第十节最小二乘法 巴一、经验公式 最小二乘法 小结
、经验公式 在工程问题中,常常需要根据两个变量的 几组实验数值—实验数据,来找出这两个变 量的函数关系的近似表达式.通常把这样得到 的函数的近似表达式叫做经验公式 问题:如何得到经验公式,常用的方法是什么? 上页
在工程问题中，常常需要根据两个变量的 几组实验数值——实验数据，来找出这两个变 量的函数关系的近似表达式．通常把这样得到 的函数的近似表达式叫做经验公式. 一、经验公式 问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？
生二、最小二乘法 例1为了测定刀具的磨损速度,我们做这样的 实验:经过一定时间(如每隔一小时),测量一 次刀具的厚度,得到一组试验数据如下: 顺序编号01234567 工工工 时间t(小时)01234567 刀具厚度y(毫米)27.026.8265263261257253243 试根据上面的试验数据建立y和t之间的经验公 式y=f(t) 上页
二、最小二乘法 例1 为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的 实验：经过一定时间(如每隔一小时)，测量一 次刀具的厚度,得到一组试验数据如下： 顺序编号i 0 1 2 3 4 5 6 7 时间 i t (小时) 0 1 2 3 4 5 6 7 刀具厚度 i y (毫米) 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.3 试根据上面的试验数据建立 y 和 t 之间的经验公 式 y = f (t)
解首先确定f()的类型 如图,在坐标纸上画出 27 王这些点,观察可以认为 26 y=f()是线性函数, 25 并设∫(t)=mt+b,其中 24 工工工 a和b是待定常数 012345678 因为这些点本来不在一条直线上,我们只 中能要求选取这样的a,b,使得f()=a+b在 6,t1;…,t处的函数值与实验数据y0,y1…,y相 差都很小 上页
观察可以认为 y = f (t)是线性函数, 并设 f (t) = at + b,其 中 a和b是待定常数. t y o 1 2 3 4 5 6 7 8 24252627 如图，在坐标纸上画出 这些点， 因为这些点本来不在一条直线上，我们只 能要求选取这样的 ，使得 在 处的函数值与实验数据 相 差都很小． a,b f (t) = at + b 0 1 7 t ,t , ,t 0 1 7 y , y , y 解 首先确定 f (t)的类型
就是要使偏差 y1-f(t1)(i=0,1,2,…,7)都很小. 因此可以考虑选取常数a,b,使得 M=∑[v-(a1+b) 最小来保证每个偏差的绝对值都很小 牛定义这种根据偏差的平方和为最小的条件来选 上择常数a,b的方法叫做最小二乘法 这种确定常数的方法是通常所采用的 王页下贡
就是要使偏差 y − f (t ) (i = 0,1,2, ,7) i i 都很小. 因此可以考虑选取常数 a,b ，使得 = = − + 7 0 2 ( ) i M yi ati b 定义 这种根据偏差的平方和为最小的条件来选 择常数 a,b 的方法叫做最小二乘法． 这种确定常数的方法是通常所采用的. 最小来保证每个偏差的绝对值都很小．
把M看成自变量和b的一个二元函数, 那么问题就可归结为求函数M=M(a,b)在那 些点处取得最小值 令18-2-m+小 M aa =-2L-at+bk=0, =0 尽x-(+= ∑L-(ar+b)]=0. 上页
把 M 看成自变量 a 和 b 的一个二元函数， 那么问题就可归结为求函数 在那 些点处取得最小值. M = M(a,b) = − − + = = − − + = = = 7 0 7 0 2 ( ) 0; 2 ( ) 0, i i i i i i i y at b b M y at b t a M 令 即 − + = − + = = = 7 0 7 0 ( ) 0. ( ) 0, i i i i i i i y at b y at b t
将括号内各项进行整理合并,并把未知数a c和b分离出来,便得 a∑4+b=∑y1, i=0 =0 i=0 ∑t1+8b=∑y i=0 i=0 计算得∑1=28,∑1=140, i=0 ∑=208.5,∑y1=717.0 i=0 上页
将括号内各项进行整理合并，并把未知数 和 分离出来，便得 a b (1) 8 . , 7 0 7 0 7 0 7 0 7 0 2 + = + = = = = = = i i i i i i i i i i i a t b y a t b t y t 计算得 28, 7 0 = i= i t 140, 7 0 2 = i= i t 208.5, 7 0 = i= i y 717.0 7 0 = i= i i y t
上代入方程组(1)得 140a+28b=717 28a+8b=2085 解此方程组,得到a=-03036,b=27125 这样便得到所求经验公式为 y=f(t)=-03036t+27.125.(2) 由(2)式算出的函数值∫(1)与实测y的有 牛一定的偏差现列表比较如下 上页
代入方程组（1）得 + = + = 28 8 208.5. 140 28 717, a b a b 解此方程组，得到 a = −0.3036,b = 27.125. 这样便得到所求经验公式为 y = f (t) = −0.3036t + 27.125. (2) 由（2）式算出的函数值 与实测 的有 一定的偏差.现列表比较如下： ( )i f t i y
2 3 4 5 6 实测2702682652032627253243 算得2712526821265182021425912.6072530312500 f(t1) 偏差-01250.021|4018-00860890.030010200 偏差的平方和M=0108165, 工工工 它的平方根M=0329 我们把M称为均方误差,它的大小在一定 程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关 系的近似程度的好坏 上页
i t 0 1 2 3 4 5 6 7 实测 i y 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.3 算得 ( ) i f t 27.125 26.821 26.518 26.214 25.911 25.607 25.303 25.000 偏差 -0.125 -0.021 -0.018 -0.086 0.189 0.093 -0.003 -0.200 偏差的平方和 ， 它的平方根 ． M = 0.108165 M = 0.329 我们把 称为均方误差，它的大小在一定 程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关 系的近似程度的好坏． M
例2在研究单分子化学反应速度时,得到下列数据: 12345678 3691215182124 y;57641.931.02271661228.96.5 工工工 其中τ表示从实验开始算起的时间表示时刻 反应物的量.试定出经验公式y=∫(z) 王解由化学反应速度的理论知道,y=f(n)应是 指数函数:y=ke",其中k和m是待定常数 上页
例2 在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据： i i i y 其中 表示从实验开始算起的时间，表示时刻 反应物的量．试定出经验公式 y y = f ( ). 解 由化学反应速度的理论知道， y = f ( ) 应是 指数函数： , m y = ke 其中 k 和 m 是待定常数. 1 2 3 4 5 6 7 8 3 6 9 12 15 18 21 24 57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5