精品课程《数学分析》课外训练方案 第十六章多元函数的极限与连续 第十七章多元函数微分学 、基本概念 1、多元函数的概念 n元函数的定义:设D是R"的一个子集,R是实数集,∫是一个规律,如果对D中的每一 点X=(x1…,xn),通过规律∫,在R中有唯一的一个y与此对应,则称∫是定义在D上的一 个n元函数,它在的函数值是y,并记此值为∫(x),即y=∫(x)。通常为方便,也称∫(x)是 个n元函数(不强调定义域) 2、多元函数的极限定义 设D是R”的一个开集,a∈D,A是一个常数,f(x)是定义在D-{a}上的n元函数.如 果VE>0,36>0,VxeO(a)-{a}有f(x)-A<E,则称当x→>a时n元函数收敛,其 极限是A,记为limf(x)=A或∫(x)→A(x→a)或limf(x1,x2,…xn)=A,其中, x2→a2 x=(x1,…,xn),a=(a1,…,an)) 说明:1)上述极限又称重极限或全极限,它与后面讲的逐次极限或累次极限不同: 2)从形式上看,n元函数极限的定义与一元函数的极限完全一样,但在这里x,a∈R O3(a)-{a}是n维去心开球 3)“x∈O2(a)-{a}”可改写为“0<x-a<6”,用坐标写出来为 4)“x∈O(a)-{a}”、“0<x-a<6”、和下面的叙述是等价的:x1-a1|< xn-an|<n,(x1…,x,)≠(a1,…,an)(即x≠a);但要注意: x-a|<d(i=12,…n),x≠a和0<x1-a<6(i=12,…,n)不是一回事!以R2为 例:x1-a1<6,x2-a2|<d,x≠a表示一个去心开正方形内部,而0<x1-a1|<d 0<x2-a2<,表示取样两条直线x1=a,x2=a的开正方形的内部精品课程《数学分析》课外训练方案 第十六章 多元函数的极限与连续 第十七章 多元函数微分学 一、基本概念 1、多元函数的概念 n 元函数的定义：设 D 是 n R 的一个子集， R 是实数集， 是一个规律，如果对 中的每一 点 ，通过规律 ，在 f D ( , , ) 1 n X = x L x f R 中有唯一的一个 与此对应，则称 是定义在 上的一 个 元函数，它在的函数值是 y f D n y ，并记此值为 f (x) ，即 y = f (x) 。通常为方便，也称 是 一个 元函数（不强调定义域）。 f (x) n 2、多元函数的极限定义 设 D 是 n R 的一个开集，a ∈ D ， A 是一个常数， 是定义在 上的n 元函数．如 果 f (x) D −{a} ∀ε > 0， ∃δ > 0 ，∀x ∈O (a) −{a} δ 有 f (x) − A < ε ，则称当 时 元函数收敛，其 极限是 x → a n A ，记为 或 或 ，其中， ）． f x A x a = → lim ( ) f ( ) x) → A (x → a f x x xn A x a x a x a n n = → → → lim ( , , ) 1 2 2 2 1 1 L M ( , , ), ( , , ) 1 n a a1 an x = x L x = L 说明：１） 上述极限又称重极限或全极限，它与后面讲的逐次极限或累次极限不同； ２） 从形式上看， 元函数极限的定义与一元函数的极限完全一样，但在这里 ， 是 维去心开球； n n x,a ∈ R O (a) −{a} δ n 3 ）“ x ∈Oδ (a) −{a} ”可改写为“ 0 < x − a < δ ”，用坐标写出来为： < − + + − < δ 2 2 1 1 0 ( ) ( ) n n x a L x a ; ４）“ x ∈Oδ (a) −{a} ”、“ 0 < x − a < δ ”、和下面的叙述是等价的： , x1 − a1 < δ x2 − a2 < δ ， …， n an n x − < δ ， ( , , ) ( , , ) 1 n a1 an x L x ≠ L （即 x ≠ a ）；但要注意： xi − ai < δ （i = 1,2,L, n ），x ≠ a 和0 < xi − ai < δ （i = 1,2,L, n ）不是一回事！以 2 R 为 例： , x1 − a1 < δ x2 − a2 < δ ， x ≠ a 表示一个去心开正方形内部，而 0 < x1 − a1 < δ ， 0 < x2 − a2 < δ ，表示取样两条直线 x = a 1 ， x = a 2 的开正方形的内部。 1