河海大学：《概率论》习题19解答（或答案）

概率论与数理统计参考解答(或答案) 习题十九参数估计(D、估计量的评选标准 1.(1)X(n);(2)1/X. 2.EIC∑(X-X,)2]=C∑E(x21-2x,Xm+x2) 2n2+a2+2)=C·2(n-1)o 可解得C= 2(n-1) 当C=2(n-1) 时,原估计量为σ2的无偏估计量 3.要证明Z是的无偏估计量,只须证明E(Z)=a 因为 E(S1)=E(S2)=D(x) FrU E(Z=E(aSi+bS2=aE(SI)+be(S2=(a+b)o=0 这说明z是a2的无偏估计量 又因为 20 D(SI= 且S2,S2相互独立,所以 D(Z=D(aSi+bS2)=a-D(Sf)+bD(S2)= 要使D(Z)达到最小,只须使 b 达到最小 由于a+b=1,b=1-a,故可记 由 n2 可解得 ,从而b=

概率论与数理统计参考解答（或答案） 习题十九 参数估计(II)、估计量的评选标准 1.（1） X(n) ; （2） 1/ X. 2.   − = + + − = + − = − + 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 [ ( ) ] ( 2 ) n i i i i i n i E C Xi Xi C E X X X X  − = = + − + + =  − = 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) 2( 1) n i C C n 令        ， 可解得 2( 1) 1 − = n C ，  当 2( 1) 1 − = n C 时，原估计量为 2  的无偏估计量。 3. 要证明 Z 是 2 的无偏估计量，只须证明 E（Z）= 2 . 因为 ( ) ( ) ( ) , 2 2 2 2 E S1 = E S = D X = 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 2 2 2 2 1 2 2 2 E Z = E aS1 + bS = aE S + bE S = a + b  = 这说明 Z 是 2 的无偏估计量。 又因为 , 1 2 , ( ) 1 2 ( ) 2 4 2 1 4 2 1 − = − = n D X n D S   且 2 2 2 1 S , S 相互独立，所以 )(2 . 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1  ） − + − = + = + = n b n a D Z D aS bS a D S bD S 要使 D（Z）达到最小，只须使 1 2 1 2 1 2 − + − n b n a 达到最小。 由于 a + b = 1, b = 1 − a ，故可记 1 (1 ) 1 1 1 ( ) 2 2 1 2 2 2 1 2 − − + − = − + − = n a n a n b n a g a ， 由 0 1 2(1 ) 1 ( ) 2 1 2 = − − − − = n a n a da dg a ， 可解得 2 1 1 2 1 + − − = n n n a ，从而 1 2 2 n n n b + =

n1-1 ,从而b=n2-1 时,D(Y)达到最小,且 n1+n2-2 n1+n2 )2](2a4) n, +n 4.∴X1-X、Mmn-l X-X (0,1) (n-1)/n E(G)=E(∑x-xD=5√-1)nnE|5.√n-1)/nn2/兀 令其等于o,即得:k=,/2m(n-1) 5. E(X)=E(X)=8, Pi X-0Res o(r →0.n→ 故X是θ的一致性估计量。 6 L(O)=f(x1,0)=,0<x,≤,=1,2,…,n 0<x;≤xm)=max{x1,…,xn}≤6, L()≤y a)~(m)(2)=nF"(-)f(=)= 10<2≤0, 其它 ECX ≠ n+ 的极大似然量θ=X(m不是的无偏估计量。 7.(1)ES3)=(x-2=∑=,S是口2的无偏估计量 X(n) E(G)=2E=1 n2I(n/2)

故，当 2 1 1 2 1 + − − = n n n a ，从而 2 1 1 2 2 + − − = n n n b 时，D（Y）达到最小，且 . 2 2 ) ](2 ) 2 1 ( 2 1 ) 2 1 ( 1 1 ( ) [ 1 4 2 4 1 2 2 2 2 1 2 1 1 min + − = + − − − + + − − − = n n n nn n n n n n n D Z   4. ~ (0,1), ( 1)/ ), 1 ~ (0, 2 N n n X X n n X X N i i  − −   = −  − ( | |) ( 1)/ | | ( 1)/ 2/ . 1 (ˆ) 1 −    −   =    =  − = = n n n k n n nE k E X X k E n i i 令其等于，即得： . 2 ( 1)  − = n n k 5． 0, , ( ) ( ) ( ) , {| | } 2 2 2 → →    =  = =  −     n n D X E X E X P X 故 X 是 的一致性估计量。 6． , 0 , 1, 2, , . 1 ( ) ( , ) 1 L f x xi i n n n i  = i =   =  =     0  xi  x(n) = max{ x1 ,  , xn } , ( ) 1 . . ( ) (n) n L  x n  = X    又              = = − − 0, , , 0 , 1 ~ ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 其它    z z n X f z nF z f z n n  n n       +  =      =  − 1 1 ( ) 0 1 ( ) n n dz z E X zn n n ，  的极大似然量 = X(n)不是 的无偏估计量  。 7． （1）   = =  = −  =  =  n k n k i n E X n E S 1 1 2 2 2 2 , 1 ( ) 1  ( ) 2 S 是 2  的无偏估计量。 （2） ~ ( ), 2 2 2 n nS    =     − −    =   = 0 1/ 2 / 2 1 / 2 / 2 2 ( / 2) 1 (ˆ) y y e dy n n E n E n y n

n+1 22r( 2≠ G不是σ的无偏估计量

, ) 2 ( ) 2 1 ( 2 ) 2 2 ( ) 2 1 2 ( 2 2 1     +  =  +   = + n n n n n n n n  ˆ 不是的无偏估计量