运筹学案例 案例四:投资基金最佳使用计划研究 案例四:投资基金最佳使用计划 案例概述: 某校基金会有一笔数额为M元的基金,打算将其存入银行或购买国库券。 当前银行存款及各期国库券的利率见表1。假设国库券每年至少发行一次,发 行时间不定。取款政策与银行的现行政策相同,定期存款不提前取,活期存款 可任意支取。 校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生,要求每年的奖金额 大致相同,且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用 计划,以提髙每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方 案,并对M=5000万元,n=10年给出具体结果: 只存款不购国库券 可存款也可购国库券。 学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆,基金会希望这一年的 奖金比其它年度多20% 表 当前银行存款及各期国库券的利率 银行存款税后年利率(%) 国库券年利率(%) 0.792 半年期 1.664 年期 1.800 二年期 1.944 2.55 三年期 2.160 2.89 五年期 2.304 3.14 第1页共15页
运筹学案例 案例四：投资基金最佳使用计划研究 第 1 页 共 15 页 案例四：投资基金最佳使用计划 案例概述： 某校基金会有一笔数额为 M 元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。 当前银行存款及各期国库券的利率见表 1。假设国库券每年至少发行一次，发 行时间不定。取款政策与银行的现行政策相同，定期存款不提前取，活期存款 可任意支取。 校基金会计划在 n 年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额 大致相同，且在 n 年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用 计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方 案，并对 M=5000 万元，n=10 年给出具体结果： 1． 只存款不购国库券； 2． 可存款也可购国库券。 3． 学校在基金到位后的第 3 年要举行百年校庆，基金会希望这一年的 奖金比其它年度多 20%。 表 1 当前银行存款及各期国库券的利率 银行存款税后年利率（%） 国库券年利率（%） 活期 0.792 半年期 1.664 一年期 1.800 二年期 1.944 2.55 三年期 2.160 2.89 五年期 2.304 3.14
运筹学案例 案例四:投资基金最佳使用计划研究 案例求解: 这是一个有多种投资方案的优化投资问题。问题的要求是如何进行组合投资,使每年学校奖励优秀 师生的奖金尽可能多,且保证n年未仍保留原基金数额。因此,我们可以用线性规划来处理这个问题 模型假设 1、基金是在计划期第一年的1月1日到位,且n年内基金数额不再追加。我们把这一年作为问题讨论的 2、从第二年开始每年的1月1日发奖金一次。且第(n+1)年的1月1日发第n年的奖金(第一年年初 不发)。 3、基金的每种使用方式是相互独立的,定期存款和国库券不能提前支取。 4、在计划期的n年中存款利率和国库券利率不变。 5、银行存款及国库券不以复利来计算利息。 6、假设购买国库券只能在发行的当月购买,且发行当月的任何一天购买收益率相同,即在当月的第1 天和最后1天购买收益率一样。 7、国库券每次发行时是三种利率的国库券都发行。 三、变量说明 M表示基金的总额(单位:万元) y表示每年的奖励师生的奖金额单位:万元) 表示第i年对第j种存款方式的投资额(第j种存款方式表示j年期定期存款 单位:万元) p1表示i年期定期存款利率 Pb表示半年期定期存款利率 P表示活期存款利率 四、问题一:只存款不购国库券的的情况 1、问题分析 由于我们假设每年发奖金的时间在1月1日,第n+1年的1月1日发第n年的奖金,而半年期和活 期存款利率比较低,因此我们可以推断在此种情况下,半年期和活期存款投资方式不可能被采用,而只 能采用一年期、二年期、三年期和五年期存款投资方式。十年的投资情况如下表2所示。例如表中ⅹ1 表示第一年对一年期定期存款式的投资额,一年后其本利和为1018x1;x1表示第二年对二年期定期存 款的投资额,二年后其本利和为1.03888X12,其余类似 2、模型的建立 建立模型的原则是:每一年的可用于投资的资金为来自于前几年存入的到期存款本息和减去当年初 发放的奖金(第二年为第一年末能收回的本利和减去当年初发放的奖金,第三年为第二年末能收回的本 利和减去当年初发放的奖金,其余类似,而第一年的可用投资额为M万元)。每年的资金在发放完奖金 后又继续选择合适的几种存款方式投资 (1)考虑每年奖金额相等的情况 计划期为n年的一般模型: 第2页共15页
运筹学案例 案例四：投资基金最佳使用计划研究 第 2 页 共 15 页 案例求解： 这是一个有多种投资方案的优化投资问题。问题的要求是如何进行组合投资，使每年学校奖励优秀 师生的奖金尽可能多，且保证 n 年未仍保留原基金数额。因此，我们可以用线性规划来处理这个问题。 二、模型假设 1、 基金是在计划期第一年的 1 月 1 日到位，且 n 年内基金数额不再追加。我们把这一年作为问题讨论的 第一年。 2、 从第二年开始每年的 1 月 1 日发奖金一次。且第（n+1）年的 1 月 1 日发第 n 年的奖金（第一年年初 不发）。 3、 基金的每种使用方式是相互独立的，定期存款和国库券不能提前支取。 4、 在计划期的 n年中存款利率和国库券利率不变。 5、 银行存款及国库券不以复利来计算利息。 6、 假设购买国库券只能在发行的当月购买，且发行当月的任何一天购买收益率相同，即在当月的第 1 天和最后 1 天购买收益率一样。 7、 国库券每次发行时是三种利率的国库券都发行。 三、变量说明 M 表示基金的总额 （单位：万元） y 表示每年的奖励师生的奖金额 （单位：万元） x ij 表示第 i 年对第 j 种存款方式的投资额（第 j 种存款方式表示 j 年期定期存款， 单位：万元） pi 表示 i 年期定期存款利率 pb 表示半年期定期存款利率 ph 表示活期存款利率 四、问题一：只存款不购国库券的的情况 1、问题分析 由于我们假设每年发奖金的时间在 1 月 1 日，第 n+1 年的 1 月 1 日发第 n 年的奖金，而半年期和活 期存款利率比较低，因此我们可以推断在此种情况下，半年期和活期存款投资方式不可能被采用，而只 能采用一年期、二年期、三年期和五年期存款投资方式。十年的投资情况如下表 2 所示。例如表中 x11 表示第一年对一年期定期存款式的投资额，一年后其本利和为 1.018x11；x12 表示第二年对二年期定期存 款的投资额，二年后其本利和为 1.03888x12，其余类似。 2、模型的建立 建立模型的原则是：每一年的可用于投资的资金为来自于前几年存入的到期存款本息和减去当年初 发放的奖金（第二年为第一年末能收回的本利和减去当年初发放的奖金，第三年为第二年末能收回的本 利和减去当年初发放的奖金，其余类似，而第一年的可用投资额为 M 万元）。每年的资金在发放完奖金 后又继续选择合适的几种存款方式投资。 （1） 考虑每年奖金额相等的情况 计划期为 n 年的一般模型：
运筹学案例 案例四:投资基金最佳使用计划研究 nax J x1+x12+x13+x15=M x21+x2+x23+x23=(+p1)x1-y (+2p2)x2+(1+p1)x21-y x41+x2+x43+x5=(1+3p3)x1+(1+2p2)x2+(1+p1)x1-y (第四年的约束) x31+x2+x3+x5=(+3p)x2+(1+2p2)x2+(+p1)x1-y x+x2+x3+x5=(+5P5)-5+(+3p3)x-3+(+2P2)x(-2)2 (1+ xin-3n1+xn-3r2+xn-33=(1+5ps xim-815+(1+3p kn-613+(1+2p= )n-512+(1+ p,)Ixmn-4l-y m2+xm23=0+5pxm-5+(+3p)xms+(+2P2)xm2+(1+p1)x--y xnm+xm12=(+5p)xns+(+3p3)xm3+0+2p2)xan2+(+p1)xan2n-y xn=(+5p,)x-5+(1+3p:kxn=3+(+2p2)xm2+0+p1)xanm-y +5pskx(n-4)5+(+3p3x(m-23+(+2p2x(n-12+(+p1kn-y=M xn≥0i=1,23.nj=12,3,5y≥0n≥5 第3页共15页
运筹学案例 案例四：投资基金最佳使用计划研究 第 3 页 共 15 页 max y x11 + x12 + x13 + x15 = M x + x + x + x = ( ) + p x − y 21 22 23 25 1 1 11 x + x + x + x = ( )( ) + p x + + p x − y 31 32 33 35 1 2 2 12 1 1 21 x + x + x + x = ( )( ) + p x + + p x + ( + p )x − y 41 42 43 45 1 3 3 13 1 2 2 22 1 1 31 （ 第四年的约束 ） x + x + x + x = ( )( ) + p x + + p x + ( + p )x − y 51 52 53 55 1 3 3 23 1 2 2 32 1 1 41 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 5 5 5 5 3 3 3 2 ( ) 2 2 1 5 1 3 1 2 i + i + i + i = + i− + + i− + + i− x x x x p x p x p x ( ) 1 ( ) ...6 4 + + p1 x i−1 1 − y ≤ i ≤ n − ( ) ( ) ( ) ( 3)1 ( 3)2 ( 3)3 5 ( 8)5 3 ( 6)3 2 ( 5)2 1 5 1 3 1 2 n− + n− + n− = + n− + + n− + + n− x x x p x p x p x ( p ) x y + 1+ 1 1 (n−4)1 − ( ) ( ) ( ) ( 2)1 ( 2)2 ( 2)3 5 ( 7)5 3 ( 5)3 2 ( 4)2 1 5 1 3 1 2 n− + n− + n− = + n− + + n− + + n− x x x p x p x p x ( p )x y + 1+ 1 (n−3)1 − x x ( p )x ( p )x ( p )x ( p )x y (n−1)1 + (n−1)2 = 1+ 5 5 (n−6)5 + 1+ 3 3 (n−4)3 + 1+ 2 2 (n−3)2 + 1+ 1 (n−2)1 − x ( p )x ( p )x ( p )x ( p )x y n1 = 1+ 5 5 (n−5)5 + 1+ 3 3 (n−3)3 + 1+ 2 2 (n−2)2 + 1+ 1 (n−1)1 − () () ( ) 1+ 5p5 x(n−4)5 + 1+ 3p3 x(n−2)3 + 1+ 2p2 x(n−1)2 + (1+ p1)xn1 − y = M xij ≥ 0 i = 1,2,3Kn j = 1,2,3,5 y ≥ 0 n ≥ 5
运筹学案例 案例四:投资基金最佳使用计划研究 表2只存款方式下十年的投资方案分析(表中数据是本利和) 四 五 六 七 九 十 Xn1.018x1 1.03888x1 2 1.0648x13 1.1152x15 101800x 1.03888x2 0648x 1.1152 1.01800x3 1.03888x3 35 1.1l52x3 1.01800x4 1.03888x4 1.0648x 43 叫1.1152 1.01800xs 103888x 1.0648x53 1.1152x55 1.01800x6 1.03888x 1115 01800x7 1.03888 1.06481 1.03888 1648x85 1.01800x 1.03888x 1.018 当n=10,M=5000,利率为题目中给定的利率时,模型为: 第4页共15页
运筹学案例 案例四：投资基金最佳使用计划研究 第 4 页 共 15 页 表 2 只存款方式下十年的投资方案分析(表中数据是本利和) 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 X11 X12 X13 X15 1.018x1 1 1.03888x1 2 1.0648x13 1.1152x15 X21 X22 X23 X25 1.01800x2 1 1.03888x2 2 1.0648x23 1.1152x25 X31 X32 X33 X35 1.01800x3 1 1.03888x3 2 1.0648x33 1.1152x35 X41 X42 X43 X45 1.01800x4 1 1.03888x4 2 1.0648x43 1.1152x45 X51 X52 X53 X55 1.01800x5 1 1.03888x5 2 1.0648x53 1.1152x55 X61 X62 X63 X65 1.01800x6 1 1.03888x6 2 1.0648x63 1.1152x65 X71 X72 X73 X75 1.01800x7 1 1.03888x7 2 1.0648x73 X81 X82 X83 X85 1.01800x8 1 1.03888x8 2 1.0648x85 X91 X92 X93 X95 1.01800x9 1 1.03888x 12 X(10)1 X(10)2 X(10)3 X(10)5 1.018x(10) 1 当 n=10，M=5000，利率为题目中给定的利率时，模型为：
运筹学 案例四:投资基金最佳使用计划研究 x1+x12+x13+x5=5000 x21+x22+x23+x2s=1.018x1-y x31+x32+x3+x35=1.03888x2+1.018x21-y x41+x42+x43+x45=1.0648x13+10388822+1.018x31-y x51+x52+x53+x5=1.0648x23+1.03888x2+1.018x41-y x61+x62+x63+x65=1.152x15+1.0648x33+1.03888x42+1.018x51-y xn1+x72+x73=1.1152x2+1.0648x43+1.03888X2+1.018x61-y xs1+x82+x83=1.1152x35+1.0648x3+1.03888x62+1.018x71-y x1+xo2=1.1152x45+1.0648x63+1.03888x72+1.018xg1-y 1.1152x5+1.0648x3+1.03888x+1.018x 1.1152x65+10648x83+1.03888072+1018x(0n-y=5000 ≥0 =1,2,10 F=12,3,5 用 Lindo求得最优投资方案如下表3所示 表3 奖金相同时的最佳投资方案 单位:万元 投资方式 年定期 二年定期 三年定期 五年定期 奖金 年份 第一年 396.76 200.49 195.6 109.82 第二年 195.61 109.82 第三年 98.47 109.82 第四年 98.47 109.82 第五年 98.47 109.82 第六年 581.97 109 第七年 第八年 109.82 第九年 109.82 第十年 109.82 (2)考虑奖金逐年递增的情况 根据现实要求,每年的奖金额可有所增加,对于奖金额每年增长1%,2%,3%,4%,5%,10%的情 况,只需要在相应的约束中修改变量y的系数,计算结果见表4。 第5页共15页
运筹学案例 案例四：投资基金最佳使用计划研究 第 5 页 共 15 页 max y 5000 x11 + x12 + x13 + x15 = x + x + x + x = x − y 21 22 23 25 11 1.018 x + x + x + x = x + x − y 31 32 33 35 12 21 1.03888 1.018 x + x + x + x = x + x + x − y 41 42 43 45 13 22 31 1.0648 1.03888 1.018 x + x + x + x = x + x + x − y 51 52 53 55 23 32 41 1.0648 1.03888 1.018 x + x + x + x = x + x + x + x − y 61 62 63 65 15 33 42 51 1.1152 1.0648 1.03888 1.018 x + x + x = x + x + x + x − y 71 72 73 25 43 52 018 61 1.1152 1.0648 1.03888 1. x + x + x = x + x + x + x − y 81 82 83 35 53 62 018 71 1.1152 1.0648 1.03888 1. x + x = x + x + x + x − y 91 92 45 63 72 018 81 1.1152 1.0648 1.03888 1. x = x + x + x + x − y (10)1 55 73 82 91 1.1152 1.0648 1.03888 1.018 1.1152x65 +1.0648x83 +1.03888x92 +1.018x(10)1 − y = 5000 xij ≥ 0 i=1,2,…10 j=1,2,3,5 用 Lindo 求得最优投资方案如下表 3 所示。 表 3 奖金相同时的最佳投资方案 单位：万元 投资方式 年份 一年定期 二年定期 三年定期 五年定期 奖金 第一年 396．76 200．49 195．61 4207．13 109．82 第二年 195．61 98．47 109．82 第三年 98．47 109．82 第四年 98．47 109．82 第五年 98．47 109．82 第六年 4581．97 109．82 第七年 109．82 第八年 109．82 第九年 109．82 第十年 109．82 （2）考虑奖金逐年递增的情况 根据现实要求，每年的奖金额可有所增加，对于奖金额每年增长 1%，2%，3%,4%，5%，10%的情 况，只需要在相应的约束中修改变量 y 的系数，计算结果见表 4
运筹学 案例四:投资基金最佳使用计划研究 表4 奖金额逐年递增的最优投资方案 单位:万元 奖金增长率 1% 第一年奖金额 105.155 100653 95826 92.119 88664 70.093 第|一年期 4790392856390927389.100 389827 378.651 二年期1985791966119810 192.169 181.400 年「三年期195683195712195686195658190412194679 五年期421094942147724218577422241542275914245270 年期 年匚三年期197639190626201557203484206710214149 五年期99102 99.649 100.580 100.500 101470 10l224 第|一年期 三|二年期 年「三年期 五年期10093 101.642 103.598 104.520 106.54 111.350 第|一年期 四二年期 年「三年期 五年期10109410367510670510870011871122481 投 第|一年期 资 五|二年期 方 式|年三年期 「五年期102105105748109071130491146513431 第|一年期 六二年期 年三年期 五年期4585627459136345967044601.0714606.838463170 第|一年期 七二年期 年三年期 五年期 第|一年期 八|二年期 年三年期 五年期 第|一年期 九二年期 年三年期 五年期 第|一年期 十|二年期 年三年期 五年期 第6页共15页
运筹学案例 案例四：投资基金最佳使用计划研究 第 6 页 共 15 页 表 4 奖金额逐年递增的最优投资方案 单位：万元 奖金增长率 1% 2% 3% 4% 5% 10% 第一年奖金额 105.155 100.653 95.826 92.119 88.664 70.093 一年期 394.790 392.856 390.927 389.100 389.827 378.651 二年期 198.579 196.661 194.810 192.827 192.169 181.400 三年期 195.683 195.712 195.686 195.658 190.412 194.679 第 一 年 五年期 4210.949 4214.772 4218.577 4222.415 4227.591 4245.270 一年期 二年期 三年期 197.639 199.626 201.557 203.484 206.710 214.149 第 二 年 五年期 99.102 99.649 100.580 100.500 101.470 101.224 一年期 二年期 三年期 第 三 年 五年期 100.093 101.642 103.598 104.520 106.544 111.350 一年期 二年期 三年期 第 四 年 五年期 101.094 103.675 106.705 108.700 111.871 122.481 一年期 二年期 三年期 第 五 年 五年期 102.105 105.748 109.907 113.049 117.465 134.731 一年期 二年期 三年期 第 六 年 五年期 4585.627 4591.363 4596.704 4601.071 4606.838 4631.701 一年期 二年期 三年期 第 七 年 五年期 一年期 二年期 三年期 第 八 年 五年期 一年期 二年期 三年期 第 九 年 五年期 一年期 二年期 三年期 投 资 方 式 第 十 年 五年期
运筹学案例 案例四:投资基金最佳使用计划研究 五、问题二:可存款也可购国库券的的情况 1、问题分析 在这种情况下,由于国库券每年发行次数、发行时间不定,给问题的解决带来很大困难,因此我们 必须进行适当合理的简化。 由于购买两年期国库券,从时间上算一般要占用三年时间(这里包括存活期或半年期等待买国库券 的时间:也包括国库券到期以后存活期或半年期等待至本年终的时间),因此我们可以将购买两年期国库 券的投资方式看成是存定期三年的投资方式。类似的道理,也可将购买三年期和五年期国库券的投资方 式分别看成是四年和六年定期存款的投资方式。经过计算机枚举计算,我们发现如下结论 定理1:对于任何一种国库券,因为购买国库券只能在发行的当月购买,所以发行的月份也就是购 买的月份,在某一年当中的任何月份发行(也即购买)所取得的收益是相同的(1月1日和7月1日除 外) 证明:假设在某一年第n月发行m年期的国库券,pn为活期利率,p为半年期利率,又设pm为国 库券利率,A为第n年初准备用于购买m年期的国库券的资金额。 当n≤7时: 首先,将A万元的资金存(-1)个月的活期,到期时的本利和为 A[1+(n-1)p/12] 然后再将A[+(n-)ph/12万元的资金用于购买m年期的国库券,到期时的本利和为 A[+(n-1)p/12](1+m*pm) 然后再将A[+(n-1)ph/12](1+m*pm)万元的资金存入半年定期,到期时的本利和为 A[l+(n-1)ph/12](1+m*pm)(1+pb/2) 最后,将A[1+(n-1)ph/12](1+m*pm)(1+pb/2)万元的资金存为活期,到期时的本利和为 A[+(n-1)ph/12](1+m*pm)(1+pb2)[1+(7-n)pb/12 A(1+m*pm)(1+pb/2)1+p/2+(n-1)(7-n)ph2/2 当n>7时 首先,将A万元的资金存为半年定期,到期时的本利和为: A(1+pb/2 然后再将A(1+p/2)万元的资金存为(n-7)个月活期,到期时的本利和为 A(1+pb/2[1+(n-7)ph/12 然后再用A(1+p/2)+(n-7)p/12万元的资金购买m年期的国库券,到期时的本利和为 A(1+pb/2川1+(n7p/12](1+mpm) 最后,将A(1+p/2+(n-7)ph/12](1+mpm)万元的资金存为活期,到期时的本利和为 A[+(n-7)ph/12](1+m*pm)(1+p2)[1(13-n)ph/12] =A(1+mpm)(1+p/2)1+p/2+(n7)13-n)p2/12] 在①式中, (n-1)(7n)p2/2≤9·p2/12=p2167最后的投资总收益近似为: A(1+m*pm)(1+pb/2)[1+ph/2] 与n无关。 证毕 关于上述结论的说明:对于1月1日发行的m年期国库券,则不需要等待购买,而是立即购买,资 金占用时间为m年,因而m+1的投资收益会高于A(1+m*pm)(1+pb/2)[1+p/2]:同样对于7月1日发行 的m年期国库券,整个投资过程中可能会出现两次半年期存款方式,因而最后的投资收益也会高于 A(1+m*pm)(1+p/2)[1+p/2]。对于这两天可另外处理,但在本问题中由于在这两天发行国库券的概率非 第7页共15页
运筹学案例 案例四：投资基金最佳使用计划研究 第 7 页 共 15 页 五、问题二：可存款也可购国库券的的情况 1、 问题分析 在这种情况下，由于国库券每年发行次数、发行时间不定，给问题的解决带来很大困难，因此我们 必须进行适当合理的简化。 由于购买两年期国库券，从时间上算一般要占用三年时间（这里包括存活期或半年期等待买国库券 的时间；也包括国库券到期以后存活期或半年期等待至本年终的时间），因此我们可以将购买两年期国库 券的投资方式看成是存定期三年的投资方式。类似的道理，也可将购买三年期和五年期国库券的投资方 式分别看成是四年和六年定期存款的投资方式。经过计算机枚举计算，我们发现如下结论： 定理 1：对于任何一种国库券，因为购买国库券只能在发行的当月购买，所以发行的月份也就是购 买的月份，在某一年当中的任何月份发行（也即购买）所取得的收益是相同的（1 月 1 日和 7 月 1 日除 外）。 证明： 假设在某一年第 n 月发行 m 年期的国库券，ph 为活期利率，pb为半年期利率，又设 pm为国 库券利率，A 为第 n 年初准备用于购买 m 年期的国库券的资金额。 当 n≤7 时： 首先，将 A 万元的资金存(n-1)个月的活期，到期时的本利和为： A [1 + (n-1)ph/12] 然后再将 A [1 + (n-1)ph/12]万元的资金用于购买 m 年期的国库券，到期时的本利和为： A [1 + (n-1)ph/12] (1+m*pm) 然后再将 A [1 + (n-1)ph/12] (1+m*pm)万元的资金存入半年定期，到期时的本利和为： A [1 + (n-1)ph/12] (1+m*pm) (1+pb/2) 最后，将 A [1 + (n-1)ph/12] (1+m*pm) (1+pb/2) 万元的资金存为活期，到期时的本利和为 A [1 + (n-1)ph/12] (1+m*pm) (1+pb/2) [1+(7-n)ph/12 ] = A(1+m*pm) (1+pb/2) [1 + ph/2 +(n-1)(7-n)ph 2 /12 2 ] ① 当 n＞7 时： 首先，将 A 万元的资金存为半年定期，到期时的本利和为： A (1 + pb/2) 然后再将 A (1 + pb/2)万元的资金存为（n-7）个月活期，到期时的本利和为： A (1 + pb/2)[1+(n-7)ph/12] 然后再用 A (1 + pb/2)[1+(n-7)ph/12]万元的资金购买 m 年期的国库券，到期时的本利和为： A (1 + pb/2)[1+(n-7)ph/12]（1+mpm） 最后，将 A (1 + pb/2)[1+(n-7)ph/12]（1+mpm）万元的资金存为活期，到期时的本利和为 A [1 + (n-7)ph/12] (1+m*pm) (1+pb/2) [1+(13-n)ph/12 ] = A(1+m*pm) (1+pb/2) [1 + ph/2 +(n-7)(13-n)ph 2 /12 2 ] ② 在①式中， (n-1)(7-n)ph 2 /12 2 ≤9•ph 2 /122 =ph 2 /167 最后的投资总收益近似为： A(1+m*pm) (1+pb/2) [1 + ph/2] 与 n 无关。 证毕 关于上述结论的说明：对于 1 月 1 日发行的 m 年期国库券，则不需要等待购买，而是立即购买，资 金占用时间为 m 年，因而 m+1 的投资收益会高于 A(1+m*pm) (1+pb/2) [1 + ph/2]；同样对于 7 月 1 日发行 的 m 年期国库券，整个投资过程中可能会出现两次半年期存款方式，因而最后的投资收益也会高于 A(1+m*pm) (1+pb/2) [1 + ph/2]。对于这两天可另外处理，但在本问题中由于在这两天发行国库券的概率非
运筹学案例 案例四:投资基金最佳使用计划研究 常小,我们将不予考虑 由定理1,无论国库券发行是在哪一个月,我们均可以看作是在该年的1月1日,而购买国库券从 理论上分析是宜早不宜迟,因此发行即购买次数的增加只相当于定期存款投资数额的增加。这样第二种 情况就可认为是第一种情况的一种拓广。 根据如下公式可计算出购买三种国库券相当于定期存款的年利率如表5所示。 相对利A(+mtpn)(1+P21P2]-A A(m+1) 表5 国库券转换成定期存款的相对利率(%) 种类 二年期国库券 三年期国库券 五年期国库券 (看作定期三年) (看作定期四年) (看作定期六年) 原利率 2.55 3. 相对利 2.502 2.854 由此可知:购买两年期国库券(看作定期三年)的利率2.131低于实际三年定期存款利率2.160 所以购买两年期国库券投资方式不可能被采用。另外,与问题一中类似,半年期和活期存款方式(四年 期和六年期存款中所包含的除外)同样不可能被采用,所以,此种情况下的各种可能的投资方式及年利 率如下表6所示 表6 国库券转换后的所有可能投资方式 投资方式 利率 一年期定期存款 1.800 年期定期存款 1.944 三年期定期存款 2.160 四年期定期存款(三年期国库券) 2.502 五年期定期存款 2.304 六年期定期存款(五年期国库券) 2.854 2、模型建立 建立模型的原则仍是:每一年的可用于投资的资金为来自于前几年存入的到期存款本息和减去当年 初发放的奖金(第二年为第一年末能收回的本利和减去当年初发放的奖金,第三年为第二年末能收回的 本利和减去当年初发放的奖金,其余类似,而第一年的可用投资额为M万元)。其目标仍是使每年可用 于发奖金的资金数尽可能多,并且n年后仍保留原有的基金数不变。 由于将购买国库券方式转换成了定期存款方式,因此这种情况也是线性规划问题。由于奖金额逐年 递增的情况可以在奖金额相同的情况下通过简单的修改很容易得到结果(可仿照问题一),所以在此我们 仅就奖金额相同的情况进行处理 计划期为n年的一般线性规划模型为 第8页共15页
运筹学案例 案例四：投资基金最佳使用计划研究 第 8 页 共 15 页 常小，我们将不予考虑。 由定理 1，无论国库券发行是在哪一个月，我们均可以看作是在该年的 1 月 1 日，而购买国库券从 理论上分析是宜早不宜迟，因此发行即购买次数的增加只相当于定期存款投资数额的增加。这样第二种 情况就可认为是第一种情况的一种拓广。 根据如下公式可计算出购买三种国库券相当于定期存款的年利率如表 5 所示。 A(m 1) A(1 m * p ) (1 p /2)[1 p /2]- A m b h + + + + 相对利率 = 表 5 国库券转换成定期存款的相对利率（%） 种类 二年期国库券 （看作定期三年） 三年期国库券 （看作定期四年） 五年期国库券 （看作定期六年） 原利率 2.55 2.89 3.14 相对利 率 2.131 2.502 2.854 由此可知：购买两年期国库券（看作定期三年）的利率 2.131 低于实际三年定期存款利率 2.160， 所以购买两年期国库券投资方式不可能被采用。另外，与问题一中类似，半年期和活期存款方式（四年 期和六年期存款中所包含的除外）同样不可能被采用，所以，此种情况下的各种可能的投资方式及年利 率如下表 6 所示。 表 6 国库券转换后的所有可能投资方式 投资方式 利率 一年期定期存款 1.800 二年期定期存款 1.944 三年期定期存款 2.160 四年期定期存款（三年期国库券） 2.502 五年期定期存款 2.304 六年期定期存款（五年期国库券） 2.854 2、 模型建立 建立模型的原则仍是：每一年的可用于投资的资金为来自于前几年存入的到期存款本息和减去当年 初发放的奖金（第二年为第一年末能收回的本利和减去当年初发放的奖金，第三年为第二年末能收回的 本利和减去当年初发放的奖金，其余类似，而第一年的可用投资额为 M 万元）。其目标仍是使每年可用 于发奖金的资金数尽可能多，并且 n 年后仍保留原有的基金数不变。 由于将购买国库券方式转换成了定期存款方式，因此这种情况也是线性规划问题。由于奖金额逐年 递增的情况可以在奖金额相同的情况下通过简单的修改很容易得到结果（可仿照问题一），所以在此我们 仅就奖金额相同的情况进行处理。 计划期为 n 年的一般线性规划模型为：
运筹学案例 案例四:投资基金最佳使用计划研究 max 111+12+x13+x14+x15+x16=M (1+P1)x1-y x1+x2+x3+x34+x35+x36=(1+2p2)x12+(1+p1)x21-y x41+x42+x3+x4+x5+x6=(1+3P3)x12+(1+2P2)x2+(+P1)x31-y第四年的约束 +x2+x3+xs4+x5+x56=(1+4P4)x4+(1+3P3)x2+(1+2p2)x2+(1+P)x14-y x61+x2+x+x64+x65+x6=(1+5p3)x5+(1+4p4)x24+(1+3P3)x3+(1+2p2)x4 (1+P1)x51-y x1+x2+x3+x4+x5s+x6=(1+6P6)x-s+(1+5p5)x-s+(1+4p4)x-4+(1+3p3)x-3 +(1+2p2)x(=2)2+(1+P1)x(=1)-y…7≤isn-5 (n-4n+x(n-42+x(m-4)3+x(m-4+x(x-45=(1+6P6)x(n10)+(1+5p5)x(m95+(1+4p4)x-84 +(1+3P3)x(n-7)+(1+2P2)x(n-6)2+(1+P1)x(n-5-y X(n-3)+x(n-3)2+x(m-3+x(n-3)4= P5)x(n-85 +(1+3p3)x(n-6 +(1+2PD2) (1+P1)x x(-2)+x(m2)2+x(-2)=(1+6p6)x(-8+(1+5p)xm-)+(1+4p4)xm-6H+(1+31p3)x(m-s (1+2P2)x(m-4)+(+p1)x(m-3)-y x(-1) (+6P6x-k+(1+5p3)x-65+(1+4p)xy+(1+3p3)x- (+2p2k(a-3)2+(+p1k(n-2) (+6P6)x-6+(1+5p3)x(s+(+4p4)xm-+(+3p3)x (1+2p2k(m-2)2+(1+p1kx (1+6p6)x(n5k+(+5ps)x4+(1+4p)x=9+(+3p3)x-2B+(1+2p2)x- (1+p1)xn1-y= x20.i=1,2,3.=123456y20 第9页共15页
运筹学案例 案例四：投资基金最佳使用计划研究 第 9 页 共 15 页 x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 = M x + x + x + x + x + x = + p x − y 21 22 23 24 25 26 1 11 (1 ) x + x + x + x + x + x = + p x + + p x − y 31 32 33 34 35 36 2 12 1 21 (1 2 ) (1 ) x + x + x + x + x + x = + p x + + p x + + p x − y 41 42 43 44 45 46 3 12 2 22 1 31 (1 3 ) (1 2 ) (1 ) 第四年的约束 x + x + x + x + x + x = + p x + + p x + + p x + + p x − y 51 52 53 54 55 56 4 14 3 23 2 32 1 14 (1 4 ) (1 3 ) (1 2 ) (1 ) 61 62 63 64 65 66 5 15 4 24 3 33 2 42 x + x + x + x + x + x = (1+ 5p )x + (1+ 4 p )x + (1+ 3p )x + (1+ 2 p )x + + p x − y 1 51 (1 ) 1 2 3 4 5 6 6 () () () () 5 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 (1 6 ) (1 5 ) (1 4 ) (1 3 ) i + i + i + i + i + i = + i− + + i− + + i− + + i− x x x x x x p x p x p x p x + (1+ 2 p2 )x( ) () i−2 2 + (1+ p1 )x i−1 1 − y......7 ≤ i ≤ n − 5 () () () () () ( ) () () 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 6 10 6 5 9 5 4 8 4 (1 6 ) (1 5 ) (1 4 ) n− + n− + n− + n− + x− = + n− + + n− + + x− x x x x x p x p x p x () () () p x p x p x y + (1+ 3 3 ) n−7 3 + (1+ 2 2 ) n−6 2 + (1+ 1) n−5 1 − () () () () () () () () 3 1 3 2 3 3 3 4 6 9 6 5 8 5 4 7 4 3 6 3 (1 6 ) (1 5 ) (1 4 ) (1 3 ) n− + n− + n− + n− = + n− + + n− + + n− + + n− x x x x p x p x p x p x () () p x p x y . + (1+ 2 2 ) n−5 2 + (1+ 1 ) n−4 1 − () () () () () () () 2 1 2 2 2 3 6 8 6 5 7 5 4 6 4 3 5 3 (1 6 ) (1 5 ) (1 4 ) (1 3 ) n− + n− + n− = + n− + + n− + + n− + + n− x x x p x p x p x p x (1 2p )x() () (1 p )x y + + 2 n−4 2 + + 1 n−3 1 − () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n−1 1 + n−1 2 = 1+ 6 6 n−7 6 + 1+ 5 5 n−6 5 + 1+ 4 4 n−5 4 + 1+ 3 3 ( ) n−4 3 x x p x p x p x p x ( ) ( ) ( ) 1 2p x 1 p x( ) y + + 2 n−3 2 + + 1 n−2 1 − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n1 = 1+ 6 6 n−6 6 + 1+ 5 5 n−5 5 + 1+ 4 4 n−4 4 + 1+ 3 3 ( ) n−3 3 x p x p x p x p x ( ) ( ) ( ) 1 2p x 1 p x( ) y + + 2 n−2 2 + + 1 n−1 1 − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1+ 6 6 n−5 6 + 1+ 5 5 n−4 5 + 1+ 4 4 n−3 4 + 1+ 3 3 n−2 3 + 1+ 2 2 ( ) n−1 2 p x p x p x p x p x + ( ) 1+ p1 xn1 − y = M xij ≥ 0....i = 1,2,3....n; j = 1,2,3,4,5,6 y ≥ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ max y
运筹学案例 案例四:投资基金最佳使用计划研究 n=10M=5000的线性规划模型如下: 5000 11 x31+x32+x3+x34+x35+x6=1.03888121+1.018x21-y x51+x5+x53+xa+x55+x5=1.10008x1a+1.0648x3+1.03888x3+1.018x x61+x62+x63+x64+x65=1.1152x15+1.0008x24+1.0648x33+1.03888x42+1.018x51-y xn+x2+x73+x74=1.1713x6+1.1152x25+1.0008x34+1.0648x43+1.03888X2+1018x61-y x81+x82+x83=1.1713x26+1.152X+1.10008x4+1.0648x5+103888x62+1018x71-y x。+xg2=1.1713x36+1.1152x5+1.10008x64+10648x63+103888+1018x81-Y x(uon=1.1713x4+1.1152xs+1.10008x64+10648x73+1038882+1018x1-y 713x56+1.1152x65+1.10008X14+10648x3+103888X92+1018x00n-y=5000 x≥0=12-10j=123456 用 Lindo软件求得这种情况下的最优投资计划如表7所示。 可存款也可购买国库券情况下的最优投资方案 单位:万元 投资方式一年期二年期三年期四年期五年期六年期奖金额 年份 7592220540953 10889127.5436 11594 10889127.5436 第三年 108891275436 第四年 0889127.5436 第五年 4377.65127.5436 第六年 1275436 第七年 1275436 第八年 127.5436 第九年 127.5436 第十年 127.5436 在这种情况下,由于将购买国库券方式转换成定期存款方式,问题得到了很大的简化,但是当然也带 来了误差。根据我们对现实银行资料的调査可知,国库券一般每年至多发行3次,而根据题意发行时间 不定,可以将发行时间认为是服从[1,12]上的均匀分布的随机数。我们就国库券每年发行3次,发行时 第10页共15页
运筹学案例 案例四：投资基金最佳使用计划研究 第 10 页 共 15 页 n=10 M=5000 的线性规划模型如下： max y x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 = 5000 x + x + x + x + x + x = x − y 21 22 23 24 25 26 018 11 1. x + x + x + x + x + x = x + x − y 31 32 33 34 35 36 12 018 21 1.03888 1. x + x + x + x + x + x = x + x + x − y 41 42 43 44 45 46 13 22 018 31 1.0648 1.03888 1. x + x + x + x + x + x = x + x + x + x − y 51 52 53 54 55 56 14 23 32 018 41 1.10008 1.0648 1.03888 1. x + x + x + x + x = x + x + x + x + x − y 61 62 63 64 65 15 24 33 42 018 51 1.1152 1.0008 1.0648 1.03888 1. x + x + x + x = x + x + x + x + x + x − y 71 72 73 74 16 25 34 43 52 61 1.1713 1.1152 1.0008 1.0648 1.03888 1.018 x + x + x = x + x + x + x + x + x − y 81 82 83 26 35 44 53 62 71 1.1713 1.1152 1.10008 1.0648 1.03888 1.018 x91 + x92 =1.1713x36 +1.1152x45 +1.10008x64 +1.0648x63 +1.03888x72 +1.018x81 − Y x = x + x + x + x + x + x − y (10)1 46 55 64 73 82 91 1.1713 1.1152 1.10008 1.0648 1.03888 1.018 1.1713x56 +1.1152x65 +1.10008x74 +1.0648x83 +1.03888x92 +1.018x(10)1 − y = 5000 xij ≥ 0 i =1,2,…10 j =1,2,3,4,5,6 用 Lindo 软件求得这种情况下的最优投资计划如表 7 所示。 表 7 可存款也可购买国库券情况下的最优投资方案 单位：万元 投资方式 年份 一年期 二年期 三年期 四年期 五年期 六年期 奖金额 第一年 346.14 227.59 222.05 4095.33 108.89 127.5436 第二年 115.94 108.89 127.5436 第三年 108.89 127.5436 第四年 108.89 127.5436 第五年 4377.65 127.5436 第六年 127.5436 第七年 127.5436 第八年 127.5436 第九年 127.5436 第十年 127.5436 在这种情况下，由于将购买国库券方式转换成定期存款方式，问题得到了很大的简化，但是当然也带 来了误差。根据我们对现实银行资料的调查可知，国库券一般每年至多发行 3 次，而根据题意发行时间 不定，可以将发行时间认为是服从[1，12]上的均匀分布的随机数。我们就国库券每年发行 3 次，发行时