第四节多元复合函数的 求导法则 链式法则 二、全微分形式不变性 巴三、小结思考题
、链式法则 定理如果函数u=y()及v=v(t)都在点可 导,函数z=∫(,)在对应点(u,ν)具有连续偏 导数,则复合函数z=d(t),y()在对应点可 导,且其导数可用下列公式计算: dz oz du oz du 十 dt ou dt ay dt c证设t获得增量△ 则△n=p(+△t)-(t),△v=y(t+△r)-y(1);
证 则 u = (t + t) − (t), v = (t + t) − (t); 一、链式法则 定理 如果函数u = (t)及v = (t)都在点t 可 导，函数z = f (u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏 导数，则复合函数z = f [(t), (t)]在对应点t 可 导，且其导数可用下列公式计算： dt dv v z dt du u z dt dz + = ． 设 t 获得增量 t
由于函数z=f(u,)在点u,)有连续偏导数 △z=0A,b z △v+E1A+E2△ν, au 当A→0,△ν→0时,E1→>0,62>0 △zOz△uOz△v Nu+6△t △p △tOu△tOy△t △t 牛当△→0时,△n→0,△y→0 △ △ydt △tdt △tdt 上页
由于函数z = f (u,v)在点(u,v) 有连续偏导数 , 1 2 v u v v z u u z z + + + = 当u → 0，v → 0时， 1 → 0， 2 → 0 t v t u t v v z t u u z t z + + + = 1 2 当t → 0时， u → 0，v → 0 , dt du t u → , dt dv t v →
d △ z a du oz d =lim= dtM→0△ t au dt av dt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 勿给 dt au dt ay dt ow dt u p t 牛以上公式中的导数称为金号数 上页
lim . 0 dt dv v z dt du u z t z dt dz t + = = → 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz + + = u v w z t 以上公式中的导数 称为全导数. dt dz
上定理还可推广到中间变量不是一元函数 王而是多元函数的情况:z=16(xyy(x,y 如果u=(x,y)及v=v(x,y)都在点x,y) 具有对x和y的偏导数,且函数z=f(u,)在对应 牛点(x)具有连续偏导数,则复合函数 z=∫y(x,y),y(x,y)在对应点x,y)的两个偏 导数存在,且可用下列公式计算 oz oz au az av az az au 十 z ax au ax av ax ay au ay av aj 上页 圆
上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z = f[(x, y),(x, y)]. 如果u = (x, y)及v = ( x, y)都在点(x, y) 具有对x和y 的偏导数，且函数z = f (u,v)在对应 点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数 z = f [(x, y), (x, y)]在对应点(x, y) 的两个偏 导数存在，且可用下列公式计算 x v v z x u u z x z + = ， y v v z y u u z y z + =
链式法则如图示 J Oz 0z au az av ax au ax av ax a卯 Oz Ou az av Ou Oy Ov aj 上页
u v x z y 链式法则如图示 = x z u z x u + v z , x v = y z u z y u + v z . y v
类似地再推广,设u=(x,y)、v=y(x,y)、 w=w(x,y)都在点(x,y)具有对x和y的偏导数,复 函数z=|y(x,y)y(x,y)2w(x,y)在对应点(x,y) 两个偏导数存在,且可用下列公式计算 on0oνazw ax au ax av ax aw ax 十 十 y ay au ay av ay aw ay 上页
类似地再推广，设u = (x, y)、v = ( x, y)、 w = w( x, y)都在点(x, y)具有对x和 y的偏导数，复合 函数z = f[(x, y), (x, y), w(x, y)]在对应点(x, y) 两个偏导数存在，且可用下列公式计算 x w w z x v v z x u u z x z + + = , y w w z y v v z y u u z y z + + = . z w v u y x
特殊地z=∫(u,x,y)其中u=p(x,y) 即z=∫|叭(x,y),x,yl,令ν=x,w=y, =1, 0 0 ax ay az af Ou ofa f ou bf9 十 ax au ax ax Oy au ay ay 类 似 两者的区别把z=fu1x,y) 中阳把复合函数z=f1(x,y,x,y中的n及P看作不 中的y看作不变而对的偏导数变而对x的偏导数
特殊地 z = f ( u, x, y ) u = ( x, y ) 即 z = f[(x, y), x, y], , xf xu uf xz + = . yf yu uf yz + = 令 v = x , w = y , 其中 = 1 , xv = 0 , xw = 0 , yv = 1 . yw 把复合函数 z = f [( x, y), x, y] 中的y 看作不变而对x 的偏导数 把 z = f (u, x, y) 中的 u 及 y 看作不 变而对x 的偏导数 两者的区别 区别类似
例1设z=e"sinν,而u=xy,=x+y, Oz - -az 求ax和 解 0 2a1 oz ou a ax au ax av ax =e“sinv:y+e"cosp·1=e"( sink+c0sv), az az au az av Oy au ay aνay =e"sinp·x+e"cosv·l=e“(xsinν+cosv). 上页 圆
例 1 设z e v u = sin ，而u = xy，v = x + y ， 求 x z 和 y z . 解 = x z u z x u + v z x v = e sinv y + e cosv 1 u u e ( ysinv cos v), u = + = y z u z y u + v z y v = e sinv x + e cosv 1 u u e (xsinv cos v). u = +
例2设z=mν+sint,而u=e',v=cost, d 求全导数 dt 解dt_O Dz du az dv az 十 十 dt au dt av dt at =v2一 usint+coSt =e cost-e sint+ cos t =e(cost-sin t)+cost. 上页
例 2 设z = uv + sint，而 t u = e ，v = cos t ， 求全导数 dt dz . 解 t z dt dv v z dt du u z dt dz + + = ve u t t t = − sin + cos e t e t t t t = cos − sin + cos e (cost sin t) cost. t = − +