第一节二重积分的概念与性质 问题的提出 巴二、二重积分的概念 重积分的性质 巴四、小结思考题
生一、问题的提出 1.曲顶柱体的体积 鱼团 柱体体积=底面积×高 特点:平顶 z=f(x,y 柱体体积=? 特点:曲顶 D 曲顶柱体 上页
柱体体积=底面积×高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. z = f (x, y) D １．曲顶柱体的体积 一、问题的提出
求曲顶柱体的体积采用“分割、求和 王、取极限”的方法,如下动画演示 上页
播放 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．
步骤如下 先分割曲顶柱体的底,z 并取典型小区域, =f(x, y) 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 y 牛顶柱体的体积, (5;2m) △O 王曲顶柱体的体积v=lm∑5,mAa 王页下
步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， x z y o D z = f (x, y) i • ( , ) i i 先分割曲顶柱体的底， 并取典型小区域， lim ( , ) . 1 0 i i n i i V f = = → 曲顶柱体的体积
2.求平面薄片的质量 设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域 D,在点(x,y)处的面密度为p(x,y),假定 P(x,y)在D上连续,平面薄片的质量为多少? 将薄片分割成若干小块, 取典型小块,将其近似 ②(5,n) 工工工 看作均匀薄片, △G1 王所有小块质量之和—d 近似等于薄片总质量M=im2p(5,)△a 王页下
设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域 D，在点(x, y)处的面密度为( x, y)，假定 ( x, y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？ ２．求平面薄片的质量 i • ( , ) i i 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 lim ( , ) . 1 0 i i n i M i = = → x y o
生二、二重积分的概念 定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函 数,将闭区域D任意分成n个小闭区域△a1 △o2…,△σn,其中△表示第个小闭区域, 也表示它的面积,在每个△a;上任取一点 工工工 (5;,mn), 作乘积∫(2;,m;)△a; (i=1,2,…,n), 并作和∑∫(51,m)△σ i=1 上页
定 义 设 f ( x, y)是有界闭区域D 上的有界函 数，将闭区域D 任意分成n个小闭区域 1 ， 2 , ， n，其中 i 表示第i个小闭区域， 也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点 ( , ) i i ， 作乘积 ( , ) i i f i， (i = 1,2,,n)， 并作和 i i n i i f = ( , ) 1 ， 二、二重积分的概念
王 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 f(x,y)在闭区域D上的二重积分, 王记为f(x,)do, D 即!/(x,ydlm∑/(5,mO 3→0 i=1 工工工 积被积 被面 分积分 积积积 区函变 表元分 域数量 达素和 式 上页
积分区域 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y)在闭区域 D 上的二重积分， 记为D f (x, y)d ， 即D f (x, y)d i i ni i f = = → lim ( , ) 1 0 . 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素
对二重积分定义的说明: c(1)在二重积分的定义中,对闭区域的划分是 任意的 (2)当f(x,y)在闭区域上连续时,定义中和式 的极限必存在,即二重积分必存在 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积. 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的 负值 上页
(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的. (2)当 f ( x, y)在闭区域上连续时，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在. 对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．
在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D, 则面积元素为do=d 工工工 故二重积分可写为 ∫』J(x,y)do=J/(x,y)dd D D 上页
在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D， = D D f (x, y)d f (x, y)dxdy d = dxdy 故二重积分可写为 x y o D 则面积元素为
生三、二重积分的性质 A(二重积分与定积分有类似的性质) 性质1当k为常数时, ∫(x,yd=k/(x,y)lo D D 牛性质2(x,)+(,)M D f(x, y)do ±‖g(x,y) D 上页
性质１ 当 k 为常数时， ( , ) ( , ) . = D D kf x y d k f x y d 性质２ D [ f (x, y) g(x, y)]d ( , ) ( , ) . = D D f x y d g x y d （二重积分与定积分有类似的性质） 三、二重积分的性质