第5章向量空间 5.1向量空间的定义和例子 5.2子空间 5.3向量的线性相关 5.4基和维数 5.5坐标 5.6向量空间的同构 5.7矩阵的秩齐次线性方程组的解空间 首页上页返回下页(结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 第5章 向量空间 5.1 向量空间的定义和例子 5.2 子空间 5.3 向量的线性相关 5.4 基和维数 5.5 坐 标 5.6 向量空间的同构 5.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
数学研究理想结构(突出应用于实际问题),并在这 种研究中去发现各种结构之间的未知关系。 皮尔斯(S. Peirce,1838-1914) 不懂几何者勿入内(指:柏拉图学园 柏拉图( Plato,约公元前427年-前347年) 不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门 匿名者 首页上页返回下页(结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 数学研究理想结构（突出应用于实际问题），并在这 种研究中去发现各种结构之间的未知关系。 ---皮尔斯(S. Peirce,1838－1914) 不懂几何者勿入内 (指:柏拉图学园) ---柏拉图(Plato，约公元前427年－前347年) 不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门 ---匿名者
向量空间( Vector Spaces)又称线性空间( Linear Spaces).本章的特点及要求: 向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一, 是进一步学习数学必备的内容 向量空间产生有着丰富的数学背景,又在许多领域(包 括数学本身)中有着广泛的应用,例如:线性非常组解 的结构 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统.所谓代数 系统,就是带有运算的集合通过本章的学习,初步熟悉 用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法 首页【上页【这回【下页结来了铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 向量空间（Vector Spaces）又称线性空间（Linear Spaces）.本章的特点及要求： ➢ 向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一， 是进一步学习数学必备的内容. ➢ 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包 括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解 的结构. ➢ 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统. 所谓代数 系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉 用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法
§5.1向量空间的定义和例子 1.引例一一一定义产生的背景 2向量空间的定义一一一一抽象出的数学本质 3进一步的例子一一一加深对定义的理解 4.一些简单性质 首页上页返回下页(结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 §5.1 向量空间的定义和例子 1.引例―――定义产生的背景. 2.向量空间的定义――――抽象出的数学本质. 3.进一步的例子―――加深对定义的理解. 4.一些简单性质
1.引例 定义产生的背景 例1设F是一个数域,Fmm表示上m×n矩阵的集合 回忆一下F上所能够施行的运算(教材P182):只有 加法和数乘两种,并且满足(教材P183) 1.A+B=B+A 5. a(A+B=aA+Ab 2. (A+B)+C= A+( B+c) 6.(a+b)B=a B +Bb 3.0+A=A 7.ab)A=a(b)A 4.A+(-A=o 还有一个显而易见的: 8.1A=A 首页上页返回下页(结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 1. 引例―――定义产生的背景 例1 设 F 是一个数域， m n F 表示上m×n矩阵的集合， 回忆一下 m n F 上所能够施行的运算（教材P182）：只有 加法和数乘两种，并且满足(教材P183)： 1.A+B=B+A 2.(A+B)+C= A+( B+C) 3.O＋A=A 4.A+(-A)=O 5.a(A+B)= aA+Ab 6.(a+b)B=a B +Bb 7.(ab)A=a(b)A 还有一个显而易见的： 8. 1A＝A
例2设R是实数域,V3表示空间向量的集合两个向量可 以作加法(平行四边形法则),可以用R中的一个数乘一个 向量,加法和数乘满足同样的8条性质.按照解析几何的 方法,向量可以用的坐标(x,yz)来表达,加法和数乘都 有表达式, 类似的问题许多,…,有必要总结它们的共性: l.涉及两个集合(其中一个集合.) Ⅱ.涉及两种运算(什么样的运算?). Ⅲ.满足8条运算性质 首页上页返回下页(结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 设R是实数域，V3表示空间向量的集合.两个向量可 以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个 向量，加法和数乘满足同样的8条性质. 按照解析几何的 方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都 有表达式，…… 类似的问题许多，……，有必要总结它们的共性： I. 涉及两个集合（其中一个集合……）. II. 涉及两种运算（什么样的运算？）. III. 满足8条运算性质
2.向量空间的定义一抽象出的数学本质 定义1设F是一个数域,V是一个非空集合我们把v中的 元素称为向量,V称为向量空间,如果下列条件成立: 闭合性: (c1)V上有(闭合的加法运算,即:对任意uv属于V,一定有u+v属于 (c2)F上的数对v上的向量有(闭合的数乘运算,即:对任意F中数 和V中元素v,一定有:v属于V. 加法的性质: (a1)utv=+u,对所有u和v属于v. (a2)u+(v+w)=(utv)+W,对所有u、V和w属于V. (a3)V中存在一个向量,记作o,它满足:v+o=v对所有Ⅴ中的v (a4)给定V中每一个向量v,V中存在一个向量u满足: utv=0.这样的u称为v的负向量 首页 上页返回下页(结束「
首页 上页 返回 下页 结束 铃 2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质 定义1 设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的 元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立： 闭合性： (c1) V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V, 一定有u+v属于 V. (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算，即：对任意F中数 和V中元素v, 一定有： v属于V. 加法的性质： (a1) u+v= v +u，对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量，记作o, 它满足：v+o= v 对所有V中的v. (a4) 给定V中每一个向量v, V中存在一个向量u满足： u+v= 0. 这样的u称为v的负向量
乘法的性质: (m1)(ab)v=a(bn), Va, bE F (m2)a(U+1)=aU+a. (m3)(a+bU=aU +bU (m4)1u=u对所有u属于V 首页 上页 回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 乘法的性质： (m1) (ab)V = a(bV)，a，b F. (m2) a(U +V) = aU + aV. (m3) （a + b)U = aU + bU. (m4) 1u= u 对所有u属于V
3.进一步的例子一一加深定义的理解 例3按照定义1,Fm是数域F上的向量空间,称为矩阵 空间 (1)F,F统称为n元向量空间,统一用符号F"表示 (2)R"是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常 用的一类 例4数域F上一元多项式集合F[×按照通常的加法与数乘 构成F上的向量空间,称为多项式空间 证明:根据多项式加法和数乘的定义, (c1)f(x)+g(×)∈F×,任给f(x),g(x)∈F (c2)af(x)∈F冈,任给a∈F,f(x∈F风 (a1)f(x)+g(x)=9(x)+f(x),任给f(x),gx∈F[x] 首页【上页【这回【下页结来了铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 3. 进一步的例子――加深定义的理解 例3 按照定义1， m n F 是数域F上的向量空间，称为矩阵 空间. （1） 1 1 , n n F F 统称为ｎ元向量空间，统一用符号 n F 表示. （2） n R 是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常 用的一类. …… 例4 数域F上一元多项式集合F[x]按照通常的加法与数乘 构成F上的向量空间，称为多项式空间. 证明：根据多项式加法和数乘的定义， (c1) f(x)+g(x) F[x], 任给f(x),g(x) F[x]. (c2) a f(x) F[x]，任给 a F，f(x) F[x]. (a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x), 任给f(x),g(x) F[x]
(a2)[f(x)+g(×)]+h(x)=f(×x)+[g(X)+h(x)], 任给f(x),g(x),h(x)∈F冈 (a3)0向量就是零多项式 (a4)f(x)的负向量为(-f(x) (m1)(ab)f(x)=a(b(×x) (m2) alf(x+g(x=af(x)+ ag(x) (m3)(a+b)f(x)=af(x)+bf(×) (m4)1×f(×)=f(×) 首页 上页 回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 (a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ], 任给f(x),g(x),h(x) F[x]. (a3) 0向量就是零多项式. (a4) f(x)的负向量为（- f(x)）. (m1) ( ) ab f(x)= a b( f(x)). (m2) a [f(x)+g(x)]= a f(x)+ a g(x). (m3) ( ) a b + f(x)= a f(x)+ b f(x). (m4) 1 f(x)= f(x). 注1：刚开始，步骤要完整