第五节对坐标的曲面积分 一、基本概念 概念的引入 四三、概念及性质 巴四、计算法 四五、两类曲面积分之间的联系 四六、小结思考题
一、基本概念 观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧 上页
一、基本概念 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧
王曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面 典型双侧 曲 2 面 口 2 上页
n 曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典 型 双 侧 曲 面
典型单侧曲面:莫比乌斯带 播放」 上页
典型单侧曲面: 莫比乌斯带 播放
曲面法向量的指向决定曲面的侧 决定了侧的曲面称为有向曲面 曲面的投影问题:在有向曲面∑上取一小块 曲面AS△S在xop面上的投影(△S)为 (△a)x当cosy>0时 (△S)x={-(△a)当cosy<0时 0￥c0sy=0时 王其中△,表示投影区域的面积 上页
曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: , S在xoy面 在有向曲面Σ上取一小块 . 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( ) = − = 当 时 当 时 当 时 x y x y S x y 其中( ) 表示投影区域的面积. xy 曲面 S 上的投影(S) xy为
王=、概念的引入 实例:流向曲面一侧的流量 (1)流速场为常向量v,有向平面区域A求单位 时间流过A的流体的质量(假定密度为1). 流量 ①= Pcos =4v·n0=p·A 上页
二、概念的引入 实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A,求单位 时间流过 A 的流体的质量 (假定密度为 1). A v 0 n A Av n v A Av = = = 0 cos 流量
(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场由 (x, y, )=P(x,y,z)i+o(x, y,j+R(x,y, z)h 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P(x, y, z),o(x, y, ) R(x,y, z) 都在∑上连续,求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 c体的质量 y 上页
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由 v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P( x, y,z), Q( x, y,z), R( x, y,z) 都在Σ上连续, 求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量 . x y z o
1.分割把曲面Σ分成n小块△(△同时也代表 第小块曲面的面积), 在△s,上任取一点 z△S (,1,;) (;,m,1) 午则该点流速为可 工工工 法向量为n1 J 上页
x y z o • Si ( , , ) i i i i v ni 把曲面Σ分成n 小块 i s ( i s 同时也代表 第i小块曲面的面积), 在 i s 上任取一点 ( , , ) i i i , 1. 分割 则该点流速为 . i v 法向量为 . ni
=v(5,m7,5) 王=P(5,n,f)+Q(5,n,5)+R(5,n,1), 该点处曲面∑的单位法向量 0 n.= cos aI + cos Bj+cos y k, 通过△s流向指定侧的流量的近似值为 工工工 nAS(i=1,2,…,m 2求和通过x流向指定侧的流量=∑mAS i=1 上页
该点处曲面Σ的单位法向量 ni i i i j i k cos cos cos 0 = + + , 通过 i s 流向指定侧的流量的近似值为 v n S (i 1,2, ,n). i i i = ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) P i Q j R k v v i i i i i i i i i i i i i = + + = 2. 求和 通过Σ流向指定侧的流量 = n i i ni Si v 1
=∑P(5,n,51)cosa1+Q(5,n,)cos月 i=1 +R(5;,7,51)c0sy;|AS =∑P(5,m,51)AS)2+Q(5,n,5△S) +R(5;,m,5)(△S) 牛3.取极限→0取极限得到流量的精确值 上页
i i i i i i i i i n i i i i i R S P Q + = + = ( , , )cos ] [ ( , , )cos ( , , )cos 1 i i i i x y yz i i i i x z n i i i i i R S P S Q S ( , , )( ) [ ( , , )( ) ( , , )( ) 1 + = + = 3.取极限 → 0取极限得到流量的精确值