精品课程《数学分析》课外训练方案 取点列Pn(xn,yn),xn= yn=0,显然Pn(xn,yn)>(0.0)(n→>∞) 2 f2(xn,yn)=-2√2 nZ cOS2nn→>-∞(m→>∞) 故1imf(x,y)不存在,从而Jx(x,y)在(0,0)点不连续。由x,y的对称性,f,(x,y)在(00)点 也不连续。 对一元函数,可微与可导是等价的,即:可微分→可导。但对二元函数,可微与偏导存在并 不等价,即:可微→偏导存在,反之未必。应特别引起注意。 5、 Taylor公式的几种形式 若函数f(x,y)在P(x0,y0)点的某领域内有直到n+1阶连续偏导数,则 (1)f(x,y)=f(x0+x,y+4y)=2(rx+4po )f(xo, yo)+R 其中Rn (Δx+yx)f(xa+Ax,yo+的Ay) (2)为方便,记h=△x,k=△y,则 f(x,y)=f(x0+hy0+k)=∑(h+k。)f(x,y)+R,其中 R ∞.,0y-f(x+m1+) (n+I)! x a (3)f(x,y)=/(o+Ax,yo +y)=I d"f(o, yo)+R 其中Rn=,df(x0+Ax,y+y) (n+1) 、基本方法 1、求复合函数与隐函数的偏导数,关键在于搞清楚各变量之间的关系。在求复合函数的高阶 偏导时,尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系。只有明确了变量之间的关系,才可能正确使 用链式法则。 2、泰勒展式求极值 三、基本要求精品课程《数学分析》课外训练方案 取点列 Pn (xn , yn )， nπ xn 2 1 = ， yn = 0 ，显然 Pn (xn , yn ) → (0,0)(n → ∞) ， f (x , y ) = −2 2n cos2n → −∞(n → ∞) x n n π π 故lim ( , ) 不存在，从而 在 点不连续。由 0 0 f x y x y x → → f (x, y) x (0,0) x, y 的对称性， 在 点 也不连续。 f (x, y) y (0,0) 对一元函数，可微与可导是等价的，即：可微⇔ 可导。但对二元函数，可微与偏导存在并 不等价，即：可微⇒偏导存在，反之未必。应特别引起注意。 5、Taylor 公式的几种形式 若函数 f (x, y) 在 P0 (x0 , y0 ) 点的某领域内有直到 n +1阶连续偏导数，则 （1） n k n k f x y R y y x x k f x y f x x y y + ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ = + ∆ + ∆ = ∑ ∆ = ( ) ( , ) ! 1 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 其中 ( ) ( , ) ( 1)! 1 0 0 1 f x x y y y y x x n R n n + ∆ + ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ ∆ + = + θ θ 。 （2）为方便，记 h = ∆x, k = ∆y ，则 n k n k f x y R y k x h k f x y f x h y k + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + + = ∑= ( ) ( , ) ! 1 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 ，其中 ( ) ( , ) ( 1)! 1 0 0 1 f x h y k y k x h n R n n +θ +θ ∂ ∂ + ∂ ∂ + = + 。 （3） n k n k d f x y R k f x y = f x + ∆x y + ∆y = ∑ + = ( , ) ! 1 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 其中 ( , ) ( 1)! 1 0 0 1 d f x x y y n R n n + ∆ + ∆ + = + θ θ 。 二、基本方法 1、求复合函数与隐函数的偏导数，关键在于搞清楚各变量之间的关系。在求复合函数的高阶 偏导时，尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系。只有明确了变量之间的关系，才可能正确使 用链式法则。 2、泰勒展式求极值。 三、基本要求 4