《高等数学》课程教学资源：偏导数

第二节偏导数 四一、偏导数的定义及其计算法 巴二、高阶偏导数 四三、小结思考题

压-编偏导数的定义及其计算法 定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某一邻 域内有定义,当固定在y而在。处有增量 △x时,相应地函数有增量 ∫(x0+△x,yv)-f(x0,y), 如果mnf(+△)=y存在,则称 0 △x 上此极限为函数=f(x,)在点x,1)处对的 偏导数,记为 上页

定义 设函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某一邻 域内有定义，当y 固定在 0 y 而x 在x0 处有增量 x时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y ， 如果 x f x x y f x y x  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称 此极限为函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对x 的 偏导数，记为 一、偏导数的定义及其计算法

z of Oxx=xo ax x=xo ,zxxx或f(x,y) y=yO y=y Vy=o 同理可定义函数z=f(x,y)在点(x,y)处对y 的偏导数,为 f(x0,y+△y)-∫(x,y0) m △y→>0 △y 记为 az avls z或/(x,y) O yx y=yo J=JO Vo 上页

同理可定义函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对y 的偏导数， 为 y f x y y f x y y  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记为 0 0 y y y x x z =  =  ， 0 0 y y y x x f =  =  ， 0 0 y y x x y z = = 或 ( , ) 0 0 f x y y . 0 0 y y x x x z =  =  ， 0 0 y y x x x f =  =  ， 0 0 y y x x x z = = 或 ( , ) 0 0 f x y x

如果函数z=∫(x,y)在区域D内任一点 (x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数 就是x、y的函数,它就称为函数乙=f(x,y)对 自变量x的偏导数, 记作 ,z或f(x,y) ax ax 同理可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导 数,记作 Q’,或/(x,) 上页

如果函数z = f ( x, y)在区域D 内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、y的函数，它就称为函数z = f ( x, y)对 自变量x的偏导数， 记作 x z   ， x f   ， x z 或 f (x, y) x . 同理可以定义函数z = f ( x, y)对自变量y 的偏导 数，记作 y z   ， y f   ， y z 或 f (x, y) y

偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如W=f(x,y2x)在(x,y,z)处 f∫(x,y,3)=lim f∫(x+△x,y,x)-f(x,y,z) Av→>0 △v ∫p(x,y,z) ∫(x,y+△y,z)-f(x,y,z) 9 △y→>0 △ f(x, y, )=lim ∫(x,y,z+△z)-∫(x,y,z) △z→0 上页

偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 u = f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x  +  − =  → , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y  +  − =  → . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z  +  − =  →

例1求z=x2+3x+y2在点(1,2)处的偏导数 解 z =2x+3y; ax =3x+2] or=1=2×1+3×2=8 9 y=2 az x=1=3×1+2×2=7 y=2 上页

例 1 求 2 2 z = x + 3xy + y 在点(1,2) 处的偏导数． 解 =   x z 2x + 3y ; =   y z 3x + 2y . =    = = 2 1 y x x z 21+ 3 2 = 8 , =   = = 2 1 y x y z 31+ 22 = 7

例2设z=x”(x>0,x≠1), 求证xOz 1 a2 三Z y ax In x dy 证 z 11 oz ay =xInx x oz+ 1 az =-y J xnx y ax Inx ay y In x =x+x)=2z 原结论成立 上页

例 2 设 y z = x (x  0, x  1)， 求证 z y z x x z y x 2 ln 1 =   +   . 证 =   x z , y−1 yx =   y z x ln x, y y z x x z y x   +   ln 1 x x x yx y x y y ln ln 1 1 = + − y y = x + x = 2z. 原结论成立．

例3设z= a C n 求 z ax 解0x z ly2 = J J √(x2+y 2)3 J

例 3 设 2 2 arcsin x y x z + = ，求 x z   ， y z   . 解 =   x z          +  + − x x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 | | (x y ) y y x y +  + = . | | 2 2 x y y + = ( | |) 2 y = y

八 2 y 2 2 2 J y J 2 2 十 2 g n ≠ 0) J z 不存在 ay x≠0 0 上

=   y z          +  + − y x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 ( ) ( ) | | x y xy y x y + −  + = x y y x 1 sgn 2 2 + = − ( y  0) 0 0 =    y y x z 不存在．

例4已知理想气体的状态方程pW=RT c(R为常数),求证 ap av aT ● =-1 a aT ap RT RT 证p= → av V v=RAv R R ap R ap av OT RTR v RT__ av aT ap V P R P 上页

例 4 已知理想气体的状态方程pV = RT （R为常数），求证： = −1         p T T V V p . 证 =  V RT p ; 2 V RT V p = −   =  p RT V ; p R T V =   =  R pV T ; R V p T =   =         p T T V V p 2 V RT − p R  R V  = −1. pV RT = −