第三节格林公式及其应用(1) 区域连通性的分类 格林( Green)公式 巴三、简单应用 四四、小结思考题
王一、区域连通性的分类 设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所 王围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区 域,否则称为复连通区域 D D 单连通区域 复连通区域 王页下
一、区域连通性的分类 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域. 单连通区域 复连通区域 D D
设空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成 上的区域全属于G,则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面,则称G为空间一维单连通区域 维单连通 维单连通一维不连通 二维单连通二维不连通二维单连通
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域. G G G 一维单连通 二维单连通 一维单连通 二维不连通 一维不连通 二维单连通
、格林公式 定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围 成,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连 上续偏导数,则有 00 oP ax ay dxdy=S, pdx+edy (1) 只中∠是D的取正向的边界曲线 公式(做格公式 上页
设闭区域D由分段光滑的曲线L 围 成,函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶连 续偏导数, 则有 = + − L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( ) (1) 其中L是D的取正向的边界曲线, 公式(1)叫做格林公式. 二、格林公式 定理1
D D L由L1与L2连成 L由L1与L2组成 边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边 上页
L由L1与L2连成 L由L1与L2组成 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边. L2 D L1 L2 L1 D
证明(1) =2(x) 若区城D既是X型x= B 型,即 坐标轴的直线和L至 x=y,y) 多交于两点 Cy=p,(x) X 工工工 D={(x,y)q(x)≤y≤q2(x,a≤x≤b} D={(x,y)W1(y)≤x≤v2(y),C≤y≤d} 王页下
{( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 x y 2 x a x b 证明(1) 若区域 D既是 X − 型 又是 Y − 型,即平行于 坐标轴的直线和L 至 多交于两点. {( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 y x 2 y c y d y x o a b D cd ( ) y = 1 x ( ) y = 2 x A B C E ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y
00 d, cv2()00 dxdy= dy D Jvi() ax el (), D)dy-O((v),y)dy @(x, y)dy E CBE Q(, y)dy CAE x=yi =00(x,y)+」(x,y) x=v2(y) Q(, y)dy X L 同理可证 -rop 〗a,4b=「P(x,n 上页
dx xQ dxdy dy xQ yy dc D = ( ) ( ) 21 = − dc dc Q( ( y), y)dy Q( ( y), y)dy 2 1 = − CBE CAE Q(x, y)dy Q(x, y)dy = + CBE EAC Q(x, y)dy Q(x, y)dy = L Q ( x, y )dy 同理可证 = − L D dxdy P x y dx yP ( , ) y x od ( ) 2 x = y D c CE ( ) 1 x = y
两式相加得 00 aP oddy ax ay 「Pdx+Qd 证明(2) D. L 若区域D由按段光 滑的闭曲线围成.如图, D 将D分成三个既是X一型又是A L Y-型的区域D1,D2,D3 00 aP 00 aP dxdy= )dxdy ax a D,+D,+D )3 ax ay 上页
若区域D由按段光 滑的闭曲线围成.如图, 证明(2) L L1 L2 L3 D D 1 D 2 D 3 两式相加得 = + − L D dxdy Pdx Qdy yP xQ ( ) 将D分成三个既是X −型又是 Y −型的区域D1 ,D2 ,D3 . + + − = − 1 2 3 ( ) ( ) D D D D dxdy yP xQ dxdy yP xQ
00 aP 00 aP )dxdy+ 00 aP Oddy+ )dxdy ax a1 D ax a D ax a =,Pdx+Q小+,P+Q小+,P+Q 庄=.P+ah A(L1L2,L2对D来说为正方向)2 上页
− + − + − 1 2 3 ( ) ( ) ( ) D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q dxdy y P x Q = + + + + + L1 L2 L3 Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy = + L Pdx Qdy D1 D2 D3 L L1 L2 L3 ( , ) L1, L2 L3对D来说为正方向
证明(3) 若区域不止由一条闭曲 王线所围成添加直线段AB 则D的边界曲线由ABL2B AFC, CE, L3,EC及CA构成D 了O 王由2知 a0 aP 王-(款m+的) 上页
G D L 3 L 2 F C E L1 A B 证明(3) 若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则D的边界曲线由AB,L2,BA, AFC,CE, L3, EC 及 CGA 构成. 由(2) 知 − D dxdy yP xQ ( ) = + + + + AB L 2 BA AFC CE { + + + + L EC CGA} (Pdx Qdy) 3
