概率统计——习题十二解答 .(1)E(X)=4,D(X)=24;(2)E(X)=2,E(X2-2X)=12; (3)E(X)=-0.2,E(Xx2)=2.8,E(3X2+5)=134。 12 2.X7373273.2.1.7|=734 10109109810987)(103012012 E(X)=1(7/10)+2(7/30)+3(7/120)+4(1/120)=118=1.375; E(X2)=(1)2(7/10)+(2)2(7/30)+(3)2(7/120)+(4)2(1/120)=5524=2.2917 E{X-E(X)}=E(x2)-[E(X2=22917-1.3752=0401 或者E{[X-E(X)}=E{X-1375]2}=(1-1.375)2(7/0)+2-1.375)2(7/30) +(3-1.375)2(7/120)+(4-1.375)2(1/120)=0401 3.由E(X)=∫x(a+bx)=b3 (a+bx2)dx=a+0=1,得 a+b/2=6/5, a+b/3=1故b=6/5,a=610=3/5 4.(1)E(X)=102+0.+0.1)+2(01+0.1)+3(0.3+0.1)=2, E(Y)=(-1)(0.2+0.1)+1(0.1+01+0.1)=0 01234 (2)∵X-Y 0.10.20.3040 E(X-Y)2]=12(02)+2(03)+32(04)=5, (3)E(Y)=(1)-1)(0.2)+(1)(1)(0.1)+(2(-1)(0.1)+(21)(0.1)+(3)1)(0.1) =-0.2+0.1-0.2+02+0.3=02. 5.由题意有X~B[060,所以其密度函数为:o)={60 0≤t≤60 0,其它 0≤X<10 令Y表示乘客等候时间,则有:Y X 10<X≤30 0-X 30<X≤50 60-X+10.50<X≤60 E()=J00-0d+(30-0)+50-)+j(70-0)山=3 6∵.方法一:由随机变量函数的数学期望公式有 Emax(X1,X2)=「「max(x,y)f(x,y)dd 其中f(x,y)=fx;(x)f2(y)=n2eXp 2 于是Emx1x)-了的xy)+了了mxy
概率统计——习题十二解答 1．（1） E(X) = 4，D(X) = 2.4 ； （2） E(X) = 2， (3 2 ) 12 2 E X − X = ； （3） E(X) = − 0.2， ( ) 2.8 2 E X = ， (3 5) 13.4 2 E X + = 。 2． X~ 7 7 8 1 9 2 10 3 4 8 7 9 2 10 3 3 9 7 10 3 2 10 7 1 = 120 1 4 120 7 3 30 7 2 10 7 1 E(X) =1（7/10）+2（7/30）+3（7/120）+4（1/120）=11/8=1.375; ( ) 2 E X =(1) 2（7/10）+(2) 2（7/30）+(3) 2（7/120）+(4) 2（1/120）=55/24=2.2917; {[ ( )] } ( ) [ ( )] 2.2917 1.375 0.401 2 2 2 2 E X − E X = E X − E X = − = 或者 {[ − ( )] }= {[ −1.375] }= 2 2 E X E X E X (1-1.375) 2（7/10）+(2-1.375)2（7/30） +(3-1.375)2（7/120）+(4-1.375)2（1/120）=0.401 3．由 = + = + = + = + = 1 0 1 0 2 2 1 3 , ( ) 5 3 2 4 ( ) ( ) b a bx dx a a b E X x a bx dx ，得 + = + = / 3 1, / 2 6 / 5, a b a b 故 b = 6/5, a = 6/10 = 3/5. 4．（1） E(X) =1(0.2 + 0.1+ 0.1) + 2(0.1+ 0.1) +3(0.3+ 0.1) = 2, E(Y) = (−1)(0.2 + 0.1) +1(0.1+ 0.1+ 0.1) = 0; （2） , 0 4 0.4 3 0.3 2 0.2 1 0.1 0 ~ X −Y [( ) ] 1 (0.2) 2 (0.3) 3 (0.4) 5; 2 2 2 2 E X −Y = + + = （3） E(XY) = (1)(−1)(0.2) + (1)(1)(0.1) + (2)(−1)(0.1) + (2)(1)(0.1) + (3)(1)(0.1) = −0.2+ 0.1−0.2+ 0.2+ 0.3 = 0.2. 5．由题意有 X ~ B[0, 60] ，所以其密度函数为： = 0 , 其它 , 0 60 60 1 ( ) t t ； 令 Y 表示乘客等候时间，则有： − + − − − = 60 10 , 50 60 50 , 30 50 30 , 10 30 10 , 0 10 X X X X X X X X Y 3 25 60 1 (70 ) 60 1 (50 ) 60 1 (30 ) 60 1 ( ) (10 ) 60 50 50 30 10 0 30 10 = − + − + − + − = E Y t dt t dt t dt t dt 。 6 *．方法一：由随机变量函数的数学期望公式有： + − + − E[max( X , X )] = max( x, y) f (x, y)dxdy 1 2 其中 ] 2 ( ) ( ) exp[ 2 1 ( , ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 − + − − = = x y f x y f x f y X X 于是 + − + + − − = + x x E[max( X , X )] dx xf (x, y)dy dx yf (x, y)dy 1 2
+ ∫d∫(x-)f(x,y)+∫dj(-)f(x,y)+H ∫(x-p)f(x,y)dx+∫dj(x-)f(,x)d+μ 2d∫(x-)f(x,y)d+(:x1,x同分布∴f(xy)=f(y,x) dy(x-u)e 2o dx+ +u =H+产(利用概率积分) 方法二,语yX1,h飞2-,则H1与独立同服从N01),所以 max(X1,X2)=max(μ+oH1,μ+oY2)=μ+omax(Y1,Y2) 又因为maxY,Y2)=(Y1+Y2+Y1-Y2 t Elmax(Y1, Y2)]=S[E(Y,)+(Y2)+E(Y,-Y2 ]=E(Y,-Y2 因为H-12~NO2),所以E(Y1-2)=∫ 于是 Emax(X1,X2)=E[μ+σmax(H1,Y2)=μ+ emax(H,Y2) H+OE(Y-I2D=H 课余练习(十二)解答 1.(1)由题设可知,X、Y的可取值为0,1,2 PX=0.=0=P两封信均投入第m邮简}=32= P{X=1Y=0}=P{两封信中有一封投入第门号筒,另一封投入第Ⅲ号筒 PiX=lY=l=c 2 ,P{X=2,Y=0}
= − + − + + − + + − − x x dx (x ) f (x, y)dy dx (y ) f (x, y)dy = − + − + + − + + − + y y dy (x ) f (x, y)dx dy (x ) f ( y, x)dx 2 ( ) ( , ) ( , , ( , ) ( , )) 1 2 dy x f x y dx X X f x y f y x y = − + = + − + 同分布 + − + = = + − − + − − + − − − − e dy x e dx e dy y y y x 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 1 ( ) 2 1 2 (利用概率积分) = + 方法二：设 − = 1 1 X Y ， − = 2 2 X Y ，则 Y1 与 Y2 独立同服从 N(0,1) ，所以 max( , ) max( , ) max( , ) X1 X2 = + Y1 + Y2 = + Y1 Y2 又因为 ( ) 2 1 max( , ) Y1 Y2 = Y1 +Y2 + Y1 −Y2 故 ( ) 2 1 [ ( ) ( ) ( )] 2 1 [max( , )] E Y1 Y2 = E Y1 + E Y2 + E Y1 −Y2 = E Y1 −Y2 因为 ~ (0, 2) Y1 −Y2 N ，所以 = = − = + − + − − 1 2 2 2 1 ( ) 0 4 4 1 2 2 2 dt t dt t E Y Y t e te 于是 [max( , )] [ max( , )] [max( , )] E X1 X2 = E + Y1 Y2 = + E Y1 Y2 = + ( − ) = + 2 1 E Y1 Y2 。 课余练习（十二）解答 1．（1）由题设可知，X、Y 的可取值为 0，1，2 9 1 3 1 { 0, 0} { } 2 P X = Y = = P 两封信均投入第III邮筒 = = P{X =1,Y = 0} = P{两封信中有一封投入第I号筒,另一封投入第III号筒} 9 2 3 2 1 1 1 2 = = C C 9 2 3 { 1, 1} 2 1 1 1 2 = = = = C C P X Y ， 9 1 3 { 2, 0} 2 2 2 = = = = C P X Y
