第三节二重积分的应用 问题的提出 四二、曲面的面积 巴三、平面薄片的重心 四四、平面薄片的转动惯量 巴五、平面薄片对质点的引力 四六、小结思考题
一、问题的提出 A把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相应 地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域do时, 相应地部分量可近似地表示为∫(x,y)do的形式, 牛其中(x,)在d内,这个(x,)称为所求量U 的元素,记为U,所求量的积分表达式为 U=lf(x,y)do D 上页
一、问题的提出 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. d d f (x, y)d (x, y) f (x, y)d 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时， 相应地部分量可近似地表示为 的形式， 其中 在 内．这个 称为所求量U 的元素，记为 ，所求量的积分表达式为 = D U f (x, y)d dU
庄三、曲面的面积 实例一颗地球的同步轨道通讯 卫星的轨道位于地球的赤道平面 卫星 内,且可近似认为是圆轨道.通h 庄的角速幸相同,即人们看到它在 天空不动.若地球半径取为R, 问卫星距地面的高度h应为多少? 通讯卫星的覆盖面积是多大? 上页
实例 一颗地球的同步轨道通讯 卫星的轨道位于地球的赤道平面 内，且可近似认为是圆轨道．通 讯卫星运行的角速率与地球自转 的角速率相同，即人们看到它在 天空不动．若地球半径取为R， 问卫星距地面的高度h 应为多少？ 通讯卫星的覆盖面积是多大？ 二、曲面的面积 卫星 h o x z
1.设曲面的方程为:z=f(x,y) 上在xoy面上的投影区域为D, 如图,设小区域do∈D, dA 点(x,y)∈dσ, ∑为S上过M(x,y,f(x,y) (x,y) J do 的切平面 以如边界为准线,母线平行于z轴的小 柱面,截曲面s为d;截切平面∑为dA, 则有dA≈d 上页
１．设曲面的方程为： z = f (x, y) 在 xoy 面上的投影区域为 D, 设小区域 d D, 点(x, y) d , . ( , , ( , )) 的切平面 为 S 上过 M x y f x y dA ds. s ds dA d z 则有 柱面，截曲面 为 ；截切平面 为 ， 以 边界为准线，母线平行于 轴的小 如图， d (x, y) M dA x y z s o
do为l4在xoy面上的投影,dσ=d4.cosy, C0s=;,2,2 +x+ 王:M=+2+fh曲面S的面积元素 工工工 A=「「1+2+f2lo, D 曲面面积公式为:A=1+()2+()d D 上页
d 为dA 在 xoy 面上的投影, d = dA cos , , 1 1 cos 2 2 x y + f + f = dA = + f x + f y d 2 2 1 1 , 2 2 = + + D A f x f y d 曲面S的面积元素 曲面面积公式为： A dxdy Dxy y z x z = + + 2 2 1 ( ) ( )
同理可得 王2·设曲面的方程为:x=8(y2) 曲面积公式为:A=1+()+()dh D 3.设曲面的方程为:y=h(x,x) 工工工 曲面面积公式为:A= 1+ oy+ +(e)d dzdx D Zx 上页
３．设曲面的方程为： y = h(z, x) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) . 2 2 A dzdx Dzx x y z y = + + ２．设曲面的方程为： x = g( y,z) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) ; 2 2 A dydz Dy z z x y x = + + 同理可得
例1求球面x2+y2+z2=a2,含在圆柱体 x2+y2=ax内部的那部分面积 解由对称性知A=441, D1:x2+y2≤a(x,y≥0) 曲面方程z=a2-x2-y 0.5 于是 1+()+( y 上页
例 1 求球面 2 2 2 2 x + y + z = a ，含在圆柱体 x + y = ax 2 2 内部的那部分面积. 由对称性知A = 4A1 , D1：x + y ax 2 2 曲面方程 2 2 2 z = a − x − y , 于是 ( ) ( ) 2 2 1 y z x z + + , 2 2 2 a x y a − − = 解 (x, y 0)
面积A=41+x2+zd D 中y Di 4 0 2 2 T 4 上
面积A z z dxdy D = + x + y 1 2 2 4 1 − − = 1 2 2 2 4 D dxdy a x y a − = cos 0 0 2 2 1 4 2 a rdr a r a d 2 4 . 2 2 = a − a
例2求由曲面x2+y2=z和z=2a-√x2+y2 (a>0)所围立体的表面积 解解方程组 x ty =az z=2a-√x2+y 2 2 得两曲面的交线为圆周 r ty=a Z=a 在平面上的投影域为D:x2+y2≤a2, 由z=(x2+y2)得x 2x y 上页
例 2 求由曲面x + y = az 2 2 和 2 2 z = 2a − x + y (a 0)所围立体的表面积. 解 解方程组 , 2 2 2 2 2 = − + + = z a x y x y az 得两曲面的交线为圆周 , 2 2 2 = + = z a x y a 在 xy 平面上的投影域为 : , 2 2 2 Dxy x + y a 由 ( )得 1 2 2 x y a z = + , 2 a x zx = , 2 a y z y =
1+x+xy=1/+/<) 2y 十 1 a2+4x2+4y2 由z=2a-√x2+y2知1+z2+2=2 故S=』a2+4x2+4y2d+、2 D y 2兀 d0"、a2+4r2.rr+√2na2 0 0 a 2 T (62+55-1) 6 上页
+ + = 2 2 1 x y z z 2 2 2 2 1 + + a y a x 4 4 , 1 2 2 2 a x y a = + + 由z = 2a − x 2 + y 2知 + + = 2 2 1 x y z z 2, a x y dxdy a S Dxy = + + 2 2 2 4 4 1 故 dxdy Dxy + 2 a r rdr a d a = + 0 2 2 2 0 4 1 2 + 2a (6 2 5 5 1). 6 2 + − = a