第一章预备知识 本书的目的是介绍各种常见的分布及其应用,为此需要 些概率论和数理统计的预备知识,这些知识对理解全书是 重要的,本章将介绍x事件、概率、随杌变量、分布函数、 分布密度、矩和各种母函数等。将上述这些内容推广至多个 随机变量——随机向量的情形(见第五节),也是应随后几 章的需要而设立的,第五节数学形式稍为复杂一些,数学基 础不够的读者可跳过该节,先读第二章,待今后需要时再回 过来读它,那时有了许多具体分布的背景,再读这一节就不 会有太多的困难,在今后几章中涉及到一些统计应用,这就 需要知道总体、样本等概念,为此在第七节我们简单地介绍 了这些概念,以及参数估计和假设检验的提法。 第一节事件和概率 随机现象及其统计规律性 在自然界和人类社会中,有许多现象,我们完全可以预 言它们在一定条件下是否出现,例如“同性的电互相排斥” “在没有外力作用的条件下,作等速直线运动的物体必然继 续作等速直线运动”等等是一定会出现的而上述现象的反 面,即“同性的电互相吸引”,“在不受外力作用的条件下 作等速直线运动的物体政变其等速直线运动状态”等等是必
然不会出现的,这种在一定条件下必然出现的现象叫必然事 件,在一定条件下必然不出现的现象叫不可能事件,显然, 必然事件的反面是不可能事件 然而,在自然界和人类社会中,还有许多现象,它们在 定条件下可能出现也可能不出现,这种现象称为随机事 件,或简称事件。例如“掷一枚质地均匀的硬币,数字面 〔正面)向上”,这件事可能发生,但也可能发生背面向上 的情形。“新生的婴儿是男孩”,这件事可能发生,但也可能 发生新生的婴儿是女孩的情形。 我们常常通过随机试验来观察随机事件的统计规律性, 例如:事件“正面向上”是随机试验“掷一枚质地均匀硬 币”的一个可能结果,而事件“婴儿是男孩”是随机试验 要儿出生”的一个可能结果。 般地,设E为一试验,如果不能事先准确地预言它 的结果,而且在相同条件下可以重复进行,就称为随机试 验·以0表示它的一个可能的结果,称@为E的一基本事 件。全体基本事件的集合D={0称为基本事件空间戎样本 空间。 例1.1E—掷一枚质地均匀的硬币而观察所出现的 面,O—正面(数字面),a2—背面,于是2=o1,a2} 例12E—一在一个箱子里有10个球,上面分别标以 1,2,…,10,若从箱子里随机地取一个球,令;——球上 的数字是,则9={a1,…,@o}.如果简记a;为讠,则 得身=={1,…,10} 例13E—计算某电话交换台在某段时间内所接到的 呼唤次数若o;——正好接到讠次呼唤,则Q={oo,o1,…, on,…}·如果简记a为i,则Ω={0,1,…,丌, 基本事件是事件中的一种,一般的事件总是由若于基本
事件共同组成的,因而是9的一个子集,例如,在例1.2 中,事件A:“球上的数字不大于3”是由三个基本事件组 成,即A={a1,a2,@3}。同样,对于事件B:“球上的数 字为偶数”,即有B={2,O,0s,O,O,o}。由此可见, 每一事件都对应于B的一个子集,显然Ω就是必然发生的 事件,以后用φ表示不可能发生的事件。 事件的运算 进行一个试验,可能发生的事件往往很多,这些事件各 有不同的特点,但彼此之间又有一定的联系,下面我们介绍 些事件之间的重要关系和运算 1)如果事件A发生必然导致B发 生,就说事件A是事件B的特款,或说B 包含A,记作ACB如果AcB,且BCA, 就说A与B相等,记作A=B 在例1.2中,若令A={2}={球上的 数字是2},B={2,4,6,8,10}={球h图.!AcB 的数字是偶数},显然ACB图11形象地表示B包含A 2)“两事件A、B中至 少有一个发生”也是一个事件, 称此事件为A与B的和,记作 B AUB,见图12中阴影部分, 般地,我们可以定义“有 图 AJB 限多个”或“可列多个”事件的 和 (3)“两狂件A、B同时发生”也是一个事件,称它 为A与B的交,记为A∩B,见图13(a)中阴影部分
一般地,我们也可以类似地定义“有限多个”或“可列 多个”事件的交。 4)“事件A发生,而事件B不发生》这也是一个 事件,称这个事件为A与B的差,记作A-B,见图13(b) 中阴影部分 B (a)A∩B D (b)A-B (c)B-A 图1,3 在例1.3中,若令A={呼唤次数不超过5}={1,2,3, 4,5},B={呼唤次数为偶数}={2,4,6,…},则A∪B= {1,2,3,4,5,6,8,…},A∩B={2,4}。此时A-B ={1,3,导},B-A={6,8,10,…}。 特别地,事件与A的差-A这一事件称为A的逆 事件,记作A,如上述的A={呼唤次数大于5}={6,7, ,B={呼唤次数为奇数}=但1,3,5,…} (5)如果两个事件A和B,不可能同时发生,即A∩B =团,则说A与B为“互不相容”,见图1.4 如果%个事件A1,…,A。中的任意两个事件是互不相
答的,就说A1,…,A互不相容 从上面的讨论中,我们已经看到,一个事件A可表为基 本事件空间9中的一个子集,这个子集仍记为A.于是我们 也可从集合论的观点来看待事 件,结果发现这种观点非常有用, 因为上面对事件所引进的关系 恰和通常在集合论中所引进的相 应的关系一致。比如说,设事件 A是B的特款,于是A发生必导致 B发生,考虑含于A的一个基本 图1.4A∩F=5 事件@,当@发生时,A发生,根据假定,这时B也发生,故 此@必含于B,从而证明了集合A与乃之间有集合论中所定义 1,1集合论与概率论术语对照衰 符号 集合论 概率论 0 空阆 样本空间;必然事件 空集 不可能事件 9中的点(或元素) 样本点 单点集 基本事件 AcΩ 2的子集A 事件A AcB 集合A包含在集合B中事件A含于事件B A=B 集合A与B相等 事件A与B相等 AUB 集合A与B之和 事件A与B至少有一发生(事 件A与B之和) 集合点与B之交 事件与B同时发生(事件A 与B之交) 集合A的余集 事件A的逆事件 A-B 集合A与B之差 事件A发生而事件B不发生 (事件A与B之差) d∩B=f 集合A与B没有公共元素事件与B互不相容 5
的包含关系ACB.反之,设集合AB,当事件A发生时, 必有A中的某个基本事件a发生,既然此∈A,就有a∈B, 故事件B也发生,这说明事件A是B的特款。由此可 见,“事件B包含事件A”与“集合B包含集合A”两概念 是一致的。为了便于对照,我们把它们的术语列于表1。1 、概率及其公理化定义 我们观察一个随机试验的各种事件,一般来说,总会发 现有些事件出现的可能性大些,有些事件出现的可能性小些, 有些事件出现的可能性彼此大致相同。例如,在例1,2中, 随机抽取一个球,考虑事件A:“抽到球的数字是2”,B:“抽 到球的数字是偶数”,显然,事件B出现的可能性大于事件 A出现的可能性,因为前一事件是后一事件的特款既然各 事件出现的可能性大小不同,人们自然想到用一个数字P(A) 来标志事件A出现的可能性,较大的可能性用较大的数字来 标志,较小的就用较小的数宇,这数字P(A)就称为事件A 的概率 在概率论的发展史上,人们曾针对不同的问题,从不同 的角度给出了定义概率和计算概率的各种方法,然而所定义 的概率都存在一定的缺陷,在哲学上有许多争论,所以毋宁 说它们只是一些计算概率的方法。 1·几种概率计算方法 (1)古典型对于某一随机试验E,如果(i)全体基 本事件D1,…,0n只有有限个;(i)每个基本事件出现的可能 性都相同,则称E为古典型随机试验 对于古典型随机试验,任意事件A,对应的概率定义为
P(A)=事件A包含的基本事件数(k)/基本 事件总数(n)。 若将例1.2考虑成古典型随机试验,令A={球上的数字 是偶数},于是v=10,A中包含五个基本事件,即k=5 由公式(1.1) P(A)=5/10=1/2 与经验是吻合的,在第二章我们将看到更多的实际例子 对于(1·1)定义的概率,它具有 性质(*)(i)设A为任一事件,则0≤P(A)≤1 (i)对必然事件2,有P(2)=1 ii)如A1;…;Am互不相容,则 以(U4)=∑ P(山) 2)几何型用枪打靶,假想打中靶上的任一息的可 能性是相同的,在一次射击中,射中图 15中区域A的概率,直观上可以用A的 面积除以靶(用a表示)的面积来表示, 邸 P(A)= A的面积 靶的面积 图 一般地,设某一随机试验,其结果〔看作一个点)必落在 之中,并具有“均匀性”,即试验结果必落在黑中,而且落在 某区域A(c)中的可能性大小与A的度量大小L(A)成正 比,而与A的位置及形状无关,事件A的概率定义为 P(A)=L(A)/L(9), (1.2) 对于几何型概率的计算,在一般的概率论书上都有,比 较典型的有“约会问题”、“蒲丰( Buffon)的针间题”等等
我们在此就不举例了。 易见,几何概率(12)也具有性质(*) 〔3)频率设E为一随机试验,A为其中任一事件, 在相同的条件下,把E独立重复试验%次,以f(A)表示 事件A在这次试验中出现的次数,比值 F,(A>=f,(a)/ n 称为事件A在这次试验中出现的频率,而∫(A)称为A 在这%次试验中出现的频数 易知,当A出现的可能性愈大,频率Fn(A)也愈大 反之,如果Fn(A)愈大,那么可以设想A出现的可能性也 愈大,因此,频率与概率之间有紧密的联系。可以证明,当 磐→∞时,在一定意义下,Fn(A)→P(A),因此,当%充分 大时,可以取频率作为概率的近似值,从而可以用这种方法 来求一些实际问题中的概率。用(13)定义的频率也具有 性质(*)。 概率的公理化定义 从上面我们看到,虽然我们讨论了特殊的概率计算,我 们从中可发现,对于古典概率、几何概率和频率都具有性质 *),这使人们想到:是否可以用这些性质来作为一般的 概率定义。近代的概率论的公理结构正是这样做的,它给出 了事件与概率的严格定义。 定义1.1设Q是拍象的点O的集,中的一些子集A 所成的集称为a中的一个0-代数,如果满足 (i9∈分 (ⅱ)如A∈罗;则A∈ (i)如An∈(m=1,2,…),则{A∈, 定义12设P(A)(A∈)是定义在0代数8上的实
渲集数,如果它满足下列条件 i)对每个A∈分,有0≤P4)≤1y i)P(Q)=1 (i)如A∈(v=1,2,…),且A1∩A1=中,ij 则有 (U4=∑P(A) 就称它为分上的概率测度,或简称概率,而称中的集为 事件,三元体(Q,分,P)为概率空间, 根据定义12,我们可得概率的性质如下 (1)P()=0 2)如A,B为两事件,且AB,则 0≤P(A-B)=P(A)-P(B),从而,P(A)≥P(B)。 特别地有 P(A)=1-P(A) (3)对任意%个事件A;…,A,有 P(A1UA2U…∪Aa)≤P(A1)+P(A2) P(A, (4)对任意两个事件A和B,有 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB) 为了书写方便,以后常用AB简 记A∩B.类似地,若A,B,C是 任意三个事件,则 P(A∪BUC)=P(A)+P(B) P(c)-P(AB)-P(ac) P(BC)+ P(ABC 这个公式由图16很容易导出, 只要理解公式中的每一项代表图 图1.6
中的哪个部位就行了,有兴趣的读者可自行推导四个事件或 任意”个事件的类似公式。 (5)若A1A2A…,A=A∩A2∩A…=∩A, 则 P(A)=lim P(A,), 若 A CAca2…,A=A1UA2、A3…=UA,则 P(A)=lim P(A, 四、条件概率 在实际问题中,一般除了要知道A的概率P(A外,有 时还需要知道在“事件B已发生”这一条件下,事件A发 生的概率P(A|B).一般地说,由于增加了新的条件一 事件B已发生”,所以,P(A)与P(A|B)不同 例14设某1000件产品中,有10件不合格品,而这10 件不合格品中又有6件是次品,4件是废品,现任意在1000件 产品中抽取一件(假设每件产品被抽到的可能性都相同),求 (i)抽到的是废品的概率 (i)已知抽到的是不合格品,它是废品的概率 解令A表示“抽到的产品是废品”这一事件,B表示 “抽到的产品是不合格品”这一事件 ()由于10004产品中有4件是废品,按古典概率计 算得 (A)=4/1000=1/250