精品课程《数学分析》课外训练方案 在上述关系中,反方向均不成立。下面以(x0,y)=(0,0)点为例,逐一讨论。 0 小2,43例:,(xy)={x2+y 0 这是教材中的典型例题,f2(00)=f,(0.0)=0均存在,但f(x,y)在(00)点不可微,且 imf(x,y)不存在,即f(x,y)在(0.0)点不连续。 34,3+2例2f(x,y)=√x2+y2,这是上半圆锥,显然在(00点连续, limf(x,y)=0=f(0,0) f(x0)-f(0)√x2_|x1 x> l,x<0 故f2(00)不存在。由xy的对称性,f(0)不存在。从而,f(x,y)在(0,0)点不可微(否则, f(00),J,(00)均存在) 21倒3:f(xy) (x+y)sin x2+y2x+y2≠0 f(0)=m(x,0)-f(00)=m、 x 由x,y的对称性,f,(00)=0 f(x,y)-f(0)-fx(00)x-f,(00)y (x+y)sin 0 t y sin 故f(x,y)在(00)点可微。且d(0)=f2(00)x+J,(00d=0 xsin coS x2+y2≠0 f(x,y) 0精品课程《数学分析》课外训练方案 在上述关系中，反方向均不成立。下面以( , ) (0,0) x0 y0 = 点为例，逐一讨论。 4⇒2 ，4⇒3 例 1： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 这是教材中的典型例题， f x (0,0) = f y (0,0) = 0 均存在，但 f (x, y) 在(0,0) 点不可微，且 lim ( , ) 0 0 f x y y x → → 不存在，即 f (x, y) 在(0,0) 点不连续。 3⇒4 ，3⇒2 例 2： 2 2 f (x, y) = x + y ，这是上半圆锥，显然在(0,0) 点连续， lim ( , ) 0 (0,0) 0 0 f x y f y x = = → → 但 ⎩ ⎨ ⎧ − < > = = = − 1, 0 ( ,0) (0,0) | | 1, 0 2 x x x x x x x f x f 故 f x (0,0) 不存在。由 x, y 的对称性， 不存在。从而， 在 点不可微（否则， ， 均存在）。 (0,0) y f f (x, y) (0,0) (0,0) x f (0,0) y f 2⇒1 例 3： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ + + = 0, 0 , 0 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 0 1 sin lim ( ,0) (0,0) (0,0) lim 2 2 0 0 = = − = → → x x x x f x f f x x x ， 由 x, y 的对称性， f y (0,0) = 0 。 2 2 ( , ) (0,0) (0,0) (0,0) x y f x y f f x f y x y + − − − 0 1 sin 1 ( )sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 → + = + + + + = x y x y x y x y x y （ ） 0 0 → → y x 故 f (x, y) 在(0,0) 点可微。且 df (0,0) = f x (0,0)dx + f y (0,0)dy = 0 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ + + − = + 0, 0 , 0 1 cos 1 2 2 sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x x y x f x y x 3