CPOSIS AND 邮电大生 管理与人文学院忻展红 1999,4 第七章随机服务理论概述 确定型只是随机现象的特例
©管理与人文学院 忻展红 1999，4 第七章 随机服务理论概述 确定型只是随机现象的特例
7.随机服务系统 系统的输入与输出是随机变量 Ak Erlang于1909~1920年发表了一系列根据话务量计 算电话机键配置的方法,为随机服务理论奠定了基础 又称为排队论( Queuing Theory)或拥塞理论( Congestion Theory) 个服务台 随机服务系统 顾客源 排队等待顾客 离去的顾客
2 7.1 随机服务系统 • 系统的输入与输出是随机变量 • A.k.Erlang 于1909~1920年发表了一系列根据话务量计 算电话机键配置的方法，为随机服务理论奠定了基础 • 又称为排队论(Queuing Theory)或拥塞理论(Congestion Theory) 顾 客 源 三个服务台 离 去 的 顾 客 随机服务系统 排队等待顾客
与服务系统性能相关的特性 服务系统存在来自两个矛盾方面的要求 顾客希望服务质量好,如排队等待时间短,损失率低 系统运营方希望设备利用率高 给用户一个经济上能够承受的满意的质量 哪些系统特性会影响系统的性能? 服务机构的组织方式与服务方式 顾客的输入过程和服务时间分布 系统采用的服务规则 711服务机构的组织方式与服务方式 单台制和多台制 并联服务 串联服务 串并联服务、网络服务 全利用度、部分利用度
3 与服务系统性能相关的特性 • 服务系统存在来自两个矛盾方面的要求 – 顾客希望服务质量好，如排队等待时间短，损失率低 – 系统运营方希望设备利用率高 • 给用户一个经济上能够承受的满意的质量 • 哪些系统特性会影响系统的性能？ – 服务机构的组织方式与服务方式 – 顾客的输入过程和服务时间分布 – 系统采用的服务规则 7.1.1 服务机构的组织方式与服务方式 – 单台制和多台制 – 并联服务 – 串联服务 – 串并联服务、网络服务 – 全利用度、部分利用度
与服务系统性能相关的特性 712输入过程和服务时间 顾客单个到达或成批到达 顾客到达时间间隔的分布和服务时间的分布 顾客源是有限的还是无限的 713服务规则 损失制 等待制:先到先服务(FIFO),后到先服务,随机服务,优 先权服务 混合制 逐个到达,批服务;成批到达,逐个服务
4 与服务系统性能相关的特性 7.1.2 输入过程和服务时间 – 顾客单个到达或成批到达 – 顾客到达时间间隔的分布和服务时间的分布 – 顾客源是有限的还是无限的 7.1.3 服务规则 – 损失制 – 等待制：先到先服务(FIFO)，后到先服务，随机服务，优 先权服务 – 混合制 – 逐个到达，成批服务；成批到达，逐个服务
7.2随机服务过程 ·单台服务系统、等待制、先到先服务 顾客在系统中的总时长:逗留时间等待时长+服务时长 等待时长与顾客到达率和服务时长有关 23 顾客 到达时刻 开始 服务时刻 服务 终结时刻 h,lh 空1h 123
5 7.2 随机服务过程 • 单台服务系统、等待制、先到先服务 • 顾客在系统中的总时长：逗留时间=等待时长+服务时长 • 等待时长与顾客到达率和服务时长有关 顾 客 到达时刻 开 始 服务时刻 服 务 终结时刻 t 1 2 3 4 1 2 3 4 w2 w3 h1 h2 h3 h 空 4 1 2 3 4
当服务台连续不断服务时,有如下关系: W+1++=w+h w+h;表示了累计的未完成的服务时长,一般地有 w+h-;+liw2+h-t计1≥0 Wi+1 0 fv2+h;-+1<0 z,1,h;可通过写实来获得,另一种写实法 a()代表时段(0,0中累计到达顾客数 B(n代表时段(0,0中累计接受服务的顾客数 y(0)代表时段(0,0中累计服务完毕的顾客数 则在任意考察时刻t,有 正在等待的顾客数:L()=a(0)-B() 正在接受服务的顾客数:L、()=B()-y(0) 系统中逗留的顾客数:N()=a(0)-()
6 • 当服务台连续不断服务时，有如下关系： wi+1+i+1= wi+hi • wi+hi 表示了累计的未完成的服务时长，一般地有 + − + − + − = + + + + 0 i f 0 i f 0 1 1 1 1 i i i i i i i i i i w h w h w h w • i , wi , hi 可通过写实来获得，另一种写实法 (t) 代表时段(0, t)中累计到达顾客数 (t) 代表时段(0, t)中累计接受服务的顾客数 (t) 代表时段(0, t)中累计服务完毕的顾客数 • 则在任意考察时刻 t，有 正在等待的顾客数：L(t)= (t) − (t) 正在接受服务的顾客数：Ls (t)= (t) − (t) 系统中逗留的顾客数：N(t)= (t) − (t)
上述关系是普遍成立的,与服务台设置和服务规则无关 下面分析等待顾客数、等待时间和顾客到达率的关系 到达率定义为单位时间内平均到达的顾客数,即 =a()/t 令8表示在时段(0,1内到达系统内顾客的总逗留时长 则每一个顾客的平均逗留时间为 Wai at/a(o) 系统中平均逗留顾客数可表达为 lai dt/t=(a(t/t(ar/dt)=awat (little formula 系统中逗 留顾客数 平均逗留 顾客数
7 • 上述关系是普遍成立的，与服务台设置和服务规则无关 • 下面分析等待顾客数、等待时间和顾客到达率的关系 – 到达率定义为单位时间内平均到达的顾客数，即 t= (t) / t – 令 (t) 表示在时段(0, t)内到达系统内顾客的总逗留时长 – 则每一个顾客的平均逗留时间为 Wdt= (t) /(t) – 系统中平均逗留顾客数可表达为 Ldt= (t) / t = ((t) / t )((t) /(t) ) = t Wdt (Little formula) t 系统中逗 留顾客数 平均逗留 顾客数
系统处于稳态时的利特尔公式:LcWa 利特尔公式也是普遍成立的,已知其中任两个量,可以 求出另一个量 利特尔公式的分解: L=元Wu=A(W+h)=Lq+Ln L=nw Ln=a五 W是顾客的平均排队等待时间 L是排队等待的平均队长 万是顾客的平均服务时长 L是同时接受服务的平均顾客数即平均服务台占用数)
8 • 系统处于稳态时的利特尔公式：Ld= Wd • 利特尔公式也是普遍成立的，已知其中任两个量，可以 求出另一个量 • 利特尔公式的分解： Ld = Wd = (Wq + h ) = Lq + Ln Lq = Wq Ln = h – Wq 是顾客的平均排队等待时间 – Lq 是排队等待的平均队长 – h 是顾客的平均服务时长 – Ln 是同时接受服务的平均顾客数(即平均服务台占用数)
73服务时间与间隔时间 731概述 顾客的服务时间由于多种原因具有不确定性,最好的描述 方法就是概率分布;同样顾客到达的间隔时间也具有一定 的概率分布 服务时间和到达间隔时间服从什么分布?可以先通过统计 得到经验分布,然后再做理论假设和检验 经验分布一般采用直方图来表示,如下图 频率% 30 20 10 通话分钟 4 8
9 7.3 服务时间与间隔时间 7.3.1 概述 • 顾客的服务时间由于多种原因具有不确定性，最好的描述 方法就是概率分布；同样顾客到达的间隔时间也具有一定 的概率分布 • 服务时间和到达间隔时间服从什么分布？可以先通过统计 得到经验分布，然后再做理论假设和检验 • 经验分布一般采用直方图来表示，如下图 频 率% 30 20 10 2 4 6 8 通话分钟
若统计区间分得越细,样本越多,则经验分布的轮廓越接 近曲线 一般服务时间和间隔时间都是非负的连续实变量,令h代 表服务时响,τ代表向隔时间,t为给定的时间,则它们的 概率分布函数分别表示为 F(O)=P{≤tF()=P{≤t 它们的概率密度函数为f()=F(,具有性质 fn)≥0,∫(odr=1 服务时间落在区间(a,c)的概率为 P{<hse}=/(o)=F()-F(a) 服务时间落在区间(tt+△)的概率为P{<h≤t+△}=fn)△t 平均服务时长和平均间隔时长 h=E小=()lz=l=gf()dt 平均服务时长的倒数为服务率,平均间隔时长的倒数为到达率 p=1/hx=1/z
10 • 若统计区间分得越细，样本越多，则经验分布的轮廓越接 近曲线 • 一般服务时间和间隔时间都是非负的连续实变量，令 h 代 表服务时间， 代表间隔时间，t 为给定的时间，则它们的 概率分布函数分别表示为 F(t)=P{h t} F(t)=P{ t} • 它们的概率密度函数为 f(t)=F(t)，具有性质： f(t)0， f(t)dt=1 • 服务时间落在区间(a, c)的概率为 Pa h c f (t)dt F(c) F(a) c a = = − • 服务时间落在区间(t, t+t)的概率为 P{t < h t+t}= f(t)t • 平均服务时长和平均间隔时长 = = = = 0 0 h E[h] tf (t)dt E[ ] tf (t)dt • 平均服务时长的倒数为服务率，平均间隔时长的倒数为到达率 = 1 h = 1