第三章连续型随机变量 三章型魔杌变 §3.1随机变量及分布函数 教学目的要求: 掌握随机变量、分布函数两个基本概念及分布函数的性质,并会求一些随机变量的分布 函数为后面的学习打下基础 教材分析: 1.概括分析:在第二章中我们研究了离散型随机变量,在那里随机变量只取有限个 或可列个值,这当然有很大的局限性在许多随机现象中出现的一些变量,它们的取值是可 以充满某个区间或区域的(也就不会只取有限个或可列个的值),概率论的任务是要研究它 们的统计规律,那么对于这种更一般的随机变量,如何来描述它的统计规律呢?因为单点 集的长度为零.由此可知,用“分布列”是行不通的,需要另外找一个合适的“工具 分布函数.本节是概率论中的基本内容之一学习本节,要求学生掌握随机变量、分布函数 等基本概念,并会求一些随机变量的分布函数 2.教学重点:随机变量、分布函数等基本概念,求一些随机变量的分布函数 3.教学难点:并会求一些随机变量的分布函数 教学过程: 、导入: 在第二章中我们研究了离散型随机变量,在那里随机变量只取有限个或可列个值, 这当然有很大的局限性.在许多随机现象中出现的一些变量,如“测量某地气温”,“某 型号显像管的寿命”,“某省髙考体格检査时每个考生的身高、体重”等,它们的取值是 以充满某个区间或区域的(也就不会只取有限个或可列个的值),如同离散型随机变量, 这些变量的取值是随着试验结果的变化而变化的,因而在试验之前是不确定的,概率论 的任务是要研究它们的统计规律,那么对于这种更一般的随机变量,如何来描述它的统 计规律呢?不妨先看下述例子 [例3.1]等可能地在[a,b]上投点这是第一章中曾经讨论过的几何概率一类的问 题.在这里“等可能”的含意是指,所投的点落在[a,b]中的任一子区间B=[c,d]中的概率, 与B的长度l成正比,而与B在[a,b]中的位置无关如果记“点落入B中”这一事件为 B,则上述等可能性即意味着 P(B)= b-a b-a 如果投在[a,b]中的点的坐标为o(a≤o≤b),令 (ω)=(a≤ω≤b) 这样就得到了一个随机变量ξ(ω),它的取值充满了整个区间[a,b.如何来描写
第三章 连续型随机变量 ·７４· 第三章 连续型随机变量 §3.1 随机变量及分布函数 教学目的要求： 掌握随机变量、分布函数两个基本概念及分布函数的性质,并会求一些随机变量的分布 函数,为后面的学习打下基础. 教 材 分 析 ： 1．概括分析：在第二章中我们研究了离散型随机变量,在那里随机变量只取有限个 或可列个值,这当然有很大的局限性.在许多随机现象中出现的一些变量,它们的取值是可 以充满某个区间或区域的(也就不会只取有限个或可列个的值),概率论的任务是要研究它 们的统计规律,那么对于这种更一般的随机变量,如何来描述它的统计规律呢？因为单点 集的长度为零.由此可知,用“分布列”是行不通的,需要另外找一个合适的“工具”---- 分布函数.本节是概率论中的基本内容之一.学习本节,要求学生掌握随机变量、分布函数 等基本概念,并会求一些随机变量的分布函数. 2．教学重点：随机变量、分布函数等基本概念,求一些随机变量的分布函数. 3．教学难点：并会求一些随机变量的分布函数. 教 学 过 程 ： 一、导入: 在第二章中我们研究了离散型随机变量,在那里随机变量只取有限个或可列个值, 这当然有很大的局限性.在许多随机现象中出现的一些变量,如“测量某地气温”,“某 型号显像管的寿命”,“某省高考体格检查时每个考生的身高、体重”等,它们的取值是 可以充满某个区间或区域的(也就不会只取有限个或可列个的值),如同离散型随机变量, 这些变量的取值是随着试验结果的变化而变化的,因而在试验之前是不确定的,概率论 的任务是要研究它们的统计规律,那么对于这种更一般的随机变量,如何来描述它的统 计规律呢？不妨先看下述例子. [例 3.1] 等可能地在[a,b]上投点.这是第一章中曾经讨论过的几何概率一类的问 题.在这里“等可能”的含意是指,所投的点落在[a,b]中的任一子区间 B=[c,d]中的概率, 与 B 的长度 l B 成正比,而与 B 在[a,b]中的位置无关.如果记“点落入 B 中”这一事件为 B,则上述等可能性即意味着 P(B)= b a lB − = b a d c − − . 如果投在[a,b]中的点的坐标为ω(a≤ω≤b),令 (ω)=ω (a≤ω≤b) 这样就得到了一个随机变量 (ω),它的取值充满了整个区间[a,b].如何来描写
第三章连续型随机变量 ξ(ω)的统计规律呢?你可能会想到,既然对于离散型随机变量,可以用分布列描述它 们的统计规律,何不仍采用“分布列”这个工具呢?既然有这个想法,那就来看看这个 5(u)的“分布列”吧!对于上述的,它取[a,b]中任意一点值ωo的概率为 P((o)=)=P(=0) 因为单点集的长度为零.由此可知,用“分布列”是行不通的,需要另外找一个合适 的“工具”,前面己经指出“点落入B中”的概率与B的长度lB成正比,设B=[c,d]c[a,b], 就有 P(≤5≤d)=P(点落入B中)=P(B)=2a=c 又因为P{2=d}=0,所以 P(c≤≤d)=P(c≤5<d) 而 P(c≤5d)=P(5<d)-P(5<c) 于是 P(c≤≤d)=P(5<d)-P(<c) 这就告诉我们,为了掌握ξ(ω)的统计规律,只要对任意实数x,知道 P(5(ω)<x)=?就够了这个概率当然与x有关,为此记 F(x)=P(()<x) 于是F(x)对所有x∈(-∞,+∞)都有定义,因而F(x)是定义在(-∞,+∞)上,取值于 [0,1]的一个函数.现在就引入下述定义 随机变量及分布函数的概念: 定义3.1定义在样本空间Ω上,取值于实数域的函数ξ(ω),称为是样本空间9上 的(实值)随机变量,并称 F(x)=P(5(o)<x),x∈(-∞,-∞) 是随机变量ξ(ω)的概率分布函数简称为分布函数或分布 三、分布函数的性质 从概率的性质容易看出任意一个随机变量的分布函数,都具有下述性质 (1)单调性.若x<x2,则F(x1)≤F(x2);
第三章 连续型随机变量 ·７５· (ω)的统计规律呢？你可能会想到,既然对于离散型随机变量,可以用分布列描述它 们的统计规律,何不仍采用“分布列”这个工具呢？既然有这个想法,那就来看看这个 (ω)的“分布列”吧!对于上述的,它取[a,b]中任意一点值ω0 的概率为 P( (ω)=ω0)=P(ω=ω0)= b a l − 0 =0 因为单点集的长度为零.由此可知,用“分布列”是行不通的,需要另外找一个合适 的“工具”,前面已经指出“点落入 B 中”的概率与 B 的长度 l B 成正比,设 B=[c,d]⊂[a,b], 就有 P(c≤ ≤d)=P(点落入 B 中)=P(B)= b a d c − − 又因为 P{ =d}=0,所以 P(c≤ ≤d)＝P(c≤ <d) 而 P(c≤ <d)=P( <d)-P( <c) 于是 P(c≤ ≤d)=P( <d)-P( <c) 这就告诉我们 , 为了掌握 ( ω ) 的统计规律 , 只要对任意实数 x, 知 道 P( (ω)<x)=？就够了.这个概率当然与 x 有关,为此记 F(x)＝P( (ω)<x) 于是 F(x)对所有 x∈(- ,+ )都有定义,因而 F(x)是定义在(- ,+ )上,取值于 [0,1]的一个函数.现在就引入下述定义. 二、随机变量及分布函数的概念: 定义 3.1 定义在样本空间Ω上,取值于实数域的函数 (ω),称为是样本空间Ω上 的(实值)随机变量,并称 F(x)=P( (ω)<x),x∈(- ,- ) 是随机变量 (ω)的概率分布函数.简称为分布函数或分布. 三、分布函数的性质: 从概率的性质容易看出任意一个随机变量的分布函数,都具有下述性质: (1) 单调性. 若 x1<x2,则 F(x1)≤F(x2);
第三章连续型随机变量 (2)规范性.F(-∞)=limF(x)=0,F(+∞)=limF(x)=1 (3)左连续性.F(x-0)=F(x) 性质(1)的证明是显然的,请读者自己完成.下面证明(2)和(3) 先证明(2),因为0≤F(x)≤1,且F(x)单调,故 lim F(x)=lim F(m) lim F(x)=lim F(n) 都存在,又由概率的完全可加性有 1((0)=01(05n+小m≤50)<n+) im∑P≤5(o)<1+)=lmF(m)-mF(m) N-o r=m 所以必有 F(x)=0,F(x) 成立 再证明(3),因为F(x)是单调有界函数,其任一点的左极限F(x-0)必存在,为证明左 连续,只要对某一列单调上升的数列 x1<x2<…<xa<…,xn→x(n→∞) 明 lim F(x=F(x) 立即可.这时,有 F(x)-F(x)=P(x≤5<x)=P代U[n≤5(o)<xm ∑P(xn≤{(o)<xn)=∑[F(xn)-F(x lim [F(xn 1)-F(xu)]=lm F(xa1)-F(xu) 由此即得 F(x)=lim F(xn-1=F(x-o) 分布函数的三个基本性质已经证毕.反过来还可以证明,任一满足这三个性质的函 数,一定可以作为某个随机变量的分布函数.因此,满足这三个性质的函数通常都称为分 布函数 知道了随机变量ξ(ω)的分布函数F(x),不仅掌握了{5(o)<x}的概率,而且还可 以计算下述概率 P{2(o)≥x}=1-F(x)
第三章 连续型随机变量 ·７６· (2) 规范性. F(- )= x→− lim F(x)=0, F(+ )= x→+ lim F(x)=1; (3) 左连续性.F(x-0)=F(x). 性质(1)的证明是显然的,请读者自己完成.下面证明(2)和(3). 先证明(2),因为 0≤F(x)≤1,且 F(x)单调,故 x→− lim F(x)= m→− lim F(m) x→+ lim F(x)= n→+ lim F(n) 都存在,又由概率的完全可加性有 1=P(- < (ω)<+ )=P + + =− n n () n 1 = ( ) + =− + n P n () n 1 = ( ) = →− →+ + n i m m n lim P i () i 1 = n→+ lim F(n)- m→− lim F(m) 所以必有 F(x)=0, F(x)=1 成立. 再证明(3),因为 F(x)是单调有界函数,其任一点的左极限 F(x-0)必存在,为证明左 连续,只要对某一列单调上升的数列 x1<x2<…<xn<…, xn→x(n→ ) 证明 n→+ lim F(xn)=F(x) 成立即可.这时,有 F(x)-F(x1)=P(x1≤ <x)=P ( ) = + 1 1 n n n x x = ( ) = + 1 1 ( ) n n n P x x = = + − 1 1 ( ) ( ) n n n F x F x = n→ lim [F(xn+1)-F(x1)]= n→ lim F(xn+1)-F(x1) 由此即得 F(x)= n→ lim F(xn+1)=F(x-0) 分布函数的三个基本性质已经证毕.反过来还可以证明,任一满足这三个性质的函 数,一定可以作为某个随机变量的分布函数.因此,满足这三个性质的函数通常都称为分 布函数. 知道了随机变量 (ω)的分布函数 F(x),不仅掌握了｛ (ω)<x｝的概率,而且还可 以计算下述概率. P{ (ω)≥x}=1-F(x)
第三章连续型随机变量 P{2(o) P{5(o)>x}1-F(x+0) P{5(o)=x}=F(x+0)-F(x) 进一步,形如{x:≤5()≤x2}、{x<()x、{x15()≤x2、{x1≤5(o)<x 这些事件以及它们经过有限次或可列次并、交、差以后的概率,都可以由F(x)算出来 所以F(x)全面地描述了随机变量ξ(ω)的统计规律.既然分布函数能够描述一般的随机 变量的统计规律,因而分布函数这个概念比分布列更重要.不过,对离散型随机变量来说, 用得较多的还是分布列,那是因为它比较方便的缘故 四、离散型随机变量的分布函数与分布列之间的关系 现在就来看离散型随机变量的分布函数与分布列之间有怎样的关系?如果5(o) 是一个离散型随机变量,它的分布列为 (P, p2 那么ξ(ω)的分布函数为 F(x)=P(5(o)()=∑P(5(o)=a) 五、应用举例: [例3.2]若5只取一个值a,即有 P(5=a)=1 求的分布函数F(x) [解]易知 F(x)=P(5<x) 0.x≤a 其图形如图3.1所示 由图3.1我们看到F(x)是一个左连续的、阶梯状的函数,在x=处有一个跳跃,其跃 度为 1=P(5=a)
第三章 连续型随机变量 ·７７· P{ (ω)≤x}=F(x+0) P{ (ω)>x}1-F(x+0) P{ (ω)=x}=F(x+0)-F(x) 进一步,形如{x1≤ (ω)≤x2}、{x1< (ω)<x2}、{x1< (ω)≤x2}、{x1≤ (ω)<x2} 这些事件以及它们经过有限次或可列次并、交、差以后的概率,都可以由 F(x)算出来, 所以 F(x)全面地描述了随机变量 (ω)的统计规律.既然分布函数能够描述一般的随机 变量的统计规律,因而分布函数这个概念比分布列更重要.不过,对离散型随机变量来说, 用得较多的还是分布列,那是因为它比较方便的缘故. 四、离散型随机变量的分布函数与分布列之间的关系: 现在就来看离散型随机变量的分布函数与分布列之间有怎样的关系？如果 (ω) 是一个离散型随机变量,它的分布列为 1 2 1 2 p p a a 那么 (ω)的分布函数为 F(x)=P( (ω)<x)= = a x i i P(() a ) 五、应用举例: [例 3.2] 若 只取一个值 a,即有 P( =a)=1 求 的分布函数 F(x). [解] 易知 F(x)=P( <x)= x a x a 0, 1, 其图形如图 3.1 所示. 由图 3.1 我们看到 F(x)是一个左连续的、阶梯状的函数,在 x=a 处有一个跳跃,其跃 度为 1=P( =a)
第三章连续型随机变量 [例3.3]设ξ是参数为的普哇松分布的随机变量, P(E-K KI k=0,1,2, 求的分布函数 [解]由公式知道 F(x)=P(5)=∑P(=k)=∑ 由此,F(x)的图形如图3.2所示 由图3.2可以看到,F(x)也是一个阶梯状的左连续函数,在x=k(k=0,1,2,…处有跳 跃,跃度为ξ在x=k处的概率 F(k+0)-F(k)=P(5=k),e-,k=0,1,2,… 现在再来看例31中的随机变量ξ(o),它的分布函数F(x)是什么? [例3.1](续)当x<a时,易知有 F(x)=P(2(u)<x) 当a≤x≤b时,则有 F(x)=P(2(o)(x)=P(a≤5(o)<x) 当xb时,显然有 F(x)=P(5(o)<x)=1 综上所得,()的分布函数为 0. x< a a≤x≤b 其图形如图3.3所示 在第二章中我们已经知道,在单位时间内来到电话交换局的电话呼唤次数、来到公 共汽车站的乘客人数、来到机场降落的飞机数以及母鸡下蛋数等都可以用普哇松分布来 描述,即
第三章 连续型随机变量 ·７８· [例 3.3] 设 是参数为 的普哇松分布的随机变量,即 P( =k)= − e k k ! , k=0,1,2,… 求 的分布函数. [解] 由公式知道 F(x)=P( b 时,显然有 F(x)=P( (ω)<x)=1 综上所得, (ω)的分布函数为 F(x)= − − x b a x b b a x a x a 1, , 0, 其图形如图 3.3 所示. 在第二章中我们已经知道,在单位时间内来到电话交换局的电话呼唤次数、来到公 共汽车站的乘客人数、来到机场降落的飞机数以及母鸡下蛋数等都可以用普哇松分布来 描述,即
第三章连续型随机变量 以,k=0.1,2 并且还知道其中的参数A为单位时间内(来到的呼唤数、乘客入数、飞机数、下蛋数等) 的平均值.如果现在考察的不是单位时间,而是[0,t],那么这个平均值应该与时间t成正 比,也就是At,又因为普哇松分布具有可加性,所以在[0,t]这段时间内(来到的呼唤数、 乘客数、飞机数、下蛋数等)应该服从 P(()4)(nc,k-12 这是一个参数为At的普哇松分布.由此可知,上述在[0,t]时间内来到的呼唤数、乘客 数、飞机数、下蛋数等虽然来源于不同的实际问题,却有相同的数量规律——都可以用 普哇松分布来描述,在数学(排队论)中称它们是“普哇松流”,以机场跑道为例,在来到 一架飞机以后,这条跑道就空闲着等待着下一架飞机的到来,这段空闲着的时间称为“等 待时间”,它的长短当然是随机的在公用事业(电话、公共汽车、飞机场等)的设计与规 划中,这个“等待时间”太长和太短都是不合理的,因而有必要研究这个“等待时间”有 怎样的统计规律?现在不妨仍以“母鸡下蛋”的语言来讨论这个问题,这就是下面的例 子 [例3.4]设母鸡在任意的[ta,to+t]的时间间隔内下蛋个数服从 P(5,(o)==(4)。-x,k=0,1,2, 问两次下蛋之间的“等待时间”n服从怎样的分布函数? [解]设前一次下蛋时刻为0,因为n不可能为负,所以当t≤0时,显然有 P(n0时,因为在等待时间内鸡不下蛋 (n>t)=(5()=0) 所以有 P(n)>=P(E,()=0)=6 于是 P(n≤t)=1P(n>t)=1-e4 还因为 (n4)Un≤1-n 由概率的下连续性(定理1.1)即得
第三章 连续型随机变量 ·７９· P( (ω)=k)= − e k k ! , k=0,1,2,… 并且还知道其中的参数 为单位时间内(来到的呼唤数、乘客入数、飞机数、下蛋数等) 的平均值.如果现在考察的不是单位时间,而是[0,t],那么这个平均值应该与时间t成正 比,也就是 t,又因为普哇松分布具有可加性,所以在[0,t]这段时间内(来到的呼唤数、 乘客数、飞机数、下蛋数等)应该服从 P( t(ω)=k)= t k e k t − ! ( ) , k=0,1,2,… 这是一个参数为 t 的普哇松分布.由此可知,上述在[0,t]时间内来到的呼唤数、乘客 数、飞机数、下蛋数等虽然来源于不同的实际问题,却有相同的数量规律----都可以用 普哇松分布来描述,在数学(排队论)中称它们是“普哇松流”,以机场跑道为例,在来到 一架飞机以后,这条跑道就空闲着等待着下一架飞机的到来,这段空闲着的时间称为“等 待时间”,它的长短当然是随机的.在公用事业(电话、公共汽车、飞机场等)的设计与规 划中,这个“等待时间”太长和太短都是不合理的,因而有必要研究这个“等待时间”有 怎样的统计规律？现在不妨仍以“母鸡下蛋”的语言来讨论这个问题,这就是下面的例 子. [例 3.4] 设母鸡在任意的[t0,t0+t]的时间间隔内下蛋个数服从 P( t(ω)=k)= t k e k t − ! ( ) , k=0,1,2,… 问两次下蛋之间的“等待时间” 服从怎样的分布函数？ [解] 设前一次下蛋时刻为 0,因为 不可能为负,所以当 t≤0 时,显然有 P( 0 时,因为在等待时间内鸡不下蛋 ( >t)=( t(ω)=0) 所以有 P( >t)=P( t(ω)=0)=e - t 于是 P( ≤t)=1-P( >t)=1-e - t 还因为 ( <t)= = − 1 1 n n t 由概率的下连续性(定理 1.1)即得
第三章连续型随机变量 P(nt)Pn≤t--}=mPn≤t lim 1-e 4-# 从而描述的分布函数为 e I> F(t)=p(n<t)= 0.t≤0 概率论中称这个分布函数是参数为λ的指数分布.我们已经看到,许多“等待时间” 是服从这个分布的,一些没有明显“衰老”机理的元器件(如半导体元件)的寿命也可以 用指数分布来描述,所以指数分布在排队论和可靠性理论等领域中有着广泛的应用 由上面的讨论可以看到分布函数是实变量x的单值函数这是我们在数学分析中早已熟 悉的对象而且F(x)又具有相当好的性质有利于进行数学处理因而引入随机变量和分布 函数这两个概念,就好像在随机现象和数学分析之间架起了一座桥梁,有了这座桥梁,“数 学分析”这个强有力的工具才有可能进入随机现象的研究领域中来由此可以体会到随机 变量及分布函数这两个概念的地位和作用在下面的讨论中还可以进一步看到数学分析 这个工具是如何发挥它的功能的 §32连续型随机变量 教学目的要求: 掌握连续型随机变量、连续型分布函数、密度函数等基本概念及密度函数的性质,并会 求一些连续型随机变量的密度函数为后面的学习打下基础 教材分析 1.概括分析:在第二章中我们研究了离散型随机变量,在那里随机变量只取有限个 或可列个值,这当然有很大的局限性.本节要研究另一类十分重要而且常见的随机变量 连续型随机变量.它是概率论中的基本内容之一学习本节,要求学生掌握连续型随机 变量、连续型分布函数、密度函数等基本概念及密度函数的性质,并会求一些连续型随机变 量的密度函数 2.教学重点:连续型随机变量、连续型分布函数、密度函数等基本概念及密度函 数的性质,连续型随机变量的密度函数的求法 3.教学难点:连续型随机变量、连续型分布函数、密度函数等基本概念及密度函 数的求法 教学过程 、连续型随机变量和概率密度函数的概念 在第二章里,已经对离散型随机变量作了一些研究,下面将要研究另一类十分重要 而且常见的随机变量——连续型随机变量
第三章 连续型随机变量 ·８０· P( <t)=P − = 1 1 n n t = − → n P t n 1 lim = − − − → n n e 1 1 lim 1 =1- t e − 从而描述 的分布函数为 F(t)=P( <t)= − − 0, 0 1 , 0 t e t t 概率论中称这个分布函数是参数为 的指数分布.我们已经看到,许多“等待时间” 是服从这个分布的,一些没有明显“衰老”机理的元器件(如半导体元件)的寿命也可以 用指数分布来描述,所以指数分布在排队论和可靠性理论等领域中有着广泛的应用. 由上面的讨论可以看到,分布函数是实变量 x 的单值函数,这是我们在数学分析中早已熟 悉的对象,而且 F(x)又具有相当好的性质,有利于进行数学处理,因而引入随机变量和分布 函数这两个概念,就好像在随机现象和数学分析之间架起了一座桥梁,有了这座桥梁,“数 学分析”这个强有力的工具才有可能进入随机现象的研究领域中来.由此可以体会到随机 变量及分布函数这两个概念的地位和作用.在下面的讨论中,还可以进一步看到数学分析 这个工具是如何发挥它的功能的. §3.2 连续型随机变量 教学目的要求： 掌握连续型随机变量、连续型分布函数、密度函数等基本概念及密度函数的性质,并会 求一些连续型随机变量的密度函数,为后面的学习打下基础. 教 材 分 析 ： 1．概括分析：在第二章中我们研究了离散型随机变量,在那里随机变量只取有限个 或可列个值,这当然有很大的局限性.本节要研究另一类十分重要而且常见的随机变量 ----连续型随机变量.它是概率论中的基本内容之一.学习本节,要求学生掌握连续型随机 变量、连续型分布函数、密度函数等基本概念及密度函数的性质,并会求一些连续型随机变 量的密度函数. 2．教学重点：连续型随机变量、连续型分布函数、密度函数等基本概念及密度函 数的性质,连续型随机变量的密度函数的求法. 3．教学难点：连续型随机变量、连续型分布函数、密度函数等基本概念及密度函 数的求法. 教 学 过 程 ： 一、连续型随机变量和概率密度函数的概念: 在第二章里,已经对离散型随机变量作了一些研究,下面将要研究另一类十分重要 而且常见的随机变量----连续型随机变量
第三章连续型随机变量 定义3.2若5(ω)是随机变量,F(x)是它的分布函数,如果存在函数p(x),使对任意 的x,有 F(x)= p(y)dy 则称5(ω)对连续型随机变量,相应的F(x)为连续型分布函数,同时称p(x)是F(x)的概 率密度函数或简称为密度 密度函数的性质 由分布函数的性质即可验证任一连续型分布的密度函数p(x)必具有下述性质 (1)p(x)≥0; P(rdx= 反过来,任意一个R上的函数p(x),如果具有以上两个性质,即可由定义3.2定义 个分布函数F(x) 如果随机变量5(o)的密度函数为p(x),则对任意的x、x2(x<x2),有 P(x<5(o)<x2)=F(x2)-F(x1)= p(y)d) 这一结果有很简单的几何意义:ξ(ω)落在[x,x]中的概率,恰好等于在区间[x,x2]上 由曲线y=p(x)形成的曲边梯形的面积(图3.4中的阴影部分),而(2)式表明,整个曲线 y=p(x)以下(x轴以上)的面积为 三、概率密度函数与分布函数及概率的关系 由(3.15)式还可以证明,连续型随机变量ξ(ω)取单点值的概率为零,也就是说对 任意的x,P(5(o)=x)=0,于是有 P(x≤()0≤)P(x≤(o)x)+(0)=8)+P(x≤())p(地 如果p(x)在某一范围内的数值比较大,则由上式可知,随机变量落在这个范围内的 概率也较大,这意味着p(x)的确具有“密度”的性质,所以称它为概率密度函数.此外, 由定义式可知,对p(x)的连续点必有 F(x)=p(x) 四、应用举例: 在例3.1中已经知道
第三章 连续型随机变量 ·８１· 定义 3.2 若 (ω)是随机变量,F(x)是它的分布函数,如果存在函数 p(x),使对任意 的 x,有 F(x)= − x p(y)dy 则称 (ω)对连续型随机变量,相应的 F(x)为连续型分布函数,同时称 p(x)是 F(x)的概 率密度函数或简称为密度. 二、密度函数的性质: 由分布函数的性质即可验证任一连续型分布的密度函数 p(x)必具有下述性质: (1) p(x)≥0; (2) + − p(x)dx =1. 反过来,任意一个 R 上的函数 p(x),如果具有以上两个性质,即可由定义 3.2 定义一 个分布函数 F(x). 如果随机变量 (ω)的密度函数为 p(x),则对任意的 x1、x2(x1<x2),有 P(x1≤ (ω)<x2)=F(x2)-F(x1)= 2 1 ( ) x x p y dy 这一结果有很简单的几何意义: (ω)落在[x1,x2]中的概率,恰好等于在区间[x1,x2]上 由曲线 y=p(x)形成的曲边梯形的面积(图 3.4 中的阴影部分),而(2)式表明,整个曲线 y=p(x)以下(x 轴以上)的面积为 1. 三、概率密度函数与分布函数及概率的关系: 由(3.15)式还可以证明,连续型随机变量 (ω)取单点值的概率为零,也就是说对 任意的 x,P( (ω)=x)=0,于是有 P(x1≤()≤x2)=P(x1≤()<x2)+P(()=x2)=P(x1≤()<x2)= 2 1 ( ) x x p y dy 如果 p(x)在某一范围内的数值比较大,则由上式可知,随机变量落在这个范围内的 概率也较大,这意味着 p(x)的确具有“密度”的性质,所以称它为概率密度函数.此外, 由定义式可知,对 p(x)的连续点必有 ( ) ( ) ( ) F x p x dx dF x = = 四、应用举例: 在例 3.1 中已经知道
第三章连续型随机变量 x6 在x=a点和x=b点,F(x)的导数不存在,在这两个点上可以补充定义: 它的值也可以,因为两个点上的函数值并不影响p(x)在一个区间上的积分值),这时 显然有F(x)p)d成立,所以F(x)的密度函数为p(x),F()是一个连续型分布在 相应的随机变量可能取值的区间[ab]上,它的密度函数p(x)是一个常数(=—),这样的 分布常常称为“均匀分布”,其中“均匀”的意思就是例3.1中开始时提到的“等可能” 的意思.p(x)图形如图3.5所示 由图3.5可以看出,(o)落在[a,b]中任一子区间[x,x2]中的概率,即小曲边梯形的 面积,的确与[x,x]的位置无关,而只与[x,x2]的长度有关 [例3.4](续)在例3.4中,已知 F()s/1-e-,x>0 0,x≤0 如果 de 0 0 这时显然有F(x)=p()d,-00)是两个常数,则 是一个密度函数,因为这时p(x)>0为显然,此外还可以验证有
第三章 连续型随机变量 ·８２· F(x)= − − x b a x b b a x a x a 1, , 0, 显然这时有 − = = x b a x b b a x a F x p x 0, , 1 0, ( ) ( ) 在 x=a 点和 x=b 点,F(x)的导数不存在,在这两个点上可以补充定义: p(x)= b − a 1 , x=a 或 x=b (其它的值也可以,因为两个点上的函数值并不影响 p(x)在一个区间上的积分值),这时 显然有 F(x)= − x p(u)du 成立,所以 F(x)的密度函数为 p(x),F(x)是一个连续型分布.在 相应的随机变量可能取值的区间[a,b]上,它的密度函数 p(x)是—个常数(= b − a 1 ),这样的 分布常常称为“均匀分布”,其中“均匀”的意思就是例 3.1 中开始时提到的“等可能” 的意思.p(x)图形如图 3.5 所示. 由图3.5可以看出, ()落在[a,b]中任一子区间[x1,x2]中的概率,即小曲边梯形的 面积,的确与[x1,x2]的位置无关,而只与[x1,x2]的长度有关. [例 3.4](续) 在例 3.4 中,已知 F(x)= − − 0, 0 1 , 0 x e x x 如果 p(x)= − 0, 0 , 0 x e x x 这时显然有 F(x)= − − + x p(u)du, x 成立,所以指数分布也是一个连续型的分布, 它的密度函数 p(x)是一个指数函数,其图形如图 3.6 所示. [例 3.5] 若,(>0)是两个常数,则 p(x)= 2 2 2 ( ) 2 1 − − x e ,-∞0 为显然,此外还可以验证有
第三章连续型随机变量 厂ox)k= 为此,可令x=y,则 d x= 这时有 d d x dxd 现在作坐标变换,令 x=rose y=rsn e 这时,变换的雅可比式||=r,而 0 所以有 dy e 2 rdr d0=1 2 于是 p(x)dx=l 这说明由上式给出的确是一个密度函数,这个密度函数称为正态密度,相应的分布函数 为 F(x)= dy,-∞<x<∞ 并且称F(x)为正态分布,常常简单地记作N(μ,σ2).如果一个随机变量,ξ(o)的分布函数 是正态分布也称ξ(o)是一个正态变量 正态分布是概率论中最重要的一个分布,高斯( Gauss)在研究误差理论时曾用它来 刻划误差,所以在许多著作中也有称为高斯分布的,经验表明许多实际问题中的变量,如 测量误差、射击时弹着点与靶心间的距离、热力学中理想气体的分子速度、某地区成年 男子身高等都可以认为服从正态分布,进一步的理论研究表明,一个变量如果受到大量 微小的、独立的随机因素的影响,那么这个变量一般是一个正态变量,在下一章中我们将
第三章 连续型随机变量 ·８３· 1 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) = = + − − + − − p x dx e dx x 为此,可令 x − =y,则 + − + − − − − e dx = e dy x y 2 2 ( ) 2 2 2 2 1 2 1 这时有 + − + − + + − − + − − + − − − = = e dy e dx e dy e dxdy y x y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 现在作坐标变换,令 = = sin cos y r x r 这时,变换的雅可比式|J|=r,而 1 0 2 0 2 2 2 = = − − − r r e rdr e 所以有 1 2 1 2 1 2 0 0 2 2 2 2 2 = = + − − − e dy e rdr d y r 于是 ( ) =1 + − p x dx 这说明由上式给出的确是一个密度函数,这个密度函数称为正态密度,相应的分布函数 为: F(x)= − − x − y e dy 2 2 2 ( ) 2 1 ,-∞<x<∞ 并且称 F(x)为正态分布,常常简单地记作 N(, 2 ).如果一个随机变量, ()的分布函数 是正态分布.也称 ()是一个正态变量. 正态分布是概率论中最重要的一个分布,高斯(Gauss)在研究误差理论时曾用它来 刻划误差,所以在许多著作中也有称为高斯分布的,经验表明许多实际问题中的变量,如 测量误差、射击时弹着点与靶心间的距离、热力学中理想气体的分子速度、某地区成年 男子身高等都可以认为服从正态分布,进一步的理论研究表明,一个变量如果受到大量 微小的、独立的随机因素的影响,那么这个变量—般是一个正态变量,在下一章中我们将