幾何三十載 丘成桐 香港中文大學 數學科學研究所
幾何三十載 丘成桐 香港中文大學 數學科學研究所
●●●●● ●●●● ●●0 ●●● ●●●● 個質點在空間的移動’可以由映射x:[O,一>R?3 來描。它的速度向量是,它的動能是 T E(x) 0 給定空間中兩點p和q’我們考慮所有連接p和q的質點 路徑’其中動能最小的路徑就是連結p和q的直線
2 一個質點在空間的移動，可以由映射 x : [0,T] → R 3 來描述。它的速度向量是 ，它的動能是 。 給定空間中兩點 p 和 q ，我們考慮所有連接 p 和 q 的質點 路徑，其中動能最小的路徑就是連結 p 和 q 的直線。 = T dt dx E x 0 2 2 1 ( ) dt dx
●●●●● ●●●● ●●0 ●●● ●●●● 假如量度速度向量時不用歐氏度量’而是用隨點變動的內積 <>x’我們還是可以定義動能 E(x)=feidt 在空間每一點都可以變動的內積’即是說給岀了黎曼度量 可以寓作一個張量∑8(x) dx' dx! 而上逑的動能可以寫成 d x' dx E(x) 2 研究這種內積的幾何學叫做黎曼幾何’它推廣了歐氏幾何 雙曲幾何和橢圓幾何
3 假如量度速度向量時不用歐氏度量，而是用隨點變動的內積 x ，我們還是可以定義動能 。 在空間每一點都可以變動的內積，即是說給出了黎曼度量， 可以寫作一個張量 。 而上述的動能可以寫成 。 研究這種內積的幾何學叫做黎曼幾何，它推廣了歐氏幾何、 雙曲幾何和橢圓幾何。 E x dt T dt dx = 0 2 2 1 ( ) i j i j ij g (x) dx dx , d t d t d x d t d x E x g T i j = i j 0 2 1 ( )
●●●●● ●●●● ●●0 ●●● ●●●● 在一般的黎曼幾何裏’兩點p和q之問可以有超過一條的路徑使得E(x) 是極短的 事實上這些路徑一定是測地線’從球上的北極到南極有無窮多條測地線 一般來說’很多測地線不是p和q間最短的線’它們只是局部最短的 即是說在圓,门的任意一個小的線段上是極短的。 在給定p和q時’我們考慮一個包括所有曲線的空間 這個空問的国的是到Q)地里的 Morse index 指標來決定( Morse指標其實是縮短測地線長度的所有方向的維數)’由 ψnq的拓樸可以推導空間本身的拓樸’這是Bot在古典群上的工作
4 在一般的黎曼幾何裏，兩點 p 和 q 之間可以有超過一條的路徑使得 E(x) 是極短的。 事實上這些路徑一定是測地線，從球上的北極到南極有無窮多條測地線。 一般來說，很多測地線不是 p 和 q 間最短的線，它們只是局部最短的， 即是說在[0,T]的任意一個小的線段上是極短的。 在給定p 和 q 時，我們考慮一個包括所有曲線的空間： 這個空間的拓樸性質可以由所有的從 p 到 q 的測地線和其上的Morse index 指標來決定（Morse 指標其實是縮短測地線長度的所有方向的維數），由 p,q 的拓樸可以推導空間本身的拓樸，這是Bott在古典群上的工作。 p,q = x :0,1→ M, x(0) = p, x(1) = q
●●●●● ●●●● ●●0 ●●● ●●●● 在上逑的討論裏’假如存在勢能(φ potential)V:M→>R則能量 可以定義為 E(x)=2+(x) 我們也可以類似的討論 我們也可以讓p=q’並且不固定P的選取’這時可以得到所 有從圓到M上的所有映射的空間,這個空間叫做Ω(M。 在研究粒子在固定空問M的量子化時’我們考慮 Feyman積分 exp(一E(x) xEQ2(M)
5 在上述的討論裏，假如存在勢能(potential) V : M → R 則能量 可以定義為 。 我們也可以類似的討論。 我們也可以讓 p = q ，並且不固定 p 的選取，這時可以得到所 有從圓到 M 上的所有映射的空間，這個空間叫做 (M) 。 在研究粒子在固定空間 M 的量子化時，我們考慮Feyman 積分 E x dt V x dt T T d t d x = + 0 0 2 ( ) 2 1 ( ) − ( ) exp( ( )) x M E x
●●●●● ●●●● ●●0 ●●● ●●●● 由於每一條曲線可以用測地線組成的多邊形逼近,上遽在 2(M)的積分可以用 Gauss積分的方法得出它的值,它與 Laplace算 子的行列式有關。在Rn, Laplace算子的定義是 △ 這個算子可以推廣到一般黎曼流形上 它是幾何丶拓樸和數學物理的一個重要橋樑。 在非線性方程的硏究中’我們計算線性仳算子。往往發現它是 某種幾何的 Laplace算子’因此非線性方程與幾何學有密切關係
6 由於每一條曲線可以用測地線組成的多邊形逼近，上述在 (M) 的積分可以用 Gauss 積分的方法得出它的值，它與 Laplace 算 子的行列式有關。在R n ， Laplace 算子的定義是 這個算子可以推廣到一般黎曼流形上。 它是幾何、拓樸和數學物理的一個重要橋樑。 在非線性方程的研究中，我們計算線性化算子。往往發現它是 某種幾何的 Laplace 算子，因此非線性方程與幾何學有密切關係。 2 2 2 2 2 2 1 2 n x x x + + + =
●●●●● ●●●● ●●0 ●●● ●●●● Laplace算子的譜在近代幾何起着極重要的作用。它們的乘積 通過重整化後就是 Laplacian的行列式。現在來看 Laplace算子的古 典的處理方法。 我們來看一维空間的情形 f(x+y)-f(x)=yf(x)+ f(x-y)-f(x)=yf(x)+ f(x)y 2 所以(x+y)+(x=y)-f(x)=()+广( 2 2 其中x≤x≤x+y,x-y≤x≤x,當y很小時,可以看作∫的平均 值减∫的值得出來的算子
7 Laplace 算子的譜在近代幾何起着極重要的作用。它們的乘積， 通過重整化後就是 Laplacian 的行列式。現在來看 Laplace 算子的古 典的處理方法。 我們來看一維空間的情形 所以 其中 ，當 y 很小時，f 可以看作 f 的平均 值減 f 的值得出來的算子。 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x y f x y f x y f x + − = + 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x y f x y f x y f x − − = − + 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 f x f x y f x f x y f x y + − = + + − x x x + y , x− y x x
●●●●● ●●●● ●●0 ●●● ●●●● 般來說’ Laplace算子可以看作將函數不斷採取平均值 的一個算子。 個古典問題 在一個領域Ω的邊界上給定一個函數∫’我們希芏將∫延 拓到9裹,使得E()=∫Ⅳ極小’這叫 Dirichlet邊值問題 這樣得到的∫叫調和函數’它滿足Δ∫=0
8 一般來說， Laplace 算子可以看作將函數不斷採取平均值 的一個算子。 一個古典問題： 在一個領域 的邊界上給定一個函數 f ，我們希望將 f 延 拓到 裏，使得 極小，這叫 Dirichlet 邊值問題， 這樣得到的 f 叫調和函數，它滿足 f = 0 。 2 2 1 ( ) E f = f
●●●●● ●●●● ●●0 ●●● ●●●● 個構造調和函數的方法為 Perron方法,就是不斷的取函數的局部平 均值’直至它變為調和函數為止 以後發現一個更好的辨法是解熱方程∶ 我們仼意延拓∫到領域Ω中’使得我們有給定的在邊界上的值’然後 解以下的熱方程 「oh △h t≥0 dt h=f t=0 h= f on as2 for all t≥0 此處Δ為 Laplace算子。 這方程描逑在時間為零時’熱的分佈由∫給出’而到t>0’則由上逑 方程的解給出
9 一個構造調和函數的方法為Perron 方法，就是不斷的取函數的局部平 均值，直至它變為調和函數為止。 以後發現一個更好的辦法是解熱方程： 我們任意延拓f 到領域 中，使得我們有給定的在邊界上的值，然後 解以下的熱方程 此處 為 Laplace 算子。 這方程描述在時間為零時，熱的分佈由f 給出，而到t > 0 ，則由上述 方程的解給出。 = = = = o n for all 0 0 0 h f t h f t h t t h
●●●●● ●●●● ●●0 ●●● ●●●● 當時間趨於無窮時’此問題的解會趨向於一個調和函數’ 並且保持∫的邊值’因而解決了 Dirichlet邊值問題。 這個熱方程方法在廿世紀下半葉的微分幾何中佔了很重要 的地位,它給出一個方法將外微分形式漸變為調和形式’因而 給出 Hodge理論一個簡單的證明。 這個證明也可以應用於 Atiyah- Singer指標定理的局部證明 Δ tiyah和 Singer研究一階橢圓線性微分算子D的解空間的維數 這個算子有對偶算子D*,我們也可考慮它的解空間的維數 兩個維數的差叫做算子D的指標
10 當時間趨於無窮時，此問題的解會趨向於一個調和函數， 並且保持 f 的邊值，因而解決了 Dirichlet 邊值問題。 這個熱方程方法在廿世紀下半葉的微分幾何中佔了很重要 的地位，它給出一個方法將外微分形式漸變為調和形式，因而 給出 Hodge 理論一個簡單的證明。 這個證明也可以應用於 Atiyah-Singer 指標定理的局部證明。 Atiyah 和 Singer 研究一階橢圓線性微分算子 D 的解空間的維數。 這個算子有對偶算子 D* ，我們也可考慮它的解空間的維數， 兩個維數的差叫做算子 D 的指標
