黄冈师范学院考试试卷 2001-2002学年度第一学期期末考试A卷 科目:概率论出卷教师:吴卫压班级:数学本990班学号 姓名 三|四|五总分 叙述下列概念的定义(5分×4=20分) 1.概率的公理化定义 2.古典概型 3.随机变量 4.随机变量序列{}(n=1,2,…)依概率收敛于随机变量ξ 选择题(请将每小题唯一正确的答案序号写在答卷纸上,2分×10=20分) 1.已知事件A与B互不相容,P(A)>0,P(B)>0,则 B)=l B P(AB)=P(A). P(B)C P(AB=0 D P(AB)>o 2.设A,A2,…,A是事件,则事件的概率具有的如下性质中不正确的是 AP(2)=1B.P()=0cP(U4)=∑P(A)D.P(A)≥0(1≤i≤n 3.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5,P(A|B)=0.32,则P(AUB)= A.0.42 B.0.428 c D.0.528 4.一次抛二枚骰子,出现的点数之和为偶数的概率是 A.0.5 B.0.4 C.0.45 D.0.6 5.设5与m的数学期望和方差都存在,则下列等式中正确的是 A.D(+n)=D5+DnB.D(5·m)=5·Dn C.E(5+n)=E5+EnD.E(5·n)=5·E 6.设~b(k;n,p),且E=2.4,D=1.4,则n与p分别为 A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.1 7设随机变量ξ取两个值a,a2(a2>a1),且P(=a1)=0.6,又E=1.4,D=0.24,则的分布 列为 01 nn+ B. D. 0.604 0.60.4 0.604 0.60.4 8.设p(x)=cosx是随机变量ξ的密度函数,则x∈
黄冈师范学院考试试卷 2001─2002 学年度第一学期期末考试 A 卷 科目:概率论 出卷教师:吴卫兵 班级:数学本 990___班 学号:_____ 姓名:_______ 题 号 一 二 三 四 五 总 分 分 数 一、叙述下列概念的定义(5 分×4=20 分): 1.概率的公理化定义 2.古典概型 3.随机变量 4.随机变量序列{ξn}(n=1,2,…)依概率收敛于随机变量ξ 二、选择题(请将每小题唯一正确的答案序号写在答卷纸上,2 分×10=20 分) 1.已知事件 A 与 B 互不相容,P(A)>0,P(B)>0,则: A. P( AB )=1 B.P(AB)=P(A) ·P(B) C. P(AB)=0 D. P(AB)>0 2.设 A1,A2,…,An 是事件,则事件的概率具有的如下性质中不正确的是: A.P(Ω)=1 B.P(Φ)=0 C.P( n i Ai =1 )= = n i P Ai 1 ( ) D.P(Ai)≥0 (1≤i≤n) 3.已知 P(A)=0.3,P(B)=0.5,P(A|B)=0.32,则 P( A B )= A. 0.42 B. 0.428 C. 0.52 D. 0.528 4.一次抛二枚骰子,出现的点数之和为偶数的概率是 A. 0.5 B. 0.4 C. 0.45 D. 0.6 5.设 与 的数学期望和方差都存在,则下列等式中正确的是: A. D( + )=D +D B.D( · )=D ·D C. E( + )=E +E D.E( · )=E ·E 6.设ξ～b(k;n,p),且 Eξ=2.4,Dξ=1.44,则 n 与 p 分别为: A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4 C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1 7.设随机变量ξ取两个值 a1,a2(a2>a1),且 P(ξ=a1)=0.6,又 Eξ=1.4,Dξ=0.24,则ξ的分布 列为: A. 0.6 0.4 0 1 B. 0.6 0.4 a b C. + 0.6 0.4 n n 1 D. 0.6 0.4 1 2 8.设 p(x)=cosx 是随机变量ξ的密度函数,则 x∈
丌 B. C.[0,x] D.[ 9.已知(ξ,n)的联合密度为p(x,y) ∫24(1-x)y,0≤xs10≤y≤x 0, 其它 则Pm2(x|y) 「2y,0≤x≤10≤y≤x 2(1-y),0≤x≤1,0≤y≤x B 其它 0, 其它 C.20≤x≤1,0≤y≤x D21-x).0s: x≤1,0≤y≤x 其它 其它 10.设~U[0,1],则ξ的特征函数为 B 三、判断题(对的打“√”,错的打“×”,并请将答案写在答卷纸上,2分×5=10 分) 1.若随机变量ξ~e(A),则有E=AD5 2若随机变量与n的协方差为cov(,n),且5与n相互独立则cov(,n)=0 3.二维连续型随机变量5 的协方差矩阵B是正定矩阵 4设有一列随机变量nn,n2…,若nn4)m(n→∞,则n→m(n→∞) 0 <X< 5.设与7独立,都服从(O,1)上的均匀分布,则Pn(xly)= 0,其它 四、填空题(请将答案写在答卷纸上,2分×5=10分) 1.设随机变量(,n)的联合密度为p(xy,与门独立则p(xy= jo 5x.0<X<2 2.设随机变量ξ的密度为p(x)= 0.其它则的一阶原点矩为 中心矩为 3.设D(X),D(Y都不为0,若有常数a≠o与b,使P{Y=aX+b}=1,这时X与Y的相关系数 4.设(,n)~N(1,1,2,2,0,则EE=,Dn cov(, n)=
A.[0, 2 ] B.[ 2 , ] C.[0, ] D.[ 2 3 , 4 7 ] 9.已知(ξ,η)的联合密度为 p(x,y)= − 0, 其它 24(1 x) y, 0 x 1,0 y x ,则 ( | ) | p x y = A. 0, 其它 2y, 0 x 1,0 y x B. − 0, 其它 2(1 y), 0 x 1,0 y x C. 0, 其它 2x, 0 x 1,0 y x D. − 0, 其它 2(1 x), 0 x 1,0 y x 10.设ξ～U[0,1],则ξ的特征函数为: A. it e it −1 − B. it e it C. it e −it D. it e it −1 三、判断题(对的打“√”,错的打“×”,并请将答案写在答卷纸上,2 分×5=10 分). 1.若随机变量 ～e( ),则有 E = D . 2.若随机变量 与 的协方差为 cov (,),且 与 相互独立,则 cov (,) =0. 3.二维连续型随机变量 = 2 1 的协方差矩阵 B 是正定矩阵. 4.设有一列随机变量 , , , , 1 2 若 ⎯→ (n → ) L n ,则 ⎯→ (n → ) P n . 5.设ξ与 独立,都服从(0,1)上的均匀分布,则 = 0, 其它 1, 0 1 ( | ) | x p x y . 四、填空题(请将答案写在答卷纸上,2 分×5=10 分) 1.设随机变量 (,) 的联合密度为 p(x,y),ξ与 独立,则 p(x,y)=________________. 2.设随机变量ξ的密度为 p(x)= 0, 其它 0.5x, 0 x 2 ,则ξ的一阶原点矩为__________,一阶 中心矩为__________. 3.设 D(X),D(Y)都不为０,若有常数 a≠o 与 b,使Ｐ{Y=aX+b}=1,这时 X 与 Y 的相关系数 XY = . 4.设 (,)～N(1,1,2,2,0),则 Eξ=_______,D =________,cov (,)=________
5设(,n)~N(1,1,1,1,1,则E(5|n=2)= 五、计算题(10分×4=40分) 1.N个人同乘一辆长途汽车,沿途有n个车站,每到一个车站时,如果没有人下车,则不停车 设每个人在任一站下车是等可能的,求停车次数的平均数 2.从5双不同尺码的鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少? 3.一个螺丝钉的重量是个随机变量,其期望值是1克,标准差是0.1克.求一盒(100个)螺丝 钉重量大于102克的概率.(已知Φ(2)=0.97725) 4设与n相互独立分别是自由度为n及m的x2-分布的随机变量试求占=几的密度函
5.设 (,)～N(1,1,1,1,1),则 E(ξ| =2)=__________. 五、计算题(10 分×4=40 分) 1.N 个人同乘一辆长途汽车,沿途有 n 个车站,每到一个车站时,如果没有人下车,则不停车. 设每个人在任一站下车是等可能的,求停车次数的平均数. 2.从 5 双不同尺码的鞋子中任取 4 只,4 只鞋子中至少有 2 只配成一双的概率是多少? 3.一个螺丝钉的重量是个随机变量,其期望值是 1 克,标准差是 0.1 克.求一盒(100 个)螺丝 钉重量大于 102 克的概率.(已知Φ(2)=0.97725) 4.设 与 相互独立,分别是自由度为 n 及 m 的 2 -分布的随机变量,试求 m n = 的密度函 数
绝密 卷号 黄冈师范学院考试 试题参考答案及评分标准 专业名称:数学及应用数学 试卷类型:A卷 课程名称:概率论 命题日期:2001-1223 、叙述下列概念的定义(每小题5分,共20分) 1.概率是定义在σ-代数∮上的一个非负的、规范的、可列可加的集函数. 具有下述两个特征的随机试验所对应的数学模型称为古典概型 (1)样本空间的元素即基本事件)只有有限个,不妨设为n个,记为O1、O2、…、On (2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有P(O1)=P(o2)=…=P(On) 3.定义在样本空间Ω上,取值于实数域R的变量5=5(),称作随机变量 4如果vε>0,有mP(5n-5kε)=1,则称随机变量序列{5n}依概率收敛于5.记作 im5nP或5n-5(n→∞) 选择题(每小题2分,共20分) 1.C2.C3.B4.A5.C6.B7.D 9.D 、填空题(每小题2分,共10分) 1.P(x)P(y)2.;,03.±14 四、判断题(每小题2分,共10分) 3.× 五、计算题(每小题10分,共40分) 1.解:设停车次数为5 0,在第站无人下车 令5表示在第i站停车的次数,则5= (i=1,2,…,n) 1,在第i站有人下车
·绝密· 卷号： 黄 冈 师 范 学 院 考 试 试题参考答案及评分标准 专业名称：数学及应用数学 试卷类型： A 卷 课程名称： 概 率 论 命题日期：2001-12-23 一、叙述下列概念的定义(每小题 5 分，共 20 分) 1.概率是定义在 -代数 ℱ 上的一个非负的、规范的、可列可加的集函数. 2.具有下述两个特征的随机试验所对应的数学模型称为古典概型. (1)样本空间的元素(即基本事件)只有有限个，不妨设为 n 个，记为 1 、2 、…、 n ； (2)每个基本事件出现的可能性是相等的，即有 ( ) ( ) ( ) P 1 = P 2 == P n . 3.定义在样本空间 上，取值于实数域 R 的变量 = () ，称作随机变量. 4.如果 0 ，有 lim (| − | ) = 1 → n n P ，则称随机变量序列 { } n 依概率收敛于 .记作 n P n→ lim 或 ⎯→ (n → ) P n . 二、选择题(每小题 2 分，共 20 分) 1.C 2.C 3.B 4.A 5.C 6.B 7.D 8.A 9.D 10.D 三、填空题(每小题 2 分，共 10 分) 1. P (x) P ( y) 2. 3 4 , 0 3. 1 4. 1 , 2 , 0 5. 2 四、判断题(每小题 2 分，共 10 分) 1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.√ 五、计算题(每小题 10 分，共 40 分) 1.解：设停车次数为 . 令 i 表示在第 i 站停车的次数，则 = 1, . 0, ; 在第 站有人下车 在第 站无人下车 i i i ( i =1，2，…， n )
因为P(=0)=(1-1),所以P(=1)=1-P(E1=0)=1-(1-1y 又=∑5,所以E5=E∑5)=∑E5=∑-(1--)]=m1-(1-) 答:停车次数的平均数为n-(1--)]. 2.解:设事件A为“4只鞋子中至少有2只配成一双”.显然,样本点总数为10只鞋子中任 取4只的组合数,即n=C1=210 事件A所包含的样本点数为k=CCC2C2+C3=130 k13013 所以P(A)=-= n21021 3解:设第i个螺丝钉的重量为5;(i=1,2,…,n),则 由已知E1=1,5=√D51=0.1,(i=1,2,…,n),n=100 ∑51-nE5 所以P∑5>102)=PC:5102)6W102-nE ∑5-10 0.l×√100 ≤2)≈1-Φ(2)=1-0.97725=0.02275 4解:自由度为n的2-分布的密度函数为 x> p(x)=2r( 0, x≤0 由此容易求得5/的密度函数为 (x) x≤0
因为 N i n P ) 1 ( = 0) = (1− ，所以 N i i n P P ) 1 ( = 1) = 1− ( = 0) = 1− (1− . 又 = = n i i 1 ，所以 ) ] 1 ) ] [1 (1 1 ( ) [1 (1 1 1 1 N n i N n i i n i i n n n E = E = E = − − = − − = = = . 答：停车次数的平均数为 ) ] 1 [1 (1 N n n − − . 2.解：设事件 A 为“4 只鞋子中至少有 2 只配成一双”.显然，样本点总数为 10 只鞋子中任 取 4 只的组合数，即 4 n = C10 =210. 事件 A 所包含的样本点数为 2 5 1 2 1 2 2 4 1 k = C5C C C + C =130. 所以 21 13 210 130 ( ) = = = n k P A . 3.解：设第 i 个螺丝钉的重量为 i ( i =1，2，…， n )，则 由已知 E i =1， i = D i =0.1，( i =1，2，…， n )，n =100. 所以 ( 102) 100 1 i= P i =1- ( 102) 100 1 i= P i =1- ) 102 ( 100 1 n n E n n E P i i i i i i − − = =1- 2) 0.1 100 100 ( 100 1 − i= i P ≈1-(2) =1-0.97725=0.02275 4.解：自由度为 n 的 2 -分布的密度函数为 = − − 0, 0. , 0; ) 2 2 ( 1 ( ) 2 1 2 2 x x e x n p x n x n 由此容易求得 n 的密度函数为 = − − 0, 0. ( ) , 0; ) 2 2 ( ( ) 2 1 2 2 x nx e x n n p x n nx n n
同理可求得刃的密度函数为 x>0 P2(x)=12r(m 于是由卷积公式得 p0=1x1p0xDr、n(my)em (mx)2e 2 dx 、勿D 令x(my+m)=t,则有 1 P e 2(y+m)dt 22r(=I( r(r(y)(my+m)223r("+ r(") (a 即为所要求的 其中 122b恰好是自由度为m+"的x2-分布的密度函数的积分 所以等于1
同理可求得 m 的密度函数为 = − − 0, 0. ( ) , 0; ) 2 2 ( ( ) 2 1 2 2 x mx e x m m p x m mx m m 于是由卷积公式得 + − p (y) = | x | p(yx, x)dx = − − − − 0 2 1 2 2 2 1 2 2 ( ) ) 2 2 ( ( ) ) 2 2 ( mx e dx m m nxy e n n x m mx m n nxy n = + − − + − + 0 2 ( ) 1 2 1 2 2 2 2 ) 2 ) ( 2 2 ( y x e dx n m n m n m n x ny m m n n m 令 x(ny + m) = t ，则有 p ( y) = − − + − + + + 0 2 1 2 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ) 2 ) ( 2 2 ( e ny m dt ny m t y n m n m n m n t m n n m = − − + + + − + + + 0 2 1 2 2 2 1 2 2 2 ) 2 2 ( 1 ( ) ) 2 ) ( 2 ( ) 2 ( t e dt m n ny m y n m n m m n m n t m n m n n n m = 2 1 2 2 2 ( ) ) 2 ) ( 2 ( ) 2 ( m n n n m ny m y n m n m m n + − + + . 即为所要求的. 其中 − − + + + 0 2 1 2 2 ) 2 2 ( 1 t e dt m n m n t m n 恰好是自由度为 2 m + n 的 2 -分布的密度函数的积分， 所以等于 1