第六节微分法在几何上的应用 巴一、空间曲线的切线与法平面 巴二、曲面的切平面与法线 三、小结思考题
生一、空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的方程{y=v() (1) z=0(t) 庄(式中的三个函数均可导1 M 设M(x0,yn2),对应于t=t cM(x+△x,yn+4yn+△x) 对应于t=to+△t XC y 上页
设空间曲线的方程 (1) ( ) ( ) ( ) = = = z t y t x t o z y x (1)式中的三个函数均可导. 一、空间曲线的切线与法平面 M • . ( , , ) 0 0 0 0 t t t M x x y y z z = + + + + 对应于( , , ), ; 0 0 0 0 设 M x y z 对应于t = t • M
割线MM′的方程为 M -xo 3=% M △x △ △z O 考察割线趋近于极限位置—切线的过程 上式分母同除以M, y-y02-列 = △y △ △z △t △t 上页
考察割线趋近于极限位置——切线的过程 z z z y y y x x x − = − = − 0 0 0 t t t 上式分母同除以 t, o z y x M • 割线 MM 的方程为 • M , 0 0 0 z z z y y y x x x − = − = −
当M′→M,即Mt→Q时 曲线在M处的切线方程 -o y=yo% φ(t)v(t)a(t) 切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量 T={p6(tn),y(t),o(t0)} 法平面:过M点且与切线垂直的平面 (tn(x-x)+y(t0)(y-y)+o'(t0)(z-x0)=0 上页
当M → M,即t → 0时 , 曲线在M处的切线方程 . ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 t z z t y y t x x − = − = − 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. T = (t 0 ),(t 0 ),(t 0 ) 法平面：过M点且与切线垂直的平面. (t 0 )(x − x0 ) +(t 0 )( y − y0 ) +(t 0 )(z − z0 ) = 0
上例1求曲线r:x=!e" cos udu,y=2simt +cost,z=1+e在t=0处的切线和法平面方程 解当t=0时,x=0,y=1,z=2, x'=e cost, y=2cost-sint, z=3er, →x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3, 切线方程 x-0y-1x-2 2 3 法平面方程x+2(y-1)+3(z-2)=0 即x+2y+3z-8=0 上页
例1 求曲线 : = t u x e udu 0 cos ，y = 2sin t + cost, t z e 3 = 1+ 在t = 0处的切线和法平面方程. 解 当t = 0时， x = 0, y = 1,z = 2, x e cost, t = y = 2cost − sint, 3 , 3t z = e x(0) = 1, y(0) = 2, z (0) = 3, 切线方程 , 3 2 2 1 1 0 − = − = x − y z 法平面方程 x + 2( y − 1) + 3(z − 2) = 0, 即 x + 2 y + 3z − 8 = 0
特殊地: 1空间曲线方程为 y=o(x) lz=y(x) 在M(x0,y0,z)处, 切线方程为 0y-y0=3一1 1d"(x0)y(x) 法平面方程为 (x-x0)+p(x)(y-y)+v(x0)(z-z0)=0. 上页
1.空间曲线方程为 , ( ) ( ) = = z x y x ( , , ) , 在M x0 y0 z0 处 , 1 ( ) ( )0 0 0 0 0 x z z x x x y y − = − = − ( ) ( )( ) ( )( ) 0. x − x0 + x0 y − y0 + x0 z − z0 = 法平面方程为 切线方程为 特殊地：
2空间曲线方程为F(x)=0 IG(x,y, 2)=0 y-y 切线方程为F,FFF GG GG GG 0 x|0 y 法平面方程为 GG (x-x0)+ (-yn)+ GG GG x 0 y lO 0 上页
2.空间曲线方程为 , ( , , ) 0 ( , , ) 0 = = G x y z F x y z 切线方程为 , 0 0 0 0 0 0 x y x y z x z x y z y z G G F F z z G G F F y y G G F F x x − = − = − 法平面方程为 0. ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 = − + − + z − z G G F F y y G G F F x x G G F F x y x y z x z x y z y z
庄例2求曲线x+y2+x2=6,x++z=0在 点(1,-2,1处的切线及法平面方程 解1直接利用公式; 解2将所给方程的两边对x求导并移项,得 d 小y y;+,=- d x d y-z =-1 dz x-y dx y-z 上页
例 2 求曲线 6 2 2 2 x + y + z = ，x + y + z = 0在 点(1,−2, 1)处的切线及法平面方程. 解 1 直接利用公式; 解 2 将所给方程的两边对x 求导并移项，得 + = − + = − 1 dx dz dx dy x dx dz z dx dy y , y z z x dx dy − − = , y z x y dx dz − − =
0 =-1 dx (1,-2,1) (1,-2,1) 由此得切向量T={1,0-1}, 所求切线方程为 x-1y+2z-1 0 法平面方程为(x-1)+0·(y+2)-(z-1)=0 →x-z=0 上页
由此得切向量 T = {1, 0,−1}, 所求切线方程为 , 1 1 0 2 1 1 − − = + = x − y z 法平面方程为 (x − 1) + 0 ( y + 2) − (z − 1) = 0, x − z = 0 0, (1, 2, 1) = dx − dy 1, (1, 2, 1) = − dx − dz
庄二、曲面的切平面与法线 设曲面方程为 4 F(x,y,z)=0 在曲面上任取一条通 过点M的曲线 x=o(t) T: y=y(t) z=a(t) 曲线在M处的切向量T={(),v'(t0)2o(t0), 上页 圆
设曲面方程为 F(x, y,z) = 0 { ( ), ( ), ( )}, 0 0 0 T = t t t 曲线在M处的切向量 在曲面上任取一条通 过点M的曲线 , ( ) ( ) ( ) : = = = z t y t x t 二、曲面的切平面与法线 n T M
