§3.5随机变量的数字特征、契贝晓夫不等式 教学目的要求: 掌握随机变量的数学期望、方差、协方差、相关系数等几个基本概念及其性质,并会求一些 随机变量及函数的数学期望与方差,为后面的学习打下基础 教材分析: 1.概括分析:在前面我们研究了随机变量及其函数的分布,这是关于随机变量的一种完 全的描述.然而在很多情况下,关于随机变量的研究,我们需要知道的并不要求这样完全,而只 须知道关于它的一些数字特征就够了.在这些用来作为显示随机变量分布特征的数字中,最重 要的就是随机变量的数学期望、方差及矩.学习本节,要求学生掌握随机变量的数学期望、方差、 协方差、相关系数等基本概念及性质,并会求一些随机变量及函数的数学期望与方差 2.教学重点:随机变量的数学期望与方差等基本概念,一些随机变量及函数的数学期望 与方差的求法 3.教学难点:会求一些随机变量及函数的数学期望与方差 教学过程: 、导入 我们已经知道离散型随机变量ξ的数学期望为 E5=∑x,P(5=x 现在,自然要问连续型随机变量的数学期望是什么?我们就来讨论这个问题。 设ξ是一个连续型随机变量,密度函数为p(x),取分点 x0<x1<…<xn+1 则随机变量ξ落在Δx,=(x1,x1)中概率为 P(∈Ax p(x)a 当△x,相当小时,就有 P(5∈Ax1)≈p(x)Ax,i=0,1,…,n 这时,分布列为 x P(x)△x0p(x1)△x1…p(xn) 的离散型随机变量可以看是ξ的一种近似,而这个离散型随机变量的数学期望为 ,()a 它近似地表达了连续型随机变量的平均值.当分点愈密时,这种近似也就愈好,由数学分析知 上述和式以积分xx)为极限因而我们有下定义 连续型随机变量及其函数的数学期望: 101
１０１ §3.5 随机变量的数字特征、契贝晓夫不等式 教学目的要求： 掌握随机变量的数学期望、方差、协方差、相关系数等几个基本概念及其性质,并会求一些 随机变量及函数的数学期望与方差,为后面的学习打下基础. 教 材 分 析 ： 1．概括分析：在前面我们研究了随机变量及其函数的分布,这是关于随机变量的一种完 全的描述.然而在很多情况下,关于随机变量的研究,我们需要知道的并不要求这样完全,而只 须知道关于它的一些数字特征就够了.在这些用来作为显示随机变量分布特征的数字中,最重 要的就是随机变量的数学期望、方差及矩.学习本节,要求学生掌握随机变量的数学期望、方差、 协方差、相关系数等基本概念及性质,并会求一些随机变量及函数的数学期望与方差. 2．教学重点：随机变量的数学期望与方差等基本概念,一些随机变量及函数的数学期望 与方差的求法. 3．教学难点：会求一些随机变量及函数的数学期望与方差. 教 学 过 程 ： 一、导入: 我们已经知道离散型随机变量 的数学期望为: = = = 1 ( ) i i i E x P x 现在,自然要问连续型随机变量的数学期望是什么？我们就来讨论这个问题。 设 是一个连续型随机变量,密度函数为 p(x),取分点: x0<x1<…<xn+1 则随机变量 落在 i x =(xi,xi+1)中概率为: P( ∈ i x )= +1 ( ) i i x x p x dx 当 i x 相当小时,就有 P( ∈ i x )≈p(xi) i x , i=0,1,…,n 这时,分布列为: n n n p x x p x x p x x x x x ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 0 1 的离散型随机变量可以看是 的一种近似,而这个离散型随机变量的数学期望为: = n i i i i x p x x 0 ( ) 它近似地表达了连续型随机变量的平均值.当分点愈密时,这种近似也就愈好,由数学分析知 上述和式以积分 + − xp(x)dx 为极限,因而我们有下定义: 二、连续型随机变量及其函数的数学期望:
1.定义 定义37设是一个连续型随机变量密度函数为p(x),当1x1p(x)d<时,称 5的数学期望存在,且E=x(x)dx 这里要求1x1m(x)<∞的理由与离散型时要求∑x,|P(=x)<的理由是 相同的同离散型情形一样,连续型随机变量ξ的数学期望Eξ是的可能取值(关于概率)的平 例3.17设在[a,b]上均匀分布,求E [解]由例3.1知5的密度函数为 p(x)= a<xsb 0,其它 故 tx b 这个结果是显然的因为5在[a,b]上均匀分布,它取值的平均值当然应该在[a,b的中 a+b 间,也就是 [例3.18]设5的密度函数是参数为2的指数分布,求E5 n xde-dt=h 指数分布是最有用的“寿命分布”之一,由上述计算可知,一个元器件的寿命分布如果是 参数为λ的指数分布,则它的平均寿命为如果某种元器件的平均寿命为10(k=1,2,…) 小时,则相应的λ=10.在电子工业中人们就称该产品是“k级”产品.由此可知,k越大,则产 品的平均寿命越长,使用也就越可靠 [例3.19]设E是N(μ,02)分布的随机变量,求E 解]有 2To 令x,则:EF7z+i 由此可知,正态分布N(μ,o2)中的参数μ恰是服从该分布的随机变量的数学期望 102
１０２ 1.定义: 定义 3.7 设 是一个连续型随机变量,密度函数为 p(x) ,当 + − | x | p(x)dx 时,称 的数学期望存在,且 E = + − xp(x)dx . 这里要求 + − | x | p(x)dx 的理由与离散型时要求 = =1 | | ( ) i i i x P x 的理由是 相同的.同离散型情形一样,连续型随机变量 的数学期望 E 是的可能取值(关于概率)的平 均. [例 3.17] 设 在[a,b]上均匀分布,求 E . [解] 由例 3.1 知 的密度函数为: p(x)= − 0, 其它 , 1 a x b b a 故 E = − b a dx b a x 1 = a x b b a 2 1 2 − = 2 a + b . 这个结果是显然的.因为 在[a,b]上均匀分布,它取值的平均值当然应该在[a,b]的中 间,也就是 2 a + b . [例 3.18] 设 的密度函数是参数为 的指数分布,求 E . [解] E = − 0 x e dx x =- − 0 x xde = − 0 e dx x = 1 . 指数分布是最有用的“寿命分布”之一,由上述计算可知,一个元器件的寿命分布如果是 参数为λ的指数分布,则它的平均寿命为 1 .如果某种元器件的平均寿命为 10k (k=1,2,…) 小时,则相应的λ=10-k .在电子工业中人们就称该产品是“k 级”产品.由此可知,k 越大,则产 品的平均寿命越长,使用也就越可靠. [例 3.19] 设ξ是 N(μ,σ2 )分布的随机变量,求 Eξ. [解] 有: Eξ= + − − − x e dx x 2 2 2 ( ) 2 1 令 z= x − ,则: Eξ= + − − z + e dz z 2 2 ( ) 2 1 = + − + − − − ze dz + e dz z z 2 2 2 2 2 2 =μ. 由此可知,正态分布 N(μ,σ 2 )中的参数μ恰是服从该分布的随机变量的数学期望
[例3.20]若随机变量ξ的密度函数为p(x) r(1+x2) 问E是否存在? [解]因为 dx 丌(1+x 所以Eξ不存在 以(3.64)式为密度函数的分布,称为柯西( Cauchy)分布 这一节,为了引出连续型随机变量数学期望的定义,我们用离散型随机变量去近似一个 连续型随机变量,这是一个非常有用的方 离散型 续 法,通常称为是“把连续的问题离散化” 值域 =a;,i=1,2, ∞<<+∞ 通过离散化,可以把离散场合的许多概念[概率元素D=(F=a)n(x 和结论推广到连续的场合,也可以对连续 P(a≤≤b ∑P 场合的问题作近似计算.由此可以想到,把 p(x)dx 离散型和连续型随机变量的有关概念和计 算式加以比较是有意义的,右表就是这样P(<x) Pi plu)du 的对比 在表中可以看到对离散型随机变量分 P xp(x)dx 布列p;求和的式子,对连续型随机变量全 部变成对密度函数p(x)求相应的积分.这 是很有启发性的,读者可能知道当年门捷 Ef(s) f(a,p 列夫在作出化学元素周期表以后,曾利用 这个元素周期表对当时尚未发现的元素作 了科学的预测现在我们也可以对表中的“?”作预测若ξ是连续型随机变量,密度函数为 p(x),你一定能想到这时应该有 Ef(5)= f(x)p(x)dx 人们的确证明了下面的定理 2.定理 定理3.2若ξ是连续型随机变量,密度函数为p(x),又f(x)是实变量x的函数,且 lf(x)|p(x)x<∞ 则有 Ef(5)= f(x)p(x)dx 如果f(x)满足定理3.1的条件,那么利用定理3.1即可证明本定理(定理的严格证明可 以参阅[1]).对多维情形也有类似的定理,仍以二维为例,有 定理33设(ξ,η)是二维连续型随机变量,密度函数为p(x,y),又f(x,y)是二元函数, 则随机变量=f(,n)的数学期望为 S=Ef(5, n)=f(x, y)P(,y)dxdy 这里,当然也要求上述积分为绝对收敛 3.性质 如同离散型随机变量,连续型随机变量的数学期望也具有下述性质: (1)若a≤≤b,则Eξ存在,且a≤E≤b; 103
１０３ [例 3.20] 若随机变量ξ的密度函数为 p(x)= (1 ) 1 2 + x ,问 Eξ是否存在？ [解] 因为 + − + dx x x (1 ) 1 | | 2 =∞ 所以 Eξ不存在. 以(3.64)式为密度函数的分布,称为柯西(Cauchy)分布. 这一节,为了引出连续型随机变量数学期望的定义,我们用离散型随机变量去近似一个 连续型随机变量,这是一个非常有用的方 法,通常称为是“把连续的问题离散化”. 通过离散化,可以把离散场合的许多概念 和结论推广到连续的场合,也可以对连续 场合的问题作近似计算.由此可以想到,把 离散型和连续型随机变量的有关概念和计 算式加以比较是有意义的,右表就是这样 的对比: 在表中可以看到对离散型随机变量分 布列 pi 求和的式子,对连续型随机变量全 部变成对密度函数 p(x)求相应的积分.这 是很有启发性的,读者可能知道当年门捷 列夫在作出化学元素周期表以后,曾利用 这个元素周期表对当时尚未发现的元素作 了科学的预测.现在我们也可以对表中的“?”作预测.若ξ是连续型随机变量,密度函数为 p(x),你一定能想到这时应该有: Ef(ξ)= + − f (x) p(x)dx . 人们的确证明了下面的定理. 2.定理: 定理 3.2 若ξ是连续型随机变量,密度函数为 p(x),又 f(x)是实变量 x 的函数,且 + − | f (x) | p(x)dx 则有: Ef(ξ)= + − f (x) p(x)dx 如果 f(x)满足定理 3.1 的条件,那么利用定理 3.1 即可证明本定理(定理的严格证明可 以参阅[1]).对多维情形也有类似的定理,仍以二维为例,有 定理 3.3 设(ξ,η)是二维连续型随机变量,密度函数为 p(x,y),又 f(x,y)是二元函数, 则随机变量ζ=f(ξ,η)的数学期望为: Eζ=Ef(ξ,η)= + − + − f (x, y) p(x, y)dxdy 这里,当然也要求上述积分为绝对收敛. 3.性质: 如同离散型随机变量,连续型随机变量的数学期望也具有下述性质: (1) 若 a≤ξ≤b,则 Eξ存在,且 a≤Eξ≤b; 离散型 连续型 值域 ξ=ai,i=1,2,… -∞<ξ<+∞ 概率元素 pi=P(ξ=ai) p(x)dx P(a≤ξ≤b) aa b i i p b a p(x)dx P(ξ<x) a x i i p − x p(u)du Eξ i=1 ai pi + − xp(x)dx Ef(ξ) =1 ( ) i ai pi f ?
(2)对任一二维连续型随机变量(,n),若E、En存在,则对任意的实数k、k,E(k g+k2n)存在且E(k5+k2n)=kE+k2En (3)又若ξ、相互独立,则E(n)存在且E(n)=EE 这些性质的证明也与离散型场合相同,只要把那里的和号“∑”换成积分号“∫”,并把 分布列换成密度函数就可以了,我们把它留给大家作为一个练习 接下来大家大概会想到应该讨论连续型随机变量的方差了.正是如此,在前一章中已经 知道E(-E)2可以衡量随机变量离开它的均值E的平均偏离程度,因而我们理所当然地有下述 定义 、连续型随机变量的方差 104
１０４ (2) 对任一二维连续型随机变量(ξ,η),若 Eξ、Eη存在,则对任意的实数 k1、k2,E(k1 ξ+k2η)存在且 E(k1ξ+k2η)=k1Eξ+k2Eη; (3) 又若ξ、η相互独立,则 E(ξη)存在且 E(ξη)=Eξ·Eη. 这些性质的证明也与离散型场合相同,只要把那里的和号“∑”换成积分号“∫”,并把 分布列换成密度函数就可以了,我们把它留给大家作为—个练习. 接下来大家大概会想到应该讨论连续型随机变量的方差了.正是如此,在前一章中已经 知道 E(-E)2 可以衡量随机变量离开它的均值 E 的平均偏离程度,因而我们理所当然地有下述 定义. 二、连续型随机变量的方差: