第一节多元函数的基本概念 巴一、多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 四四、小结思考题
生一、多元函数的概念 (1)邻域 设P(x0,y0)是xOy平面上的一个点,δ是某 正数,与点P(x0,y0)距离小于6的点P(x,y) 的全体,称为点P0的δ邻域,记为(P0,06), 王U(n,6)={P|Pk 0 T =x, lv(x-x)+(y-Jo 2<8 上页
设 ( , ) 0 0 0 P x y 是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点 ( , ) 0 0 0 P x y 距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为 ( , ) U P0 ， （1）邻域 P0 ( , ) U P0 = P | PP0 | ( , )| ( ) ( ) . 2 0 2 = x y x − x0 + y − y 一、多元函数的概念 •
庄(2)区域 设E是平面上的一个点集,P是平面上的 个点.如果存在点P的某一邻域U(P)cE, 则称P为E的内点E的内点属于E 如果点集E的点都是内点, 工工工 则称E为开集 例如,E1={(x,y)<x2+y2<4} E 即为开集. 王页下
（2）区域 . ( ) 则称 为 的内点 一个点．如果存在点 的某一邻域 ， 设 是平面上的一个点集， 是平面上的 P E P U P E E P E 的内点属于 E . E 则称 为开集. •P 如果点集 的点都是内点， E E {( , )1 4} 2 2 例如， E1 = x y x + y 即为开集．
如果点P的任一个邻域内既有属于E的点 A也有不属于E的点(点P本身可以属于E,也 可以不属于E),则称P为E的边界点 上E的边界点的全体称为E的边界 P 设D是开集.如果对于D内 工工工 任何两点,都可用折线连结起来, E 且该折线上的点都属于D,则称 开集D是连通的 上页
可以不属于 ），则称 为 的边界点． 也有不属于 的点（点 本身可以属于 ，也 如果点 的任一个邻域内既有属于 的点， E P E E P E P E E •P E 的边界点的全体称为 E 的边界． 开集 是连通的． 且该折线上的点都属于 ，则称 任何两点，都可用折线连结起来， 设 是开集．如果对于 内 D D D D • •
连通的开集称为区域或开区域 例如,{(x,y)1<x2+y2<4} 开区域连同它的边界一起称为闭区域1y 例如,{(x,y)|1≤x2+y2≤4 上页
连通的开集称为区域或开区域． {( , )| 1 4}. 2 2 例如， x y x + y x y o 开区域连同它的边界一起称为闭区域. {( , )| 1 4}. 2 2 例如， x y x + y x y o
对于点集E如果存在正数K,使一切点 P∈E与某一定点A间的距离AP不超过K, 即P≤K 对一切P∈E成立,则称E为有界点集,否 则称为无界点集.例如, {(x,y)1s +y2≤ 4} 有界闭区域 0 {(x,y)x+y>0} 无界开区域 上页
{(x, y)| x + y 0} 有界闭区域； 无界开区域． x y o 则称为无界点集． 例如， 对一切 成立，则称 为有界点集，否 即 与某一定点 间的距离 不超过 ， 对于点集 如果存在正数 ，使一切点 P E E AP K P E A AP K E K {( , )|1 4} 2 2 x y x + y
(3)聚点 设E是平面上的一个点集,P是平面上的 个点,如果点P的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集E,则称P为E的聚点 说明: 内点一定是聚点; 边界点可能是聚点; 例{(x,y)10<x2+y2≤1} 0,0)既是边界点也是聚点 上页
（3）聚点 设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点. 内点一定是聚点； 说明： 边界点可能是聚点； {( , )| 0 1} 2 2 例 x y x + y (0,0)既是边界点也是聚点．
点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E. 例如,{(x,y)|0<x2+y2≤1} (0,0)是聚点但不属于集合 例如,{(x,y)|x2+y2=l} 边界上的点都是聚点也都属于集合 上页
点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． {( , )| 0 1} 2 2 例如, x y x + y (0,0) 是聚点但不属于集合． {( , )| 1} 2 2 例如, x y x + y = 边界上的点都是聚点也都属于集合．
(4)n维空间 设n为取定的一个自然数,我们称?元数组 (x1,x2,…,xn)的全体为维空间,而每元数 组(x1,x2,…,xn)称为维空间中的一个点,数 王x,称为该点的第个坐标 说明: 工工工 n维空间的记号为R"; n维空间中两点间距离公式 上页
（4）n维空间 设n 为取定的一个自然数，我们称n 元数组 ( , , , ) x1 x2 xn 的全体为n 维空间，而每个n 元数 组( , , , ) x1 x2 xn 称 为n 维空间中的一个点，数 xi称为该点的第i 个坐标. n维空间的记号为 说明： ; n R n维空间中两点间距离公式
设两点为P(x1,x2…,xn),Q(V1,y2…,yn), 平|PQF=√n-x)+(y2-x)2+…+(n-x 特殊地当n=1,2,3时,便为数轴、平面、 空间两点间的距离. n维空间中邻域、区域等概念 邻域:U(P,)={P|PBk,P∈R? 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义 上页
( , , , ), P x1 x2 xn ( , , , ), 1 2 n Q y y y | | ( ) ( ) ( ) . 2 2 2 2 2 1 1 n xn PQ = y − x + y − x ++ y − n维空间中邻域、区域等概念 n U(P0 , ) = P | PP0 | ,P R 特殊地当 时，便为数轴、平面、 空间两点间的距离． n = 1, 2, 3 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义． 邻域： 设两点为