《高等数学》课程教学资源：全微分及其应用

第三节全微分及其应用 全微分的定义 二、可微的条件 三、小结思考题

、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 王f(x+△x,y)-f(x,y)=f(x,y)△x E (x, J+4y)-f(x,D-f,(x, )Ay 工工 元函数 二元函数 对x和对y的偏增量对x和对y的偏微分 上页

f (x + x, y) − f (x, y)  f x (x, y)x f (x, y + y) − f (x, y) f x y y  y ( , ) 二元函数 对x 和对y 的偏微分 二元函数 对x 和对y 的偏增量 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 一、全微分的定义

全增量的概念 c如果函数z=f(x,y)在点(x,)的某邻域内 有定义,并设P(x+△x,y+△y)为这邻域内的 上任意一点,则称这两点的函数值之差 ∫(x+△x,y+△y)-∫(x,y) 为函数在点P对应于自变量增量△κ,△y的全增 量,记为△ 2即A=f(x+△x,y+y)-f(x,) 上页

如果函数z = f ( x, y)在点(x, y)的某邻域内 有定义，并设P(x + x, y + y)为这邻域内的 任意一点，则称这两点的函数值之差 f ( x + x, y + y) − f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x,y 的全增 量，记为z， 即 z= f ( x + x, y + y) − f ( x, y) 全增量的概念

全微分的定义 如果函数x=f(x,y)在点(x,y)的全增量 王△x=J(x+△,y+Ay)-(x,)可以表示为 △=A△x+BN+o(p),其中A,B不依赖于 △x,4y而仅与,y有关,P=√(△)2+(△p2 工工工 则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分, AAx+B△y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的 全微分,记为h,即△+B 上页

如果函数z = f ( x, y)在点(x, y)的全增量 z = f ( x + x, y + y) − f ( x, y)可以表示为 z = Ax + By + o( )，其中A, B不依赖于 x,y而仅与x, y有关， 2 2  = (x) + (y) ， 则称函数z = f ( x, y)在点(x, y)可微分， Ax + By称为函数z = f ( x, y )在点(x, y)的 全微分，记为dz，即 dz=Ax + By . 全微分的定义

函数若在某区域D内各点处处可微分, 则称这函数在D内可微分 王如果函数z=(x1)在点(xy)可微分,则 的数在该点连续 事实上△z=A△x+BAy+(),lm△z=0 lim f(+Ax,y+Ay=limff(x, y)+Az p>0 △→0 f(,y) 王故函数z=/(x,在点(x,处连续 上页

函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分. 如果函数z = f (x, y)在点(x, y) 可微分, 则 函数在该点连续. 事实上 z = Ax + By + o(), lim 0, 0  = → z  lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → lim[ ( , ) ] 0 = f x y + z → = f (x, y) 故函数z = f (x, y)在点(x, y)处连续

生二、可微的条件 定理1(必要条件)如果函数z=f(x,y)在点 (x,y)可微分,则该函数在点(x,y)的偏导数 牛必存在,且函数z=八(x)在点x,)的全微分 工工工 为 O =△x+△y ax 上页

二、可微的条件 定理 1（必要条件） 如果函数z = f ( x, y)在点 (x, y)可微分，则该函数在点(x, y) 的偏导数 x z   、 y z   必存在，且函数z = f ( x, y)在点( x, y) 的全微分 为 y y z x x z dz     +   = ．

上证如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分 P(x+△x,y+△y)∈P的某个邻域 △=A△x+BNy+0()总成立, 当△y=0时,上式仍成立,此时p=△x| f∫(x+△x,y)-∫(x,y)=A.△x+0(△x|), akin (x+Ax,y)-f(x,y)=a Ox az △v 同理可得B=0 ay 上页

证 如果函数z = f (x, y)在点P(x, y)可微分, P(x + x, y + y)P 的某个邻域 z = Ax + By + o() 总成立, 当y = 0时，上式仍成立，此时 =| x |, f (x + x, y) − f (x, y) = A x + o(| x |), A x f x x y f x y x =  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 , x z   = 同理可得 . y z B   =

元函数在某点的导数存在x微分存在 多元函数的各偏导数存在<→全微分存在 x2+y2≠0 例如,f(x,y)={x2+y x2+y2=0 在点(0,0)处有 f:(0,0)=f,(0,0)=0 上页

一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如， . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2      + = +  = + x y x y x y xy f x y 在点(0,0)处有 (0,0) = (0,0) = 0 x y f f

9 c如果考虑点P(△x,△y)沿着直线y=x趋近于(0,0) △x·△y △x)2+(4y)2 △x·△ (△x)2+(Ax)22 说明它不能随着尸→>0而趋于0,当ρ→0时, c△z-/(0.0),△x+f(0,0)4y≠0(p 函数在点(0,0)处不可微 上页

z [ f (0,0) x f (0,0) y]  − x   + y   , ( ) ( ) 2 2 x y x y  +     = 如果考虑点P(x,y)沿着直线y = x趋近于(0,0)， 则  2 2 ( x) ( y) x y  +     2 2 ( x) ( x) x x  +     = , 21 = 说明它不能随着 → 0而趋于 0, 当  → 0 时， z [ f (0,0) x f (0,0) y] o( ),  − x   + y    函数在点(0,0)处不可微

说明:多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在, 定理2(充分条件)如果函数z=∫(x,y)的偏 王导数吆、在点(x)连续,则该函数在点xy) ax ay 可微分 工工工 证A=∫(x+△x,y+△y)-∫(x,y) =[f(x+△x,y+△y)-∫(x,y+△y +[f(x,y+△y)-∫(x,y)

说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在， 定理２（充分条件） 如果函数z = f (x, y)的偏 导数 x z   、 y z   在点(x, y)连续，则该函数在点(x, y) 可微分． 证 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) = [ f (x + x, y + y) − f (x, y + y)] + [ f (x, y + y) − f (x, y)]