 0.497 0.511 0.498 0.524 0.520 0.515 0.512 (1)提出假设，推断这天包装机工作是否正常？（ 2 2  = 0.015 ，显著性水平  = 0.05 ）； (2)若 2  未知，求出  的置信度为 0.95 的置信区间。 三十二、一水果店为了要提前贮备某种秋季出售的应时商品，已知该商品每出售一千克获利 润 a 元，如到秋季末尚有剩余商品未能售完，则每千克将亏损 b 元。设在任一秋季内，该商 品的总销售量为Ｘ千克，它的分布密度为      = − 0, 0 , 0 ( ) x e x f x x １、如贮备 t 千克，该商品的利润为Ｔ（Ｘ，t），试建立 T(X, t) 的表达式; ２、为使该商品利润最大（即利润的期望值最大），应贮备多少千克？ 三十四、设  X =(−1) ，其中随机变量  服从参数为   0 的泊松分布，  在（0，3）内 服从均匀分布。已知  与  相互独立，试求 X 的期望和方差