第5章线性空间 5.1定义和例子 1.令F是一个数域,在F3里计算 (i)(2,0,-1)+(-1,-1,2);l (0,1,-1); 2)+(1,-3,1) 2.证明:如果 a(2,1,3)+b(0,1,2)+c(1,-1,4)=(0,0,0), 那么a=b=c=0 3.找出不全为零的三个有理数a,b,c(即a,b,c中至少有一个不是0), 使得 (1,2,2)+b(3,0,4)+c(5,-2,6)=(0,0, 4.令E1=(1,0,0),E2=(0,1,0),E3=(0,0,1).证明,R3中 每一个向量a可以唯一地表示为 a181+a282+ a383 形式,这里a,a,a3∈R 5.证明,在数域F上向量空间V里,以下算律成立: (i) a(a-B)=aa-aB ()a-b)a=a-ba,这里a,b∈F,a,B∈V 6.证明:数域F上一个向量空间如果含有一个非零向量,那么它一定含有 无限多个向量. 7.证明,对于任意正整数n和任意向量α,都有 a=a+ta 8.证明,向量空间定义中条件3°,8)不能由其余条件推出 9.验证本节最后的等式: )(AB)=((a1 anaB第 5 章 线性空间 5.1 定义和例子 1．令 F 是一个数域，在 F 3 里计算 （i） 3 1 （2，0，-1）+（-1，-1，2）+ 2 1 （0，1，-1）； （ii）5（0，1，-1）-3（1， 3 1 ，2）+（1，-3，1）． 2．证明：如果 a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0）， 那么 a = b = c = 0． 3．找出不全为零的三个有理数 a，b，c（即 a，b，c 中至少有一个不是 0）， 使得 a (1，2，2) + b（3，0，4）+ c (5，-2，6) = （0，0，0）． 4．令  1 = （1，0，0），  2 = （0，1，0），  3 =（0，0，1）．证明，R3 中 每一个向量  可以唯一地表示为  = a1  1 + a2  2 + a3  3 形式，这里 a1，a2，a3  R． 5．证明，在数域 F 上向量空间 V 里，以下算律成立： （i）a (  −  ) = a  - a  ； (ii) (a- b)  = a  - b  , 这里 a，b  F ， ,   V． 6．证明：数域 F 上一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有 无限多个向量． 7．证明，对于任意正整数 n 和任意向量  ，都有 n  = +…+  ． 8．证明，向量空间定义中条件 3º，8）不能由其余条件推出． 9．验证本节最后的等式： （  1，…，  n）(AB) =（（  1，…，  n）A）B．