《高等数学》课程教学资源：利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

第五节利用柱面坐标和球面坐标 计算三重积分 利用柱面坐标计算三重积分 巴二、利用球面坐标计算三重积分 小结思考题

庄一、利用柱面坐标计算三重积分 设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在 xoy面上的投影P的极坐标为r,O,则这样的三 A个数r,,z就叫点M的柱面坐标 工工工 规定:0≤r<+0 M(x,y, z) 0≤e≤2π, y 0<x<+0。 6 (r,6) 上页

0  r  +, 0    2, −   z  +. 一、利用柱面坐标计算三重积分 个数 就叫点 的柱面坐标． 面上的投影 的极坐标为 ，则这样的三 设 为空间内一点，并设点 在 r z M xoy P r M x y z M , , , ( , , )   规定： x y z o M(x, y,z) P(r, )  r • •

如图,三坐标面分别为 r为常数一→圆柱面 为常数一→半平面; M(x,y,=) cz为常数。→平面 柱面坐标与直角坐 标的关系为 0(r, e) x=rcos 6, J=rsin 6 Z=Z 上页

     = = = . sin , cos , z z y r x r   柱面坐标与直角坐 标的关系为 r 为常数 z 为常数  为常数 如图，三坐标面分别为 圆柱面； 半平面； 平 面． • M (x, y,z) P(r, ) •  r z x y z o

如图,柱面坐标系 中的体积元素为 rde 小hv= rare, ∫ f(r,v, z)dxdydz J de Q rIf(rcos e, /sin ], z)rdrdeaz 上页

   f (x, y,z)dxdydz ( cos , sin , ) .   = f r  r  z rdrddz d r x y z o dz dr rd 如图，柱面坐标系 中的体积元素为 dv = rdrddz

例1计算Ⅰ=∫∫ zdxdydz,其2是球面 Q x+x2=4与抛物面x2+y2=3 所围的立体 x=rose 解由{y=rsin,知交线为 Z=Z r2+z2=4 2 →z=1,r=N3, =3z 上页

例1 计算   I = zdxdydz，其中 是球面 4 2 2 2 x + y + z = 与抛物面x y 3z 2 2 + = 所围的立体. 解 由      = = = z z y r x r   sin cos ,    = + = r z r z 3 4 2 2 2  z = 1, r = 3, 知交线为

把闭区域9投影到xoy面上,如图, Q:-≤z≤√4-r2, 3 0≤r≤√3, 0≤e≤2兀 ,2 2兀 /3 de di 13 r·zd=r 0 4 上页

    − =   2 3 2 2 4 0 3 0 r r I d dr r zdz . 4 13 =  把闭区域  投影到 xoy 面上，如图， 0 2 . 0 3, 4 3 : 2 2          − r z r r

例2计算=』(x2+y2)d,其邮 是曲线y2=2z,x=0绕0z轴旋转一周而成 的曲面与两平面=2,z=8所围的立体 王解出{P=2 绕0z轴旋转得, y=0 h旋转面方程为x2+y2=2, 王所围成的立体如图, 上页

例２ 计算   I = (x + y )dxdydz 2 2 ， 其中 是曲线 y 2z 2 = ，x = 0 绕oz 轴旋转一周而成 的曲面与两平面z = 2,z = 8所围的立体. 解 由    = = 0 2 2 x y z 绕 oz 轴旋转得， 旋转面方程为 2 , 2 2 x + y = z 所围成的立体如图

所围成立体的投影区域如图, D1:x2+y2=16, 0≤e≤2元兀 0<r<4 ≤z≤8 2 0≤9≤2π 0<r≤2 2:x2+y2=4,2: 2 ≤z≤2 2 上页

: D2 4, 2 2 x + y = . 2 2 0 2 0 2 : 2 2               z r r : D1 16, 2 2 x + y = , 8 2 0 4 0 2 : 1 2               z r r 所围成立体的投影区域如图， D2 D1

I=,-I 2 [J(x2+y2)dxdydz-[(x2+y2)dxdydz, 2 8 r·r2=π, 3 25 D 2 ndz 6 原式I 4525 π=336兀, 36 上页

( ) ( ) , 1 2 2 2 2 2 1 2     = + − +  = − x y dxdydz x y dxdydz I I I   =  1 2 8 2 1 D I rdrd r fdz , 3 4 5 =    =  2 2 2 2 2 D I rdrd r fdz , 6 2 5 =  原式I =  3 4 5 −  6 2 5 = 336 .    =    8 2 4 0 2 0 2 2 r d dr r r dz    =    2 2 2 0 2 0 2 2 r d dr r r dz

二、利用球面坐标计算三重积分 设M(x,y,z)为空间内一点,则点M可用 王三个有次序的数,g,来确定,其中r为原 午点O与点M间的距离,q为有向线段OM与z 轴正向所夹的角,为从正z轴来看自x轴按 逆时针方向转到有向线段OP的角,这里P为 点M在xoy面上的投影,这样的三个数r, 王a就叫做点M的球面坐标, 上页

二、利用球面坐标计算三重积分 就叫做点 的球面坐标． 点 在 面上的投影，这样的三个数 ， ， 逆时针方向转到有向线段 的角，这里 为 轴正向所夹的角， 为从正 轴来看自 轴按 点 与点 间的距离， 为有向线段 与 三个有次序的数 ， ， 来确定，其中 为原 设 为空间内一点，则点 可用 M M xoy r OP P z x O M OM z r r M x y z M       ( , , )