精品课程《数学分析》课外训练方案 5)和一元函数的情形一样,如果limf(x)=A,则当x以任何点列及任何方式趋于a时, f(x)的极限即是A;反之,x以任何方式及任何点列趋于a时,f(x)的极限即是A,即在的极 限存在且为( Hermit定理)。但若x在某一点列或沿某一曲线→>a时,f(x)的极限为A,还不 能肯定∫(x)在a的极限是A。所以说,比一元函数的情形复杂得多。 2、二元函数极限定义 设D是R2中的一个开集,a∈D,A∈R,f定义在D-{a}上,若对 vE>0,96>0,V(x,y)∈O(a)-{a},有(x,y)-A<E,则称当(x,y)→(x02y)时二元 函数∫收敛,其极限是A,记为limf(x,y)=Aorf(x,y)→A(x,y)→(x0→>y)。 3、二元函数的连续、偏导数、可微的概念 都是用极限定义的,不同的概念对应不同的极限,切勿混淆。考虑函数∫(x,y)在(x0,y0)点 的情形,则它们分别为 f(x,y)在点(x0,y)连续定义为:limf(x,y)=f(x,y0) f(x,y)在点(x,y0)存在偏导数定义为: 0,yo)= lim f(x, yo)-f(xo,yo) f (ro, yo)=lim f(xo, y)-f(xo, yo) f(x,y)在点(x0,y)可微定义为 f(xo+Ax, yo+Ay)-f(o, yo)-f(xo, yo)Ax-f(o, yo )Ay 0 A→0 √Ax2+4y2 因此,要讨论∫(x,y)点(x0,y0)的可微性,首先要求fx(x0,y),f,(xo,y0)。这三个概念之间 的关系可以用下图表示(在(x0,y0)点 f∫连续 f’J,连续 ∫可微 fx,f,存在精品课程《数学分析》课外训练方案 5） 和一元函数的情形一样，如果 f x A x a = → lim ( ) ，则当 以任何点列及任何方式趋于 a 时， 的极限即是 x f (x) A ；反之，x 以任何方式及任何点列趋于 a 时， f (x) 的极限即是 A ，即在的极 限存在且为（Hermit 定理）。但若 x 在某一点列或沿某一曲线→ a 时， f (x) 的极限为 A ，还不 能肯定 f (x) 在 a 的极限是 A 。所以说，比一元函数的情形复杂得多。 2、 二元函数极限定义 设 D 是 2 R 中 的 一个开集 ， a ∈ D, A∈ R ， f 定 义 在 D −{a} 上，若 对 ∀ > 0, ∋ > 0, ∀(x, y) ∈O (a) −{a} δ δ ε ，有 f (x, y) − A < ε ，则称当 时二元 函数 收敛，其极限是 ( , ) ( , ) 0 0 x y → x y f A ，记为 lim ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0 0 0 0 f x y A or f x y A x y x y y y x x = → → → → → 。 3、二元函数的连续、偏导数、可微的概念 都是用极限定义的，不同的概念对应不同的极限，切勿混淆。考虑函数 在 点 的情形，则它们分别为： f (x, y) ( , ) 0 0 x y f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 连续定义为： lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y y y x x = → → f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 存在偏导数定义为： 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim0 x x f x y f x y f x y x x x − − = → ， 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim0 y y f x y f x y f x y y y y − − = → f (x, y) 在点( , ) 可微定义为： 0 0 x y 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ − − ∆ − ∆ ∆ →∆ → x y f x x y y f x y f x y x f x y y x y y x 因此，要讨论 点 的可微性，首先要求 ， 。这三个概念之间 的关系可以用下图表示（在 点） f (x, y) ( , ) 0 0 x y ( , ) 0 0 f x y x ( , ) 0 0 f x y y ( , ) 0 0 x y 3 1 2 4 f 连续 x f ，f y 存在 f x ，f y 连续 f 可微 2