黄冈师范学院考试试卷 2001-2002学年度第一学期期末考试B卷 科目:概率论出卷教师:吴卫兵班级:数学本990班学号 姓名: 三|四|五总分 叙述下列概念的定义(5分×4=20分) 随机试验 2. Bernoulli概型 3随机变量ξ,n的相关系数 4.随机变量序列{ξa}(m=1,2,…)依分布收敛于随机变量ξ 二、选择题(请将每小题唯一正确的答案序号写在答卷纸上,2分×10=20分) 1.已知事件A与B互相独立,且P(AUB)=0.6,P(B)=0.4,则P(A) 2.事件A,B,C相互独立不需要满足的条件是 A P(AB)=P(A)P(B)B P(ABC)=P(AP(B)P(C)C P(BC)=P(B)P(C)D P(AUB)=P(A)+P(B) 3.已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(A|B)=0.32,则P(AB)= B.0.872 D.0.772 4设随机变量的分布列为P(=)=a,(k=.1,2,…)0,则a c 5.设与n相互独立,其方差分别为6和3,则D(2-m)= B.15 D.27 6.设~b(k;n,p),且E=2.4,D=0.96,则n与p分别为 A.n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.1 7.设随机变量ξ~N(0,1),且η=25+1,则刀 A.N(1,4)B.N(0,1)C.N(1,1)D.N(1,2) 8.设随机变量~N(,62),则随着δ的增大,概率P(|-g|<δ)是 A.单调增大 B.单调减少 C.保持不变 D.增减不定 9.已知(,n)的联合密度为p(x,y)= ∫24(1-x)y,0≤x10≤y≤x 其它 则Pan(x1y)=
黄冈师范学院考试试卷 2001─2002 学年度第一学期期末考试 B 卷 科目:概率论 出卷教师:吴卫兵 班级:数学本 990___班 学号:_____ 姓名:_______ 题 号 一 二 三 四 五 总 分 分 数 一、叙述下列概念的定义(5 分×4=20 分): 1.随机试验 2.Bernoulli 概型 3.随机变量 , 的相关系数 4.随机变量序列{ξn}(n=1,2,…)依分布收敛于随机变量ξ 二、选择题(请将每小题唯一正确的答案序号写在答卷纸上,2 分×10=20 分) 1.已知事件 A 与 B 互相独立,且 P(A∪B)=0.6,P(B)=0.4,则 P(A)= A. 3 1 B. 4 1 C. 5 1 D. 6 1 2.事件 A,B,C 相互独立不需要满足的条件是: A.P(AB)=P(A)P(B) B.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) C.P(BC)=P(B)P(C) D.P(A∪B)=P(A)+P(B) 3.已知 P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(A|B)=0.32,则 P( AB )= A. 0.82 B. 0.872 C. 0.72 D. 0.772 4.设随机变量ξ的分布列为 P(ξ=k)=a k! k ,(k=0,1,2,…) >0,则 a= A. e B. e C.e - D. 2 x e − 5.设 与 相互独立,其方差分别为 6 和 3,则 D(2ξ-η)= A.9 B.15 C.21 D.27 6.设ξ～b(k;n,p),且 Eξ=2.4,Dξ=0.96,则 n 与 p 分别为: A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4 C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1 7.设随机变量ξ～N(0,1),且η=2ξ+1,则η～: A.N(1,4) B.N(0,1) C.N(1,1) D.N(1,2) 8.设随机变量ξ～N(μ,δ 2 ),则随着δ的增大,概率 P(|ξ-μ|<δ)是: A.单调增大 B.单调减少 C.保持不变 D.增减不定 9.已知(ξ,η)的联合密度为 p(x,y)= − 0, 其它 24(1 x) y, 0 x 1,0 y x ,则 ( | ) | p x y =
A.2y,0≤x≤10≤y≤x 2(1-y),0≤x≤1,0≤y≤x B. 其它 其它 2x,0≤x≤1,0≤y≤x 2(1-x),0≤x≤1,0≤y≤x 其它 其它 10.设随机变量5的特征函数为o()=1-,则服从 A.泊松分布B.二项分布C.指数分布 D.几何分布 判断题(对的打“√”,错的打“×”,并请将答案写在答卷纸上,2分×5=10 分) 1.若随机变量5~P(),则有E=AD5. 2若随机变量(5,n)~N(1,2,62,2,r),且r=0,则5与n相互独立 3.二维连续型随机变量5=的协方差矩阵B是半正定矩阵 4设有一列随机变量nn1,n2,…,若n-4m(n→),则nn-→m(→∞) 若连续型随机变量5与n相互独立,则条件概率密度P(xy)等于边际概率密度 P(X) 四、填空题(请将答案写在答卷纸上,2分×5=10分) 1随机变量(,n)满足E(n)=EEEn的条件是 2.设随机变量5~e(1),则E(5+e2) 3设随机变量X与Y的相关系数|pxy|=1的充要条件是 4.设(t)=cost是随机变量ξ的特征函数,则ξ的分布函数是 5.设随机变量的数学期望E=,方差D=62,则由切比雪夫不等式有 P(|5-|≥30)≤ 五、计算题(10分×4=40分) 1.在区间(0,1)内随机地取n个点,求相距最远的两个点之间的距离的平均数 2.发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“·”及“-”.由于通信系统干扰,当发出信号“·” 时,收报台以概率0.8及0.2收到信号“·”及“-”;又当发出信号“-”时,收报台以概率0.9 及0.1收到信号“-”及“·”.求当收报台收到信号“-”时,发报台确是发出信号“-”的概 率 3.某计算机系统有120个终端,每个终端有5%的时间在使用,若各个终端使用与否是相互独
A. 0, 其它 2y, 0 x 1,0 y x B. − 0, 其它 2(1 y), 0 x 1,0 y x C. 0, 其它 2x, 0 x 1,0 y x D. − 0, 其它 2(1 x), 0 x 1,0 y x 10.设随机变量ξ的特征函数为 1 ( ) 1 − = − it t ,则ξ服从 A.泊松分布 B.二项分布 C.指数分布 D.几何分布 三、判断题(对的打“√”,错的打“×”,并请将答案写在答卷纸上,2 分×5=10 分). 1.若随机变量 ～P( ),则有 E = D . 2.若随机变量( , )～N( , , , ,r 2 2 2 1 2 1 ),且 r=0,则 与 相互独立. 3.二维连续型随机变量 = 2 1 的协方差矩阵 B 是半正定矩阵. 4.设有一列随机变量 , , , , 1 2 若 ⎯→ (n → ) L n ,则 ⎯→ (n → ) P n . 5. 若连续型随机变量 与 相互独立, 则条件概率密度 P (X Y ) 等于边际概率密度 P (X ) . 四、填空题(请将答案写在答卷纸上,2 分×5=10 分) 1.随机变量 (,) 满足 E(ξη)=Eξ·Eη的条件是________________. 2.设随机变量ξ～e(1),则 E(ξ+e-2ξ )=__________. 3.设随机变量 X 与 Y 的相关系数| XY |=1 的充要条件是 _____________. 4.设ξ(t)=cost 是随机变量ξ的特征函数,则ξ的分布函数是:________. 5.设随机变量ξ的数学期望 Eξ=μ,方差 Dξ=δ2 ,则由切比雪夫不等式有: P(|ξ-μ|≥3δ)≤__________. 五、计算题(10 分×4=40 分) 1.在区间(0,1)内随机地取 n 个点,求相距最远的两个点之间的距离的平均数. 2.发报台分别以概率 0.6 及 0.4 发出信号“·”及“-”.由于通信系统干扰,当发出信号“·” 时,收报台以概率 0.8 及 0.2 收到信号“·”及“-”;又当发出信号“-”时,收报台以概率 0.9 及 0.1 收到信号“-”及“·”.求当收报台收到信号“-”时,发报台确是发出信号“-”的概 率. 3.某计算机系统有 120 个终端,每个终端有 5﹪的时间在使用,若各个终端使用与否是相互独
立的,试求有10个或10个以上终端在使用的概率.(已知√57≈2.387,Φ(1.675)=0.95352) 4.设ξ为NO,1)分布的随机变量n为自由度为n的x2-分布随机变量又ξ、n相互独立 试求=、m1n 的密度函数
立的,试求有 10 个或 10 个以上终端在使用的概率.(已知 5.7 2.387,Φ(1.675)=0.95352) 4. 设 为 N(0,1)分布的随机变量, 为自由度为 n 的 2 -分布随机变量,又 、 相互独立, 试求 / n = 的密度函数
绝密 卷号 黄冈师范学院考试 试题参考答案及评分标准 专业名称:数学及应用数学 试卷类型:B卷 课程名称:概率论 命题日期:2001-1223 、叙述下列概念的定义(每小题5分,共20分) 1.一个试验如果满足下述条件: (1)试验可以在相同的情形下重复进行 (2)试验的所有可能结果是明确可知道的,并且不止一个 (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验 会出现哪一个结果 就称这样的试验是一个随机试验. 2.如果试验E只有两个可能的结果:A及A,并且P(4)=P,P(A)=1-P=q(其中 0<p<1),把E独立地重复n次的试验构成了一个试验,这个试验称作n重贝努里 Bernoulli 试验,简称为贝努里试验或贝努里概型. 3.若(5,m)是一个二维随机变量,且 (2-E)(7-En < 则称 Cov",)=E(-EWm-bm/s-E5(n-EnlCo5,m) D5八√Dn川√DDn 为随机变量ξ与m的相关系数 4.设{n}(n=1,2,…)为随机变量序列,ξ为随机变量,其对应的分布函数分别为 Fn(x)(n=1,2,…),F(x).若在F(x)的连续点,有mFn(x)=F(x),则称随机变量序 列{n}依分布收敛于5.记作5n—→(n→∞) 选择题(每小题2分,共20分) 1.A2.D3.B4.C5.D6.A7.A8.C9.A10.C
·绝密· 卷号： 黄 冈 师 范 学 院 考 试 试题参考答案及评分标准 专业名称：数学及应用数学 试卷类型： B 卷 课程名称： 概 率 论 命题日期：2001-12-23 一、叙述下列概念的定义(每小题 5 分，共 20 分) 1.一个试验如果满足下述条件: (1)试验可以在相同的情形下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知道的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验 会出现哪一个结果. 就称这样的试验是一个随机试验. 2.如果试验 E 只有两个可能的结果: A 及 A ，并且 P(A) = p ， P(A) =1− p = q (其中 0< p <1)，把 E 独立地重复 n 次的试验构成了一个试验，这个试验称作 n 重贝努里(Bernoulli) 试验，简称为贝努里试验或贝努里概型. 3.若( ， )是一个二维随机变量，且 − − D E D E E ( ) ( ) 则称 ( , ) [( )( )] Cov = E − E − E = D D Cov D E D E E = − − ( , ) 为随机变量 与 的相关系数. 4. 设 { } n ( n =1，2，…)为随机变量序列， 为随机变量，其对应的分布函数分别为 F (x) n ( n =1，2，…), F(x) . 若在 F(x) 的连续点，有 lim F (x) F(x) n n = → ，则称随机变量序 列 { } n 依分布收敛于 .记作 ⎯→ (n → ) w n . 二、选择题(每小题 2 分，共 20 分) 1.A 2.D 3.B 4.C 5.D 6.A 7.A 8.C 9.A 10.C
三、填空题(每小题2分,共10分) 1.与n相互独立 3.彐a(≠0、b,stP(Y=aX+b)=1 01-21 1 四、判断题(每小题2分,共10分) 五、计算题(每小题10分,共40分) 1.解:n个点把(0,1)区间分成(n+1)段,它们的长度分别依次记为51,2,…,En+1根据对 称性,每一个5的概率分布相同,从而数学期望也相同.但1+52+…+n1=1,故 EEn +1 而相距最远的两点间的距离为5=52+53+…+5n,故EE=n-1 n+1 2解:设A1、A2分别表示发报台发出信号“·”及“-”;B1、B2分别表示收报台收到信 号“·”及“-”·则由已知有:P(41)=0.6,P(A2)=0.4, 且P(B1A)=0.8,P(B2|A1)=0.2,P(B2|A2)=0.9,P(B|A2)=0.1 (1)P(B2)=P(B2A2)+P(B2A1)=P(B2|A2)P(A2)+P(B2A)P(A1)=0.9×0.4+0.2 0.6=0.48 则P(A2|B2)= P(A2B2)P(B2|A2)P(A2)0.9×04 P(B2) P(B2) 0.48 3.解设5≈,第个终端正在使用 0.第个终端没有使用 (=12…,120),则 P=P(51=1)=5%=0.05,q=1-P=0.95,n=120 所以p=120×0.05=6,npq=120×0.05×0.95=5.7
三、填空题(每小题 2 分，共 10 分) 1. 与相互独立 2. 3 4 3. a( 0)、b,s.t.P(Y = aX + b) = 1 4. − − = 1, 1 , 1 1 2 1 0, 1 ( ) x x x F x 5. 9 1 四、判断题(每小题 2 分，共 10 分) 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 五、计算题(每小题 10 分，共 40 分) 1.解： n 个点把(0,1)区间分成( n +1)段，它们的长度分别依次记为 1 2 1 , , , n+ .根据对 称性，每一个 i 的概率分布相同，从而数学期望也相同.但 1 + 2 ++ n+1 =1 ，故 1 1 + = n E i . 而相距最远的两点间的距离为 = 2 + 3 ++ n ，故 1 1 + − = n n E . 2.解：设 A1、 A2 分别表示发报台发出信号“·”及“-”； B1、B2 分别表示收报台收到信 号“·”及“-”.则由已知有： ( ) P A1 =0.6， ( ) P A2 =0.4， 且 ( | ) P B1 A1 =0.8， ( | ) P B2 A1 =0.2， ( | ) P B2 A2 =0.9， ( | ) P B1 A2 =0.1 (1) ( ) P B2 = ( ) ( ) P B2A2 + P B2A1 = ( | ) ( ) ( | ) ( ) P B2 A2 P A2 + P B2 A1 P A1 =0.9×0.4+0.2× 0.6=0.48 则 ( | ) P A2 B2 = ( ) ( ) 2 2 2 P B P A B = ( ) ( | ) ( ) 2 2 2 2 P B P B A P A = 0.48 0.9 0.4 =0.75 3.解：设 ( 1,2, ,120) 0, 1, = = i i i i 第 个终端没有使用 第 个终端正在使用 ，则 = ( =1) p P i =5﹪=0.05， q = 1− p =0.95， n =120 所以 np =120×0.05=6， npq =120×0.05×0.95=5.7
令7=∑5,则P∑5≥10)=P(210)=1-P(m0 0. x≤0 这时可知,与√n/n仍相互独立,于是(,√m/n)的联合密度函数为: p(xI, x2) 2r r( 0<x<+ 这时由卷积公式即得 n()x1“x 令x2(y2+n)=t,则有 n+ P2() 即为所求这里利用了下述等式:
令 = = 120 i 1 i ，则 ( 10) ( 10) 120 1 = = P P i i =1- P( 10) =1- ) 10 ( npq np npq np P − − =1- ) 5.7 4 ( − npq np P ≈1- ) 5.7 4 ( ≈1-(1.68) =1-0.95352=0.04648 4.解： 的密度函数为：p(x)= − − 0, 0 , 0 2 2 1 2 1 2 2 x x e x n n x n , 易求得 / n 的密度函数为:p2(x)= ( ) − − 0, 0 , 0 2 2 1 2 2 2 2 x x e x n nx n n n . 这时可知, 与 / n 仍相互独立,于是(, / n )的联合密度函数为: p(x1,x2)= ( ) + − − − − x x e x n e nx n n n x 0, 0 , 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . 这时由卷积公式即得: ( ) + − = 0 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) e x dx n p y n x y n n n . 令 x 2 (y2 +n)=t,则有: p ( y) = ( ) ( ) − − + + − + 0 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ( ) 2 y n t e dt n n t n n n = ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 1 + − + + n n n n y n . 即为所求.这里利用了下述等式: ( ) − + + + 0 2 2 1 2 2 1 1 2 1 t e dt n t n n =1
