第六章线性变换 6.1线性映射 1.令5=(x1,n,x)是R3的任意向量.下列映射σ哪些是R3到自身的 线性映射? (1)σ()=+a,a是R3的一个固定向量 (2)a(5)=(2x1-x2+x3,x+x (3)σ()=(x2,x2,x32) (4)a(5)=(cosx,sinx2,0). 2.设V是数域F上一个一维向量空间.证明V到自身的一个映射a是线性 映射的充要条件是:对于任意5∈V,都有G()=a5,这里a是F中一个定数 3.令M(F)表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间.取定A∈M(F) 对任意X∈Mn(F,定义 O(X)=AX-XA ()证明:σ是MnF是自身的线性映射。 (i)证明:对于任意X,Y∈MnF, o(XY=o(X)Y+Xo(Y 令F表示数域F上四元列空间,取 3-181 13 对于5∈P,令σ(5)=A5,求线性映射σ的核和像的维数 5.设V和W都是数域F上向量空间,且dimW=n.令σ是V到W的一个 线性映射.我们如此选取T的一个基:a1,…,as,as+,…,an,使得a1,…, as,是Ker(a)的一个基.证明: (i)a(as+1),…,a(an)组成Im(σ)的一个基
第六章 线性变换 §6.1 线性映射 1．令 =（x1，x2，x3）是 R 3 的任意向量．下列映射 哪些是 R 3 到自身的 线性映射？ （1） ( ) = + ， 是 R 3 的一个固定向量． （2） ( ) = (2x1–x2 + x3 ，x2 + x3 ，–x3) （3） ( ) =（x1 2 ，x2 2 ，x3 2）． （4） ( ) =（cosx1，sinx2，0）． 2．设 V 是数域 F 上一个一维向量空间．证明 V 到自身的一个映射 是线性 映射的充要条件是：对于任意 V，都有 ( ) = a ，这里 a 是 F 中一个定数． 3．令 Mn (F) 表示数域 F 上一切 n 阶矩阵所成的向量空间．取定 A Mn (F). 对任意 X Mn (F)，定义 (X) = AX–XA． (i) 证明： 是 Mn (F)是自身的线性映射。 (ii) 证明：对于任意 X，Y Mn (F)， (XY) = (X)Y+X (Y) ． 4．令 F 4 表示数域 F 上四元列空间，取 A= − − − − − 1 3 9 7 3 1 8 1 1 1 2 3 1 1 5 1 对于 F 4，令 ( ) = A ．求线性映射 的核和像的维数． 5．设 V 和 W 都是数域 F 上向量空间，且 dimV = n．令 是 V 到 W 的一个 线性映射．我们如此选取 V 的一个基： 1，…， s， s+1，…， n，使得 1，…， s，是 Ker( )的一个基．证明： （i） ( s+1)，…， ( n)组成 Im( )的一个基；
(ii) dim Ker(o)+ dim Im(o)=n 6.设σ是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射.W1,w2是V 的子空间,并且Ⅴ=W1⊕W2.证明:σ有逆映射的充要条件是V a(W1)σ(W1) §6.2线性变换的运算 1.举例说明,线性变换的乘法不满足交换律. 2.在Fx中,定义 σ:f(x)→f(x), T: f(x)b xf(x) 这里f(x)表示f(x)的导数,证明,σ,r都是F[x]的线性变换,并且对于任意正整 数n都有 to-ng n-l 3.设Ⅴ是数域F上的一个有限维向量空间.证明,对于V的线性变换σ来 说,下列三个条件是等价的: (i)σ是满射:(ier(σ)={0};(i)σ非奇异. 当V不是有限维时,(),(i)是否等价? 4.设σ∈L(V),5∈V,并且5,(5),…,σk()都不等于零,但σk(5) 0.证明 线性无关 5.a∈L(V).证明 (1)Im(a)sKer(a)当且仅当a2=O (2)Ker(o)sKer(o2)cKer(o 3 )c.; (3)Im(σ)2Im(a2)2lm(a3)2… 6.设F={(x,x2,…,x)|x∈F}是数域F上n维行空间.定义 (x1,x2,…,xn)=(0 (i)证明:a是F的一个线性变换,且Gn=θ
（ii）dim Ker( ) + dim Im( ) = n.。 6．设 是数域 F 上 n 维向量空间 V 到自身的一个线性映射．W1，W2是 V 的子空间， 并且 V = W1 W2．证明： 有逆映射的 充要条件 是 V = (W1) (W1) ． §6.2 线性变换的运算 1．举例说明，线性变换的乘法不满足交换律． 2．在 F[x]中，定义 ：f (x) f’(x) ， ：f (x) xf (x) ， 这里 f’(x)表示 f(x)的导数．证明, , 都是 F[x]的线性变换，并且对于任意正整 数 n 都有 n – n = n n-1 3．设 V 是数域 F 上的一个有限维向量空间．证明，对于 V 的线性变换 来 说，下列三个条件是等价的： （i） 是满射； (ii)Ker( ) = {0}; (iii) 非奇异． 当 V 不是有限维时，(i)，(ii)是否等价？ 4．设 L (V)， V，并且 ， ( )，…， k-1 ( )都不等于零，但 k ( ) = 0．证明： ， ( )，…， k-1 ( ) 线性无关． 5． L (V) ．证明 (1) Im( ) Ker( )当且仅当 2 = ； (2) Ker( ) Ker( 2 ) Ker( 3 ) …； (3) Im( ) Im( 2 ) Im( 3 ) …． 6．设 F n = { (x1，x2 ，…，xn ) | xi F }是数域 F 上 n 维行空间．定义 (x1，x2 ，…，xn ) = (0，x1 ，…，xn-1 ) ． (i) 证明： 是 F n 的一个线性变换，且 n = ；
(i)求Ke(a)和Im(a)的维数 §6.3线性变换和矩阵 1.令Fnx表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式所成的向量空间, :f(x)f(x),求关于以下两个基的矩阵 (1)1,x x-C (2)1,x-c, F 2! n 2.设F上三维向量空间的线性变换σ关于基{a1,a2,a3}的矩阵是 15-115 8-76 求σ关于基 B1=2a1+3a2+a3, B2=3a1+4a2+a3 B3=a1+2a2+2a3, 的矩阵 设=2a1+a2-a3.求o()关于基B1,B2,B3的坐标 3.设{y1,y2,…,yn}是n维向量空间的一个基 j=∑a1,B=∑by1,j=1, 并且a1,a2,…,an线性无关.又设σ是V的一个线性变换,使得σ(a)= B,j=1,2,…,n,求σ关于基y1,y2,…,yn的矩阵 4.设A,B是n阶矩阵,且A可逆,证明,AB与BA相似 5.设A是数域F上一个n阶矩阵,证明,存在F上一个非零多项式f(x) 使得f(A)=0 6.证明,数域F上n维向量空间V的一个线性变换a是一个位似(即单位 变换的一个标量倍)必要且只要σ关于Ⅴ的任意基的矩阵都相等
(ii) 求 Ker( )和 Im( ) 的维数． §6.3 线性变换和矩阵 1．令 Fn[x]表示一切次数不大于 n 的多项式连同零多项式所成的向量空间， ：f (x) f’(x) ，求关于以下两个基的矩阵： (1) 1，x ，x 2 ，…，x n， (2) 1，x–c， 2! ( ) 2 x − c ，…， ! ( ) n x c n − ，c F． 2．设 F 上三维向量空间的线性变换 关于基 { 1 ， 2， 3}的矩阵是 − − − 8 7 6 20 15 8 15 11 5 求 关于基 1 = 2 1 +3 2 + 3， 2 = 3 1 +4 2 + 3， 3 = 1 +2 2 +2 3， 的矩阵． 设 = 2 1 + 2– 3．求 ( )关于基 1， 2， 3 的坐标． 3．设{ 1， 2，…， n}是 n 维向量空间 V 的一个基． j = = n i aij i 1 ， j = = n i bij i 1 ， j = 1，2，…，n， 并且 1 ， 2，…， n 线性无关．又设 是 V 的一个线性变换，使得 ( j) = j ，j = 1，2，…，n，求 关于基 1 ， 2 ，…， n 的矩阵． 4．设 A，B 是 n 阶矩阵，且 A 可逆，证明，AB 与 BA 相似． 5．设 A 是数域 F 上一个 n 阶矩阵，证明，存在 F 上一个非零多项式 f (x) 使得 f (A) = 0． 6．证明，数域 F 上 n 维向量空间 V 的一个线性变换 是一个位似（即单位 变换的一个标量倍）必要且只要 关于 V 的任意基的矩阵都相等．
7.令M(F是数域F上全休n阶矩阵所成的向量空间.取定一个矩阵 (F).对任意XeMn(F,定义 σ(X)=AX-XA 由71习题3知σ是Mn(F)的一个线性变换,设 0 A 0 是一个对角形矩阵,证明,σ关于Mn(F)的标准基{E1≤i,j≤n}(见64,例5) 的矩阵也是对角形矩阵,它的主对角线上的元素是一切a1-q(1≤i,j≤n)[建议 先具体计算一下n=3的情形 8.设σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换.证明,总可以如此选 取V的两个基{a1,a2,…,an}和{B1,B2,…,Bn},使得对于Ⅴ的任 意向量5来说,如果=∑xa,则a(5)=∑x月,这里0srsm是一个定数提 示:利用71,习题5选取基a1,a2,…,an.] §6.4不变子空间 1.设a是有限维向量空间T的一个线性变换,而W是a的一个不变子空间 证明,如果σ有逆变换,那么W也在σ·1之下不变 2.设σ,r是向量空间Ⅴ的线性变换,且σr=tσ.证明Im(σ)和Ker(a)都 在τ之下不变 3.σ是数域F上向量空间V的一个线性变换,并且满足条件a2=σ.证明 ()Ker(σ)={5-o()|∈}; (v=Ker(o )eIm(o); (i)如果τ是V的一个线性变换,那么Ker(σ)和Im(σ)都在τ之下不变的充 要条件是or=ro 设σ是向量空间Ⅴ的一个位似(即单位变换的一个标量倍).证明,V
7．令 Mn (F)是数域 F 上全休 n 阶矩阵所成的向量空间．取定一个矩阵 A Mn (F) ．对任意 X Mn (F)，定义 (X) = AX–XA． 由 7.1 习题 3 知 是 Mn (F)的一个线性变换，设 A = an a a 0 0 2 1 是一个对角形矩阵．证明， 关于 Mn (F)的标准基{Eij |1 i, j n }(见 6.4，例 5) 的矩阵也是对角形矩阵，它的主对角线上的元素是一切 ai–aj (1 i, j n ).[建议 先具体计算一下 n = 3 的情形．] 8．设 是数域 F 上 n 维向量空间 V 的一个线性变换．证明，总可以如此选 取 V 的两个基{ 1 ， 2，…， n}和{ 1， 2，…， n}，使得对于 V 的任 意向量 来说，如果 == n i i i x 1 ，则 ( ) = = r i i i x 1 ，这里 0 r n 是一个定数[提 示：利用 7.1，习题 5 选取基 1 ， 2，…， n ．] §6.4 不变子空间 1．设 是有限维向量空间 V 的一个线性变换，而 W 是 的一个不变子空间， 证明，如果 有逆变换，那么 W 也在 -1 之下不变． 2．设 , 是向量空间 V 的线性变换，且 = ．证明 Im( )和 Ker( )都 在 之下不变． 3． 是数域 F 上向量空间 V 的一个线性变换，并且满足条件 2 = ．证明： (i) Ker( ) = { − ( ) | V }； (ii)V = Ker( ) Im( )； (iii)如果 是 V 的一个线性变换，那么 Ker( )和 Im( )都在 之下不变的充 要条件是 = ． 4．设 是向量空间 V 的一个位似（即单位变换的一个标量倍）．证明，V
的每一个子空间都在σ之下不变 5.令S是数域F上向量空间ⅴ的一些线性变换所成的集合.V的一个子空 间W如果在S中每一线性变换之下不变,那么就说W是S的一个不变子空间S 说是不可约的,如果S在V中没有非平凡的不变子空间,设S不可约,而是V 的一个线性变换,它与S中每一线性变换可交换。证明φ或者是零变换,或者是 可逆变换.[提示:令W=Kerφ证明W是要的一个不变子空间. §6.5本征值和本征向量 1.求下列矩阵在实数域内的特征根和相应的特征向量 13 (i)1-49|;(i)020 2.证明:对角形矩阵 b2 相似必要且只要b,b2,…,bn是a,a2,…,a的一个排列 3.设 是一个实矩阵且ad-bc=1.证明 )如果trA卜2,那么存在可逆实矩阵T,使得 47(40 0 2 这里A∈R且≠0,1,-1 (i)如果lt:A|=2且A≠±,那么存在可逆实矩阵T,使得 T-lAT 0
的每一个子空间都在 之下不变． 5．令 S 是数域 F 上向量空间 V 的一些线性变换所成的集合．V 的一个子空 间 W 如果在 S 中每一线性变换之下不变，那么就说 W 是 S 的一个不变子空间．S 说是不可约的，如果 S 在 V 中没有非平凡的不变子空间，设 S 不可约，而 是 V 的一个线性变换，它与 S 中每一线性变换可交换。证明 或者是零变换，或者是 可逆变换．[提示：令 W = Ker .证明 W 是要的一个不变子空间．] §6.5 本征值和本征向量 1．求下列矩阵在实数域内的特征根和相应的特征向量： (i) − − − − − 5 7 1 1 3 1 3 2 0 ； (ii) − − − 4 0 5 1 4 9 4 5 7 ；(iii) − 3 −12 − 6 0 2 0 3 6 6 ． 2．证明：对角形矩阵 an a a 0 0 2 1 与 bn b b 0 0 2 1 相似必要且只要 b1，b2，…，bn 是 a1，a2，…，an 的一个排列． 3．设 A = c d a b 是一个实矩阵且 ad–bc = 1 ．证明： (i) 如果| trA |>2，那么存在可逆实矩阵 T，使得 T -1AT = −1 0 0 ． 这里 R 且 0，1，-1． (ii) 如果| trA | = 2 且 A I ，那么存在可逆实矩阵 T，使得 T -1AT = 0 1 1 1 或 − − 0 1 1 1 .．
(i)如果lA|<2则存在可逆实矩阵T及θ∈R,使得 sn6cos日 [提示]在(i),A有非实共轭复特征根A,,AA=1将λ写成三角形式.令 ∈C2是A的属于λ的一个特征向量,计算A(+5)和A(i(2+5) 4.设a,b,c∈C.令 b A=c a bl, b=la b c, C=b c a b (i)证明,A,B,C彼此相似 (i)如果BC=CB,那么A,B,C的特征根至少有两个等于零 5.设A是复数域C上一个n阶矩阵 )证明:存在C上n阶可逆矩阵T使得 n b, 0 b (i)对n作数学归纳法证明,复数域C上任意一个n阶矩阵都与一个“上三 角形”矩阵 00 相似,这里主对角线以下的元素都是零 6.设A是复数域C上一个n阶矩阵,λ1,λ2,…,λ是A的全部特征根(重 根按重数计算) ()如果∫x是C上任意一个次数大于零的多项式,那么f(41)f(2)…f(n) 是f4)的全部特征根 (i)如果A可逆,那么λ≠0,=1,2,…,n,并且1,1,1…是A1的全
(iii) 如果| trA | < 2 则存在可逆实矩阵 T 及 R ，使得 T -1AT = − sin cos cos sin ． [提示] 在(iii)，A 有非实共轭复特征根 − − ，， =1.将 写成三角形式．令 2 C 是 A 的属于 的一个特征向量，计算 A ( ) − + 和 A ( ( )) − i + ． 4．设 a，b，c C．令 A= a b c c a b b c a ，B= b c a a b c c a b ，C= c a b b c a a b c ． (i) 证明，A，B，C 彼此相似； (ii) 如果 BC=CB，那么 A，B，C 的特征根至少有两个等于零． 5．设 A 是复数域 C 上一个 n 阶矩阵． (i) 证明：存在 C 上 n 阶可逆矩阵 T 使得 T -1AT = n nn n n b b b b b b 2 22 2 1 12 1 0 0 ． (ii) 对 n 作数学归纳法证明，复数域 C 上任意一个 n 阶矩阵都与一个“上三 角形”矩阵 n 0 0 0 * * * 2 1 相似，这里主对角线以下的元素都是零． 6．设 A 是复数域 C 上一个 n 阶矩阵， n , , , 1 2 是 A 的全部特征根（重 根按重数计算）． (i) 如果f (x)是C上任意一个次数大于零的多项式，那么f ( ), ( ), ( ) 1 2 n f f 是 f(A)的全部特征根． (ii) 如果 A 可逆，那么 i 0,i =1,2, ,n ，并且 1 1 3 1 2 1 1 , , , − − − − n 是 A-1 的全
部特征根 7.令 0100 0010 A 0000 1000 0 是一个n阶矩阵 ()计算A2,A3…,A (i)求A的全部特征根 8.a1a2…an,是任意复数,行列式 a an a1 叫做一个循环行列式,证明: D=f(01)f(2)…f(on), 这里∫(x)=a1+a2x+…+anxn,而O1,O2…On是全部n次单位根.[提示:利 用67两题的结果. 9.设A,B是复数域上n阶矩阵.证明,AB与BA有相同的特征根,并且 对应的特征根的重数也相同.[提示:参看53习题2 6.6可以对角化的矩阵 1.检验7.5习题1中的矩阵哪些可以对角化.如果可以对角化,求出过渡 矩阵T 460 -3-61 求A10
部特征根 7．令 A = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 是一个 n 阶矩阵。 (i) 计算 2 3 1 , , , n− A A A ． (ii) 求 A 的全部特征根． 8． , , , a1 a2 an 是任意复数，行列式 D = 2 3 4 1 1 1 2 1 2 1 1 2 3 a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n − − − 叫做一个循环行列式，证明： D = ( ) ( ) ( ) 1 2 n f f f ， 这里 1 1 2 ( ) − = + + + n n f x a a x a x ，而 n , , 1 2 是全部 n 次单位根．[提示：利 用 6.7 两题的结果．] 9．设 A，B 是复数域上 n 阶矩阵．证明，AB 与 BA 有相同的特征根，并且 对应的特征根的重数也相同．[提示：参看 5.3 习题 2．] §6.6 可以对角化的矩阵 1．检验 7.5 习题 1 中的矩阵哪些可以对角化．如果可以对角化，求出过渡 矩阵 T． 2．设 − − = − − 3 6 1 3 5 0 4 6 0 A ， 求 A10．
3.设a是数域F上n维向量空间V的一个线性变换.令1,…,∈F是σ的 两两不同的本征值,是属于本征值λ的本征子空间.证明,子空间的和 W=V,+…+V2是直和,并在σ之下不变 4.数域F上n维向量空间Ⅴ的一个线性变换σ叫做一个对合变换,如果a2 =t,t,是单位变换,设σ是V的一个对合变换,证明 (i)a的本征值只能是±1 (i)V=⊕V1,这里V是σ的属于本征值1的本征子空间,V1是σ的属 于本征值-1的本征子空间.提示:设aeV,则a=a+o(a)+a-o(a) 2 2 5.数域F上一个n阶矩阵A叫做一个幂等矩阵,如果A2=A,设A是一个 幂等矩阵证明 (l+A可逆,并且求(I+A) (i)秩A+秩(-A)=n.[提示:利用74,习题3(i) 6.数域F上n维向量空间V的一个线性变换σ叫做幂零的,如果存在一个 自然数m使σm=O.证明 ()a是幂零变换当且仅当它的特征多项式的根都是零 (i)如果一个幂零变换a可以对角化,那么σ一定是零变换 7.设V是复数域上一个n维向量空间,S是V的某些线性变换所成的集合, 而φ是Ⅴ的一个线性变换,并且φ与S中每一线性变换可交换,证明,如果S 不可约(参看74,习题5),那么一定是一个位似.[提示:令λ是q的一个本 征值,考虑φ的属于λ的本征子空间,并且利用74,习题5的结果.] 8.设σ是数域F上n维向量空间V的一个可以对角化的线性变换,令A1…1 是σ的全部本征值.证明,存在Ⅴ的线性变换σ1,G2…G,,使得 ()σ=A1O1+A22+…+A1O1; (i)σ1+σ2+…+a,=l1t是单位变换
3．设 是数域 F 上 n 维向量空间 V 的一个线性变换．令 1 , t F 是 的 两两不同的本征值， i V 是属于本征值 i 的本征子空间．证明，子空间的和 t W =V1 ++ V 是直和，并在 之下不变． 4．数域 F 上 n 维向量空间 V 的一个线性变换 叫做一个对合变换，如果 2 =ι,ι,是单位变换，设 是 V 的一个对合变换，证明: (i) 的本征值只能是 1 ； (ii) V = V1 V−1 ，这里 V1 是 的属于本征值 1 的本征子空间，V −1 是 的属 于本征值 –1 的本征子空间．[提示：设 2 ( ) 2 ( ) , − + + V 则 = ] 5．数域 F 上一个 n 阶矩阵 A 叫做一个幂等矩阵，如果 A = A 2 ,设 A 是一个 幂等矩阵.证明： (i)I + A 可逆，并且求 1 ( ) − I + A ． (ii)秩 A + 秩 (I − A) = n. [提示：利用 7.4，习题 3 (ii)．] 6．数域 F 上 n 维向量空间 V 的一个线性变换 叫做幂零的，如果存在一个 自然数 m 使 m = 0.证明： (i) 是幂零变换当且仅当它的特征多项式的根都是零； (ii) 如果一个幂零变换 可以对角化，那么 一定是零变换． 7．设 V 是复数域上一个 n 维向量空间，S 是 V 的某些线性变换所成的集合， 而 是 V 的一个线性变换，并且 与 S 中每一线性变换可交换，证明，如果 S 不可约 (参看 7.4，习题 5)，那么 一定是一个位似． [提示：令 是 的一个本 征值，考虑 的属于 的本征子空间，并且利用 7.4，习题 5 的结果．] 8．设 是数域 F上 n 维向量空间 V 的一个可以对角化的线性变换，令 t , 1 是 的全部本征值．证明，存在 V 的线性变换 t , , , 1 2 ，使得 (i) = 1 1 + 2 2 ++ t t ； (ii) , ; 1 + 2 ++ t = 是单位变换
(i)σ,σ,=0,若i≠j,O是零变换 (V)a,()=V,V是σ的属于本征值λ的本征子空间,i=12,…t 9.令V是复数域C上一个n维向量空间,G,r是Ⅴ的线性变换,且or=vo ()证明,σ的每一本征子空间都在r之下不变 (i)a与τ在V中有一公共本征向量
(iii) i j = ,若i j， 是零变换； (iv) , 1,2, , ; 2 i t i = i = (v) i (V) = Vi ,Vi 是 的属于本征值 i 的本征子空间， i = 1,2, ,t. 9．令 V 是复数域 C 上一个 n 维向量空间， ， 是 V 的线性变换，且 = ． (i) 证明， 的每一本征子空间都在 之下不变； (ii) 与 在 V 中有一公共本征向量．