运筹学作业题集 No.1线性规划 1、某织带厂生产A、B两种纱线和C、D两种纱带,纱带由专门纱线加工而成。 这四种产品的产值、成本、加工工时等资料列表如下 产品 B 项目 单位产值(元) 168 140 1050 406 单位成本(元) 42 单位纺纱用时(h) 单位织带用时(h) 工厂有供纺纱的总工时7200h,织带的总工时1200h。 (1)列出线性规划模型,以便确定产品的数量使总利润最大 (2)如果组织这次生产具有一次性的投入20万元,模型有什么变化?对模型的 解是否有影响?(所谓一次性投入就是与产量无关的初始投资) 、将下列线性规划化为极大化的标准形式 inf(x)=2x1+3x2+5 0,x3±不限 3、用单纯形法解下面的线性规划 max f(x)=2x,+5x2+3x ≤610 SI -2x1+x2+0.5x3≤420 ≥0, N.,2两阶段法和大M法 1、用两阶段法解下面问题:2、用大M法解下面问题,并讨论问题的解。 min f(x)=4x,+6x2 max 10x1+15x2+12x3 9 S st ≥0 2x1+x2+x3≥5 ≥0
运 筹 学 作 业 题 集 1 No.1 线性规划 1、某织带厂生产 A、B 两种纱线和 C、D 两种纱带，纱带由专门纱线加工而成。 这四种产品的产值、成本、加工工时等资料列表如下： 产品 项目 A B C D 单位产值 (元) 168 140 1050 406 单位成本 (元) 42 28 350 140 单位纺纱用时 (h) 3 2 10 4 单位织带用时 (h) 0 0 2 0.5 工厂有供纺纱的总工时 7200h，织带的总工时 1200h。 (1) 列出线性规划模型，以便确定产品的数量使总利润最大； (2) 如果组织这次生产具有一次性的投入 20 万元，模型有什么变化？对模型的 解是否有影响？（所谓一次性投入就是与产量无关的初始投资） 2、将下列线性规划化为极大化的标准形式 3、用单纯形法解下面的线性规划 − + + − + + + − = + + , , 0, 2 0.5 420 6 3 125 3 2 610 . . max ( ) 2 5 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x x st f x x x x No.2 两阶段法和大 M 法 2、用大 M 法解下面问题，并讨论问题的解。 + + − + + + + = + + , , 0, 2 5 5 6 15 15 5 3 9 . . max ( ) 10 15 12 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x x s t f x x x x 1、用两阶段法解下面问题： + + = + , 0 3 75 2 80 . . min ( ) 4 6 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x s t f x x x − + − + − = + − − = + + 1 2 3 不限 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , 0, |19 7 5 | 13 6 7 9 16 5 . . min ( ) 2 3 5 x x x x x x x x x x x x st f x x x x
运筹学作业题集 No3线性规划的对偶问题 1、写出下列线性规划问题的对偶问题: maxf(x)=2x,+,-5>An< min f(x)=4x,-3x2+8x3 x1+x2-x3+x42 2≤x1≤6 (1) (2)s.t.{4≤x2≤14 x2+x3+x4=6 12≤x3≤-8 x1≤0,x2,x3≥0,x4±不限 2、写出下问题的对偶问题,解对偶问题,并证明原问题无可行解 maxf(x)=-4x1-3x2 ≤1 ≤-1 x1+2x,≤1 3、用对偶单纯形法求下面问题 mnf(x)=4x,+6x2 x1,x2≥0 No4线性规划的灵敏度分析 1、下表是一线性规划最优解的单纯形表 C1 21 21 030 x5 -1/3 11 原问题为max型,¤,为松驰变量,x6为剩余变量,回答下列问题 (1)资源1、2、3的边际值各是多少?(x4,x5是资源1、2的松驰变量,x6是资 源3的剩余变量) (2)求C1,C2和C3的灵敏度范围 (3)求A1b1,Abz的灵敏度范围
运 筹 学 作 业 题 集 2 No.3 线性规划的对偶问题 − − − = − + 12 8 4 14 2 6 . . min ( ) 4 3 8 3 2 1 1 2 3 x x x s t f x x x x 2、写出下问题的对偶问题，解对偶问题，并证明原问题无可行解 3、用对偶单纯形法求下面问题 + + = + , 0 3 75 2 80 . . min ( ) 4 6 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x s t f x x x No.4 线性规划的灵敏度分析 1、下表是一线性规划最优解的单纯形表 Cj → 21 9 4 0 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 21 x1 4 1 0 1/3 2/3 0 1/3 0 x5 2 0 0 −2/3 −4/3 1 1/3 9 x2 23 0 1 1/3 −1/3 0 −2/3 zj 21 9 10 11 0 1 cj − zj 0 0 −6 −11 0 −1 原问题为 max 型，x4，x5 为松驰变量，x6 为剩余变量，回答下列问题： (1)资源 1、2、3 的边际值各是多少？(x4，x5 是资源 1、2 的松驰变量，x6 是资 源 3 的剩余变量) (2)求 C1, C2 和 C3 的灵敏度范围； (3)求b1，b2 的灵敏度范围。 1、写出下列线性规划问题的对偶问题： (1) + + = + + − + = + − 1 2 3 4 不限 2 3 4 1 3 1 2 3 4 1 2 3 0, , 0, 6 2 4 5 . . max ( ) 2 3 5 x x x x x x x x x x x x x s t f x x x x (2) − + − − + = − − , 0, 2 1 1 1 . . max ( ) 4 3 1 2 1 2 2 1 2 1 2 x x x x x x x st f x x x
运筹学作业题集 No5运输问题 分别用西北角法、最低费用法和运费差额法,求下面运输问题(见表)的初始 可行解,并计算其目标函数。(可不写步骤) 2、以上题中最低费用法所得的解为初始基础可性解,用表上作业法(踏石法 求出最优解。(要求列出每一步的运费矩阵和基础可行解矩阵) 销地B1 B 产量 12 A 15 No.6指派问题 1、有4个工人。要指派他们分别完成4项工作。每人做各项工作所消耗的时间 (h)如下表,问如何分派工作,使总的消耗时间最少? D 3256 260 2、学生A、B、C、D的各门成绩如下表,现将此4名学生派去参加各门课的 单项竞赛。竞赛同时举行,每人只能参加一项。若以他们的成绩为选派依据, 应如何指派最有利? 数学 物理 化学 外语 C 280 882%
运 筹 学 作 业 题 集 3 No.5 运输问题 1、分别用西北角法、最低费用法和运费差额法，求下面运输问题(见表)的初始 可行解，并计算其目标函数。(可不写步骤) 2、以上题中最低费用法所得的解为初始基础可性解，用表上作业法（踏石法） 求出最优解。（要求列出每一步的运费矩阵和基础可行解矩阵） 销地 产地 B1 B2 B3 B4 B5 产量 A1 6 9 4 8 5 20 A2 10 6 12 8 7 30 A3 6 5 9 20 9 40 A4 2 13 6 14 3 60 销量 25 15 35 45 30 No.6 指派问题 1、有 4 个工人。要指派他们分别完成 4 项工作。每人做各项工作所消耗的时间 (h) 如下表，问如何分派工作，使总的消耗时间最少？ 消耗 工作 工人 A B C D 甲 3 3 5 3 乙 3 2 5 2 丙 1 5 1 6 丁 4 6 4 10 2、学生 A、B、C、D 的各门成绩如下表，现将此 4 名学生派去参加各门课的 单项竞赛。竞赛同时举行，每人只能参加一项。若以他们的成绩为选派依据， 应如何指派最有利？ 得分 课程 学生 数学 物理 化学 外语 A 89 92 68 81 B 87 88 65 78 C 95 90 85 72 D 75 78 89 96
运筹学作业题集 No7动态规划 某公司有9个推销员在全国三个不同市场里推销货物,这三个市场里推销员 人数与收益的关系如下表,做出各市场推销人员数的分配方案,使总收益最大。 4 5 110 4050 8293 4115125135 97109120131140150 2、设某工厂要在一台机器上生产两种产品,机器的总运转时间为5小时。生产 这两种产品的任何一件都需占用机器一小时。设两种产品的售价与产品产量成 线性关系,分别为(12-x)和(13-2x2)。这里x和x2分别为两种产品的产量。假 设两种产品的生产费用分别是4x1和3x2,问如何安排两种产品的生产量使该机 器在5小时内获利最大 No8最短路问题 1、求下图中η到所有点的最短路径及其长度。(要求最短路用双线在图中标出, 保留图中的标记值) 2、将右图看作无向图,写出边权 邻接矩阵,用Prim算法求最大生 成树,并画出该树图。 No9网络流问题 1、求下面网络s到t的最大流和最小截,从给定的可行流开始标号法。(要求每 得到一个可行流后,即每次增广之后,重新画一个图,标上增广后的可行流 再进行标号法) (44) 2∠4.4) (3.0) 地(0 (4.0)
运 筹 学 作 业 题 集 4 No.7 动态规划 1、某公司有 9 个推销员在全国三个不同市场里推销货物，这三个市场里推销员 人数与收益的关系如下表，做出各市场推销人员数的分配方案，使总收益最大。 推销员 市场 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 20 32 47 57 66 71 82 90 100 110 2 40 50 60 71 82 93 104 115 125 135 3 50 61 72 84 97 109 120 131 140 150 2、设某工厂要在一台机器上生产两种产品，机器的总运转时间为 5 小时。生产 这两种产品的任何一件都需占用机器一小时。设两种产品的售价与产品产量成 线性关系，分别为(12−x1)和(13−2x2)。这里 x1 和 x2 分别为两种产品的产量。假 设两种产品的生产费用分别是 4x1 和 3x2，问如何安排两种产品的生产量使该机 器在 5 小时内获利最大。 No.8 最短路问题 1、求下图中 v1 到所有点的最短路径及其长度。(要求最短路用双线在图中标出， 保留图中的标记值) 2、将右图看作无向图，写出边权 邻接矩阵，用 Prim 算法求最大生 成树，并画出该树图。 No.9 网络流问题 1、求下面网络 s 到 t 的最大流和最小截，从给定的可行流开始标号法。(要求每 得到一个可行流后，即每次增广之后，重新画一个图，标上增广后的可行流， 再进行标号法) s v 1 v3 v2 v 4 v 5 t (2,0) (8,4) (3,0) (4,0) (4,0) (4,4) (9,0) (3,0) (3,0) (6,0) (4,4) (10,0) v1 v2 v 3 v4 v 5 v 6 v 7 v 8 1 4 5 5 3 6 1 2 7 3 7 5 2 1
运筹学作业题集 No.10随机服务系统:输入过程 1、对一服务系统进行观察,总观察时间为1027分钟,到达系统的累计人数为 40人,顾客累计的排队等待时间为44.8分钟,顾客累计的服务时间为796 分钟,求 (1)系统中平均排队长度 (2)平均同时接受服务的人数 2、某选举站对甲、乙二人进行选举,选票中只能选其中一人才有效。假设投票 的人流服从泊松分布,投甲票的人的到达率为A1-4人/小时,投乙票的人的 到达率为A2=2人/小时:再假设所有投票人的票都是有效的,而选举结果的 统计是在一个与选民不见面的屋里与投票过程同时进行的。问选举开始后半 小时统计结果为: (1)甲得三票,乙得1票的概率 (2)总票数为5的概率; (3)甲得全票的概率 No.11随机服务系统:标准服务系统 1、某自动交换台有4条外线,打外线的呼叫强度为2次/分钟,为泊松流,平 均通话时长为2分钟。当4条外线全忙时,用户呼叫将遇忙音。假设用户 遇忙音后立即停止呼叫。问 (1)用户拨外线遇忙的概率为多大? (2)一小时内损失的话务量为多少? (3)外线的利用率为多少? (4)过负荷为100%时,外线的利用率为多少? 2、某车间机器发生故障为一泊松流,平均4台/小时。车间只有一名维修工, 平均7分钟处理一台故障。若为该维修工増加一特殊工具可使平均故障处 理时间降到5分钟,但这一特殊工具的使用费用为5元/分钟。机器故障停 工每台每分钟损失5元,问购置这台特殊工具是否合适? 3、有MMn:∞/∞/FIFO(先到先服务)系统,输入业务量为o,求 当n=1,2,3时的等待概率D,和平均逗留队长Ld的公式
运 筹 学 作 业 题 集 5 No.10 随机服务系统：输入过程 1、对一服务系统进行观察，总观察时间为 102.7 分钟，到达系统的累计人数为 40 人，顾客累计的排队等待时间为 44.8 分钟，顾客累计的服务时间为 79.6 分钟，求 (1) 系统中平均排队长度； (2)平均同时接受服务的人数。 2、某选举站对甲、乙二人进行选举，选票中只能选其中一人才有效。假设投票 的人流服从泊松分布，投甲票的人的到达率为1 =4 人/小时，投乙票的人的 到达率为2 =2 人/小时；再假设所有投票人的票都是有效的，而选举结果的 统计是在一个与选民不见面的屋里与投票过程同时进行的。问选举开始后半 小时统计结果为： (1)甲得三票，乙得 1 票的概率； (2)总票数为 5 的概率； (3)甲得全票的概率。 No.11 随机服务系统：标准服务系统 1、某自动交换台有 4 条外线，打外线的呼叫强度为 2 次/分钟，为泊松流，平 均通话时长为 2 分钟。当 4 条外线全忙时，用户呼叫将遇忙音。假设用户 遇忙音后立即停止呼叫。问 (1)用户拨外线遇忙的概率为多大？ (2)一小时内损失的话务量为多少？ (3)外线的利用率为多少？ (4)过负荷为 100%时，外线的利用率为多少？ 2、某车间机器发生故障为一泊松流，平均 4 台/小时。车间只有一名维修工， 平均 7 分钟处理一台故障。若为该维修工增加一特殊工具可使平均故障处 理时间降到 5 分钟，但这一特殊工具的使用费用为 5 元/分钟。机器故障停 工每台每分钟损失 5 元，问购置这台特殊工具是否合适？ 3、有 M/M/n：//FIFO(先到先服务)系统，输入业务量为，求： 当 n=1, 2 , 3 时的等待概率 D，和平均逗留队长 Ld 的公式
运筹学作业题集 No12存储论 1、某工厂每年需某种原料1000g,一次定购费为200元,定购量Q与单价k 的关系为 0≤Q k1=2元/k 500≤Q<100kg,k2=1.5元/kg 1000≤Q, k3=1.2元/kg 已知原料存储费也与Q有关 0≤Q<500kg g年 500≤Q<1000g,C32=1.5元/kg年 1000kg≤Q C3=1.2元/kg年 求最佳订货量Qm,并求该订货量下的全年总费用CQm)。 2、推导连续进货、允许缺货模型的最佳订货量Qo和最佳订货周期T0的公式
运 筹 学 作 业 题 集 6 No.12 存储论 1、某工厂每年需某种原料 1000kg，一次定购费为 200 元，定购量 Q 与单价 k 的关系为 0 Q < 500kg， k1 =2 元/kg 500 Q < 1000kg， k2 =1.5 元/kg 1000 Q, k3 =1.2 元/kg 已知原料存储费也与 Q 有关 0 Q < 500kg， Cs1 =2 元/kg.年 500 Q < 1000kg， Cs2 =1.5 元/kg.年 1000kg Q, Cs3 =1.2 元/kg.年 求最佳订货量 Qm，并求该订货量下的全年总费用 C(Qm)。 2、推导连续进货、允许缺货模型的最佳订货量 Q0 和最佳订货周期 T0 的公式
运筹学作业题集 录:爱尔兰损失表EnMA 0.01 0.005 0.010 0.053 0.111 0.250 0.429 0.105 0.153 0.381 0.595 000 1.449 234567 0.349 0.455 0.899 1.930 2.633 0.701 0.869 1.525 2.045 2.945 3.891 2.218 2.881 4.010 5.189 1.909 2.960 5.109 6.514 2.157 2.501 3.738 4.666 6.230 7.857 2.730 7369 9.213 3.333 3.783 5.370 6.546 8.522 10.579 3.961 4.461 6.216 7.511 9.685 11.953 4.610 5.160 7.076 8.487 10.857 13.333 7.950 9.474 12.036 14.719 5.964 8.835 10470 13.22216.109 14 6.663 7352 9.730 11473 14.41317503 15 7.376 8.108 10.633 12.484 15608 18.899 16 8.100 11.544 13.500 16.807 20.300 8.83 18.010 21.702 9.578 0.437 3.385 19.21623.105 10.331 230 14.315 16.5792042424.510 20 11.09212.03115.2491761321.63525917 l1.86012.838 18.651 22.848 1263513.65117.13219 24.06 3.416 18.080 14.204 19.031 21.784 14.997 6.125 15.795 16.959 20.943 23.88 16.598 17.797 21.904 24.939 30.164 17.406 8.640 22.867 31.388 18.218 32.614 19.03420.33724.80228.113 31 19.85421.191 25.773 29.174 35.067 20.678 22.048 26.74630.237 36.295 21.50522.90927.72131.3013 23.169 24.638 29.677 3343439.985 24.006 25.50730.65734.503 41.216 24.846 26.378 31.640 35.572 42.448 25.68927252326243664343.680 28.12933.60937.71544.913 27382 38.787 46.147
运 筹 学 作 业 题 集 7 附录：爱尔兰损失表 En(A) n B 0.005 0.01 0.05 0.1 0.2 0.3 1 0.005 0.010 0.053 0.111 0.250 0.429 2 0.105 0.153 0.381 0.595 1.000 1.449 3 0.349 0.455 0.899 1.271 1.930 2.633 4 0.701 0.869 1.525 2.045 2.945 3.891 5 1.132 1.361 2.218 2.881 4.010 5.189 6 1.622 1.909 2.960 3.758 5.109 6.514 7 2.157 2.501 3.738 4.666 6.230 7.857 8 2.730 3.128 4.543 5.597 7.369 9.213 9 3.333 3.783 5.370 6.546 8.522 10.579 10 3.961 4.461 6.216 7.511 9.685 11.953 11 4.610 5.160 7.076 8.487 10.857 13.333 12 5.279 5.876 7.950 9.474 12.036 14.719 13 5.964 6.607 8.835 10.470 13.222 16.109 14 6.663 7.352 9.730 11.473 14.413 17.503 15 7.376 8.108 10.633 12.484 15.608 18.899 16 8.100 8.875 11.544 13.500 16.807 20.300 17 8.834 9.652 12.461 14.522 18.010 21.702 18 9.578 10.437 13.385 15.548 19.216 23.105 19 10.331 11.230 14.315 16.579 20.424 24.510 20 11.092 12.031 15.249 17.613 21.635 25.917 21 11.860 12.838 16.189 18.651 22.848 22 12.635 13.651 17.132 19.692 24.064 23 13.416 14.470 18.080 20.737 25.281 24 14.204 15.295 19.031 21.784 26.499 25 14.997 16.125 19.985 22.833 27.720 26 15.795 16.959 20.943 23.885 28.941 27 16.598 17.797 21.904 24.939 30.164 28 17.406 18.640 22.867 25.995 31.388 29 18.218 19.487 23.833 27.053 32.614 30 19.034 20.337 24.802 28.113 33.840 31 19.854 21.191 25.773 29.174 35.067 32 20.678 22.048 26.746 30.237 36.295 33 21.505 22.909 27.721 31.301 37.524 34 22.336 23.772 28.698 32.367 38.754 35 23.169 24.638 29.677 33.434 39.985 36 24.006 25.507 30.657 34.503 41.216 37 24.846 26.378 31.640 35.572 42.448 38 25.689 27.252 32.624 36.643 43.680 39 26.534 28.129 33.609 37.715 44.913 40 27.382 29.007 34.596 38.787 46.147
运筹学作业题集 习题课1 1、某工厂生产用2单位A和1单位B混合而成的成品出售,市场无限制。A 和B可以在该工厂的3个车间中的任何车间生产,生产每单位的A和B在各车 间消耗的工时如下表 匚消耗工时 车间1 车间3 1.5 可用工时 100 120 试建立使成品数量最大的线性规划模型 2、某饮料工厂按照一定的配方将A、B、C三种原料配成三种饮料出售。配方 规定了这三种饮料中A和C的极限成分,具体见下表 饮料品种 规格 每升售价(元) 需求量 (1 A≥60%,C≤20% 6.80 A≥15%,C≤60% 5.70 丙(3) 4.50 无限伟 A、B、C三种原料每月的供应量和每升的价格如下表 供应量(升/月) 价格(元/升 2000 B 2500 5.00 4.00 饮料甲、乙、丙分别由不同比例的A、B、C调兑而成,设调兑后不同成分 的体积不变,求最大收益的生产方案。 3、将下列线性规划化为标准形式 minf(x)=5x,-3x,+2x x1+x2-x3≥-10 s1.3,6x1-3x2+7x3=15 0x1+12x2-x3K19 x1≥0,x2≤0,x3±不限 4、求上题的对偶规划
运 筹 学 作 业 题 集 8 习题课 1 1、某工厂生产用 2 单位 A 和 1 单位 B 混合而成的成品出售，市场无限制。A 和 B 可以在该工厂的 3 个车间中的任何车间生产，生产每单位的 A 和 B 在各车 间消耗的工时如下表。 消耗工时 车间 1 车间 2 车间 3 A 2 1 1.5 B 1 2 1.5 可用工时 100 120 100 试建立使成品数量最大的线性规划模型。 2、某饮料工厂按照一定的配方将 A、B、C 三种原料配成三种饮料出售。配方 规定了这三种饮料中 A 和 C 的极限成分，具体见下表， 饮料品种 规 格 每升售价(元) 需求量 甲 (1) A≥60％，C≤20％ 6.80 1500 乙 (2) A≥15％，C≤60％ 5.70 3000 丙 (3) C≤50％ 4.50 无限制 A、B、C 三种原料每月的供应量和每升的价格如下表。 供应量(升/月) 价格(元/升) A 2000 7.00 B 2500 5.00 C 1200 4.00 饮料甲、乙、丙分别由不同比例的 A、B、C 调兑而成，设调兑后不同成分 的体积不变，求最大收益的生产方案。 3、将下列线性规划化为标准形式 + − − + = + − − = − + 1 2 3 不限 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0, 0, |10 12 | 19 6 3 7 15 10 . . min ( ) 5 3 2 x x x x x x x x x x x x st f x x x x 4、求上题的对偶规划
运筹学作业题集 习题课2 1.用连续型动态规划求解下题 minf(x)=x,+x2+x3 st ∫x2x=27 x1,x2,x3≥0 2.求下面网络的中心和中位点(图中每条边上标的是两点间的距离)。 3.存货问题 (1)某小型超市洗发水日销售量为几何分布p=p(1-p),x=0,1,2,。缺货损失 费为每瓶1元,当日售不出去经计算损失0.1元,若p=0.5,问最佳日进货量为 多少? (2)某小型超市食用油日销售量为负指数分布,日均销售量统计值为100公斤, 当a=1,b=0.25,求最佳日进货量。 (3)若食用油日销售量为正态分布,均值为100,方差49,a,b同上,求最佳 日进货量。 标准正态分布表:2)=2x az 0.000.50000 0.828944 0.955434 0.691463 0.841345 0.964070 00.864334 0.971283 0.758036 0.884930 0.977250 0.750.773373 0.903200 0.987776 0.788145 0.919243 2.50 0.993790 0.850.802338 0.933193 2.75 0.997020 0.900.815940 1.60 0.945201 3.00 0.998650
运 筹 学 作 业 题 集 9 习题课 2 1．用连续型动态规划求解下题 = = + + , , 0 27 . . min ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x s t f x x x x 2．求下面网络的中心和中位点（图中每条边上标的是两点间的距离）。 3．存货问题 （1）某小型超市洗发水日销售量为几何分布 px=p(1–p) x , x=0,1,2,…。缺货损失 费为每瓶 1 元，当日售不出去经计算损失 0.1 元，若 p=0.5，问最佳日进货量为 多少？ （2）某小型超市食用油日销售量为负指数分布，日均销售量统计值为 100 公斤， 当 a=1, b=0.25，求最佳日进货量。 （3）若食用油日销售量为正态分布，均值为 100，方差 49，a, b 同上，求最佳 日进货量。 标准正态分布表： − − = Z z Z e dz 2 2 2 1 ( ) Z (Z) Z (Z) Z (Z) 0.00 0.500000 0.95 0.828944 1.70 0.955434 0.50 0.691463 1.00 0.841345 1.80 0.964070 0.60 0.725747 1.10 0.864334 1.90 0.971283 0.70 0.758036 1.20 0.884930 2.00 0.977250 0.75 0.773373 1.30 0.903200 2.25 0.987776 0.80 0.788145 1.40 0.919243 2.50 0.993790 0.85 0.802338 1.50 0.933193 2.75 0.997020 0.90 0.815940 1.60 0.945201 3.00 0.998650 1 2 4 6 3 5 5 4 5 5 8 3 7 6 2