精品课程《数学分析》课外训练方案 1、会求求复合函数与隐函数的偏导数 2、会展开泰勒展式,并求极值 四、典型例题 例1设v=g(-c为常数,函数g二阶可导,r=√x2+y2+z2,证明 证变量之间的关系为 注意这里g是某变量n的一元函数,而=1-。 Ov av ar a-va-v a a-r 因为 ax ar ax ax ar2 ax ar ax 由x,y,z的对称性得 oy )2+Pb ar az a2r 而 由x,y,z的对称性得 y Cy ay ar a-r 于是02paa2 v av. ar r2.Or、2,,02ro2ra Ov 37 a-v av 2 又因为 g(t g'( a2y 2 2=38(--)+=28(--)+-2g"(t精品课程《数学分析》课外训练方案 1、会求求复合函数与隐函数的偏导数； 2、会展开泰勒展式，并求极值。 四、典型例题 例 1 设 c c r g t r v ( ), 1 = − 为常数，函数 g 二阶可导， 2 2 2 r = x + y + z ，证明 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 t v z c v y v x v ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 证 变量之间的关系为 ，注意这里 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ t z y x r v g 是某变量u 的一元函数，而 c r u = t − 。 因为 x r r v x v ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ， 2 2 2 2 2 2 2 ( ) x r r v x r r v x v ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 由 x, y,z 的对称性得 2 2 2 2 2 2 2 ( ) y r r v y r r v y v ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ， 2 2 2 2 2 2 2 ( ) z r r v z r r v z v ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 而 r x x r = ∂ ∂ ， 2 2 2 r x r r x x r ∂ ∂ − = ∂ ∂ 3 2 2 2 2 r r x r r x r − = − = ， 由 x, y,z 的对称性得 r y y r = ∂ ∂ ， = ∂ ∂ 2 2 y r 3 2 2 r r − y ， r z z r = ∂ ∂ ， = ∂ ∂ 2 2 z r 3 2 2 r r − z 。 于是 [( ) ( ) ( ) ] [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z r y r x r r v z r y r x r r v z v y v x v ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 3 2 2 2 2 2 2 2 3 [( ) ( ) ( ) ] r r r r v r z r y r x r v − ∂ ∂ + + + ∂ ∂ = r r v r v 2 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ = 又因为 ( ) 1 ( ) 1 2 c r g t c cr r g t r r v − − ′ − − = ∂ ∂ ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 2 3 2 2 2 c r g t c c r r g t c cr r g t r r v = − + ′ − + ′′ − ∂ ∂ 5