第二节二重积分的计算法(1) 四一、利用直角坐标系计算二重积分 四二、小结思考题
、利用直角坐标系计算二重积分 斗F如果积分区域为:a≤x≤b q1(x)≤J≤q2(x) [X一型] y=(p2(x) y=q2( D y=p,(r) y=q(r) 其中函数q1(x)92(x)在区间a,b上连续 王页下
如果积分区域为： a x b, ( ) ( ). 1 x y 2 x 其中函数 ( ) 、 在区间 上连续. 1 x ( ) 2 x [a,b] 一、利用直角坐标系计算二重积分 ［X－型］ ( ) 2 y = x a b D ( ) 1 y = x D a b ( ) 2 y = x ( ) 1 y = x
∫(x,)的值等于以D为底,以曲面z= f(x,y)为曲顶柱体的体积 f(, y) 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, 工工工 y=92(x) d 2(x) y=(x) 得f(x,y)d=Jf(x,y)y φ1( D 王页下
为曲顶柱体的体积． 的值等于以 为底，以曲面 ( , ) ( , ) f x y f x y d D z D = 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, a 0 x b z y x ( )0 A x z = f (x, y) ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 = D b a x x f x y d dx f x y dy 得
上如果积分区域为:csy≤a,g(y)sxsq2(m) Y一型] y x=q1( x=φ1(y) D D q2(y) x=p2(y) q2(y) f(x,ydo=dyf(x,y)dx q1(y) D 上页
( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 = D d c y y f x y d dy f x y dx 如果积分区域为： c y d, ( ) ( ). 1 2 y x y ［Y－型］ ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D c d c d ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D
X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点 Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点 午若区域如图,则必须分割 在分割后的三个区域上分别 牛使用积分公式 十 D D3 上页
X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， D3 D2 D1 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 . 1 2 3 = + + D D D D 则必须分割
例1改变积分(x,)小的次序 解积分区域如图 0.20.40.6o.8 原式4f(x,y) 上页
y = 1− x 例 1 改变积分 − x dx f x y dy 1 0 1 0 ( , ) 的次序. 原式 − = y dy f x y dx 1 0 1 0 ( , ) . 解 积分区域如图
例2改变积分 2x-x d 0 f(x,y)+f(x,y)的次序 解积分区域如图 2 2 1 1,p2-y 原式=1f(x,y) 上页
y = 2 − x 2 y = 2x − x 例 2 改变积分 − − + x x x dx f x y dy dx f x y dy 2 0 2 1 2 0 1 0 ( , ) ( , ) 2 的次序. 原式 − − − = 1 0 2 1 1 2 ( , ) y y dy f x y dx. 解 积分区域如图
压例3改变积分∫m:(xy(0 的次序 解 y=√2ax y=√2ax-x2→x=a±√a2-y2 2 原式=d(, 2a +小 2a 2a 0m22f(x,)x+少几(x,)db 2 王页下
例 3 改变积分 ( , ) ( 0) 2 0 2 2 2 − dx f x y dy a a a x a x x 的次序. y = 2ax 解 = a a− a − y a y dy f x y dx 0 2 2 2 原式 2 ( , ) + − + a a a a y dy f x y dx 0 2 2 2 ( , ) ( , ) . 2 2 2 2 + a a a a dy y f x y dx 2 y = 2ax − x 2 2 x = a a − y a 2a 2a a
个例4求x2+y)d,其中D是由抛物线 D y=x和x=y2所围平面闭区域 解两曲线的交点 ∫y=x,→(00,(1,), x=y 0.40.60.8 生j(x+)b=广(x+y - 33 x2(x-x2)+(x-x4)d= 2 140 上页
例 4 求 + D (x y)dxdy 2 ，其中D 是由抛物线 2 y = x 和 2 x = y 所围平面闭区域. 解 两曲线的交点(0,0) , (1,1), 2 2 = = x y y x + D (x y)dxdy 2 = + 1 0 2 2 ( ) x x dx x y dy x x x (x x )]dx 2 1 [ ( ) 2 4 1 0 2 = − + − . 140 33 = 2 y = x 2 x = y 2 y = x 2 x = y
例5求x2ed小,其中D是以(0)( D (0,1)为顶点的三角形 解」e”无法用初等函数表示 ∴积分时必须考虑次序 ∫fxea=o∫"xeot 0.40.60.81 D 2 e 0 3 6 e 上页
例5 求 − D y x e dxdy 2 2 ，其中 D 是以(0,0),(1,1), (0,1)为顶点的三角形. − e dy y 2 解 无法用初等函数表示 积分时必须考虑次序 − D y x e dxdy 2 2 − = y y dy x e dx 0 2 1 0 2 dy y e y = − 1 0 3 3 2 2 1 0 2 6 2 dy y e y = − ). 2 (1 6 1 e = −
