《线性代数智能CAI》电子教案：线性方程组的解

线性代数智能电子教案 第三节线性方程组的解 利用系数矩阵A和增广矩阵B的秩可方便地 讨论线性方程组Ax=b的解,其结论是: a b 定理2n元齐次线性方程组Amnx=0有 非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(4)<n heIp

线 性 代 数 智 能 电 子 教 案 第 三 节 线性方程组的解 利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩,可方便地 讨论线性方程组 Ax = b 的解, 其结论是: 定理 2 n 元齐次线性方程组 Amn x = 0 有 非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n

线性代数智能电子教 证先证必要性设方程组Ax=0有非零解, 数要证R(4)<n用反证法,设R(4)=n则在A中应 能有一个n阶非零子式Dn从而Dn所对应的n个 方程只有零解,这与原方程组有非零解相矛盾,故 案R(4)<n a b 再证充分性设R(4)=r<n,则A的行阶梯形 矩阵只含r个非零行,从而知其有n-r个自由未 知量.任取一个自由未知量为1,其余自由未知量 國国为0,即可得方程组的一个非零解 证毕 heIp

线 性 代 数 智 能 电 子 教 案 证 先证必要性. 设方程组 Ax = 0 有非零解, 要证 R(A) < n. 用反证法, 设 R(A) =n ,则在 A 中应 有一个 n 阶非零子式 Dn , 从而 Dn 所对应的 n 个 方程只有零解, 这与原方程组有非零解相矛盾, 故 R(A) < n. 再证充分性.设 R(A) = r < n,则 A 的行阶梯形 矩阵只含 r 个非零行, 从而知其有 n - r 个自由未 知量. 任取一个自由未知量为 1 , 其余自由未知量 为 0, 即可得方程组的一个非零解. 证毕

线性代数智能电子教 定理3n元非齐次线性方程组Amnx=b 有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广 矩阵B=(4,b)的秩 证先证必要性设方程组Ax=b有解要 案证R(4)=R(B)用反证法设R(4)<R(B,则B的 a行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0 1,这与方程组有解相矛盾因此R(4)=R(B) heIp

线 性 代 数 智 能 电 子 教 案 定理 3 n 元非齐次线性方程组 Amn x = b 有解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广 矩阵B = (A , b) 的秩. 证 先证必要性. 设方程组 Ax = b 有解,要 证R(A) = R(B). 用反证法, 设 R(A) < R(B), 则 B 的 行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程 0 = 1, 这与方程组有解相矛盾. 因此 R(A) = R(B)

线性代 再证充分性,设R(4)=R(B),要证方程组有解 警』把B化为行阶梯形矩阵,设R=R(B)=r(rsm 暱则B的行阶梯形矩阵中含r个非零行把这r行的 教第一个非零元所对应的未知量作为非自由量其余 案 n-r个作为自由未知量,并令n-r个自由未知量 a b 全取0,即可得方程组的一个解 证毕 heIp

线 性 代 数 智 能 电 子 教 案 再证充分性, 设 R(A) = R(B), 要证方程组有解. 把 B 化为行阶梯形矩阵, 设 R(A) = R(B) = r (r  n), 则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行, 把这 r 行的 第一个非零元所对应的未知量作为非自由量, 其余 n - r 个作为自由未知量, 并令 n - r 个自由未知量 全取 0 , 即可得方程组的一个解. 证毕

线 性 当R(4)=R(B)=n时,方程组没有自由未知 代 数量,只有唯一解当R(4)=R(B)=r<n时方程组 智 能有nr个自由未知量,令它们分别等于a1,2 ···9 子cn,可得含n-r个参数c1,c2,,Cn的解,这些 案参数可任意取值,因此这时方程组有无限多个解 a并且这个含mr个参数的解可表示方程组的任 解,因此这个解称为线性方程组的通解 heIp

线 性 代 数 智 能 电 子 教 案 当 R(A) = R(B) = n 时, 方程组没有自由未知 量, 只有唯一解. 当 R(A) = R(B) = r < n 时, 方程组 有 n-r 个自由未知量, 令它们分别等于 c1 , c2 , ... , cn-r , 可得含 n - r 个参数 c1 , c2 , ... , cn-r 的解, 这些 参数可任意取值, 因此这时方程组有无限多个解. 并且这个含 n-r 个参数的解可表示方程组的任一 解, 因此这个解称为线性方程组的通解

对于齐次线性方程组,只需把它的系数矩阵化 线性代数智能电子教 成行最简形矩阵,便能写出它的通解.对于非齐次 线性方程组,只需把它的增广矩阵化成行阶梯形 矩阵,便能根据定理3判断它是否有解;在有解时, 案把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵,便能写出 a可它的通解,为了使同学们能熟练掌握这种解法,下 J面再举几例 单击这里开始」 heIp

线 性 代 数 智 能 电 子 教 案 对于齐次线性方程组, 只需把它的系数矩阵化 成行最简形矩阵, 便能写出它的通解. 对于非齐次 线性方程组, 只需把它的增广矩阵化成行阶梯形 矩阵,便能根据定理 3 判断它是否有解; 在有解时, 把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵, 便能写出 它的通解, 为了使同学们能熟练掌握这种解法, 下 面再举几例. 单 击 这 里 开 始

线例1用矩阵的初等行变换求解方程组 性 代数智能电子教案 2x 1-x2+3x =0 x1+3x1+2x2=0 3x1-5x,+4x2=0 x1+17x2+4x3=0 a b 单击这里开始 所以方程组解的情况为 有非零解:Yes无非零解:NO heIp

线 性 代 数 智 能 电 子 教 案 单击这里开始 例 1 用矩阵的初等行变换求解方程组        + + = − + = + + = − + = 17 4 0 3 5 4 0 3 2 0 2 3 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x x 所以方程组解的情况为: 有非零解: Yes 无非零解: No

线 性在有非零解时方程组的通解为 代数智能电子教案 X 0 x2|=k11+k20 0 a b (k1,k2为任意常数) heIp

线 性 代 数 智 能 电 子 教 案 ( , ) 0 0 0 7 1 11 1 2 1 2 3 2 1 k k 为任意常数 k k x x x           +           − =           在有非零解时方程组的通解为:

线」例2用矩阵的初等行变换求解方程组 代数智能电子教案 23x x +2 2 x2=1 +x,=4 2 +4x2-3x2=7 x1+2x2+x3=4 a b 单 击这里开始 所以方程组解的情况为: 有解:No 无解:YeS heIp

线 性 代 数 智 能 电 子 教 案 例 2 用矩阵的初等行变换求解方程组        + + = + − = − + = + − = 2 4 4 3 7 3 2 4 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x x 所以方程组解的情况为: 有 解: No 无 解: Yes 单击这里开始

线性代数智能电子教案 在有解时方程组的通解为: 0 k11|+k20 0 a b (k12k2为任意常数) heIp

线 性 代 数 智 能 电 子 教 案 ( , ) 0 0 0 7 1 11 1 2 1 2 3 2 1 k k 为任意常数 k k x x x           +           − =           在有解时方程组的通解为: