第二章第二节 离散型随机变量 设X是一个离散型随机变量,它可能取 的值是x1,x2, 为了描述随机变量X,我们不仅需 要知道随机变量X的取值,而且还应知道 X取每个值的概率
设X是一个离散型随机变量，它可能取 的值是 x1 , x2 , … . 为了描述随机变量 X ，我们不仅需 要知道随机变量X的取值，而且还应知道 X取每个值的概率. 第二章 第二节 离散型随机变量
从中任取3个球 取到的白球数X是一个随机变量 X可能取的值是0,2 取每个值的概率为P(xNYG10 且∑P(X=1)=1 CC 6 (X=1)=22 C310 随机变量取值的概率规律PX2<C23 这样,我们就掌握了X这个 C310
这样，我们就掌握了X这个 随机变量取值的概率规律. 从中任取3 个球 取到的白球数X是一个随机变量 X可能取的值是0,1,2 取每个值的概率为 10 1 ( 0) 3 5 3 3 = = = C C P X 10 6 ( 1) 3 5 1 2 2 3 = = = C C C P X 10 3 ( 2) 3 5 2 2 1 3 = = = C C C P X 例1 且 = = = 3 1 1 i P(X i)
、离散型随机变量概率分布的定文 定义1:设x(k=1,2,…)是离散型随 机变量X所取的一切可能值,称 P(X=Xk)=Pk 为离散型随机变量X的概率分布或分布 律,有的书上也称概率函数 其中Pk(k=1,2,…)满足:(用这两条性质判断 (1)Pk≥0,k=1,2, ●●● 个函数是否是 (2)∑Pk=1 概率分布
其中 pk (k=1,2, …) 满足： 0, （1） pk k=1,2, … = k （ pk 1 2） 定义1 ：设xk (k=1,2, …)是离散型随 机变量X所取的一切可能值，称 k=1,2,… … ( ) , P X=xk =pk 为离散型随机变量X的概率分布或分布 律，有的书上也称概率函数. 用这两条性质判断 一个函数是否是 概率分布 一 、离散型随机变量概率分布的定义
例没随机变量X概率分布为 P(X=k=a k=0,1,2,…,>0 ! 试确定常数a 解:依据概率分布的性质: P(X=k)≥0, 欲使上述函数为概率分布 ∑P(X=k)=1应有a≥0 k 从中解得a a=ae=1 ! 这里用到了常见的 幂级数展开式 k=0 K
解: 依据概率分布的性质: = = k P(X k) 1 P(X =k)≥0, 1 ! 0 = = = ae k a k k a≥0 从中解得 欲使上述函数为概率分布 应有 − a = e = = k 0 k k e ! 这里用到了常见的 幂级数展开式 例2. 设随机变量X的概率分布为： , ! ( ) k P X k a k = = k =0,1,2, …, 试确定常数a . 0
示方法 再看例 (1)列表法:X163 任取3个球 (2)公式法 P(=kC3 CK k=0,1,2 X为取到的白球数 X可能取的值 是0,1,2
二、表示方法 （1）列表法： （2）公式法 10 3 10 6 10 1 0 1 2 X~ ( ) , 0,1,2 3 5 2 3 3 = = = − k C C C P X k k k 再看例1 任取3 个球 X为取到的白球数 X可能取的值 是0,1,2
例 例3.某篮球运动员投中篮圈概率是09,求 他两次独立投篮投中次数X的概率分布 解:X可取0、1、2为值 P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18 P(X=2=(0.9)(0.9)=0.81 且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1
三、举例 例3. 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求 他两次独立投篮投中次数X的概率分布. 解： X可取0、1、2为值 P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1
常常表示为: 012 0.010.180.81 这就是X的概率分布
常常表示为： 0.01 0.18 0.81 0 1 2 X ~ 这就是X的概率分布
例4 如上图所示.电子线路中装有两个并联的 继电器.假设这两个继电器是否接通具有随机 性,且彼此独立.已知每个电器接通的概率为 0.8,记X为线路中接通的继电器的个数 求:(1)X的分布律. (2)线路接通的概率
例 4 如上图所示.电子线路中装有两个并联的 继电器.假设这两个继电器是否接通具有随机 性,且彼此独立.已知每个电器接通的概率为 0.8,记X为线路中接通的继电器的个数. 求:(1)X的分布律. (2)线路接通的概率
解:(1).记A1={第i个继电器接通},i=1,2 两个继电器是否接通是相互独立的, A1和A2相互独立,另外P(A1)=P(A2)=0.8.下面 求X的分布律 首先:X可能取0,1,2,三个值 P{X=0}=P{表示两个继电器都没接通} =P(A142)=P(A4)P(A2)=0.2×0.2=0.04
解: (1).记Ai={第i个继电器接通},i=1,2. ∵ 两个继电器是否接通是相互独立的,∴ A1和A2相互独立,另外P(A1)=P(A2)=0.8.下面 求X的分布律. 首先:X可能取0,1,2,三个值. P{X=0}=P{表示两个继电器都没接通} ( ) ( ) ( ) 0.2 0.2 0.04 = P A1 A2 = P A1 P A2 = =
P{X=1}=P{恰有一个继电器接通} =P(A1A2)∪(A1A2))=P(A1A2)+P(A1A2) P(AP(A,)+P(AP(A 0.8×0.2+0.2×0.8=0.32 P{X=2}=P{两个继电器都接通} =P(A42)=P(A1)P(A2)=0.8×0.8=0.64
转下页 0.8 0.2 0.2 0.8 0.32 ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = + = = + = = + P A P A P A P A P A A A A P A A P A A P{X=1}=P{恰有一个继电器接通} = P(A1 A2 ) = P(A1 )P(A2 ) = 0.80.8 = 0.64 P{X=2}=P{两个继电器都接通}